文/季葉紅
近幾年的各地中考題,選題越來(lái)越貼近生活,也逐漸向教材回歸,很多題目是教材的例題或習(xí)題的變式與延伸。下面,老師從教材的一道例題出發(fā),探索它的變形問(wèn)題,總結(jié)解題規(guī)律,逐步走進(jìn)中考題。
【原題呈現(xiàn)】(蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第136 頁(yè)例4)一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2 個(gè)紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1 個(gè)球,記錄顏色后放回、攪勻,再?gòu)闹腥我饷? 個(gè)球。求兩次都摸到紅球的概率。
詳解見(jiàn)教材,這里不再多述。
原題延伸 上例中,如果第1 次摸出的球不放回,那么兩次都摸到紅球的概率是多少?
解:對(duì)“不放回”的情況,列出的表格為:
第二次摸球結(jié)果白紅2紅1第一次摸球____白(白,紅1)_____________紅1_____________紅2(紅1,白)___________(紅2,白)(白,紅2)(紅1,紅2)(紅2,紅1)___________
【點(diǎn)評(píng)】教材的原題和其延伸題,都是用表格列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,進(jìn)而利用等可能條件下的概率(古典概型)計(jì)算公式求出事件發(fā)生的概率。用“樹(shù)狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果也是可以的。解決此類問(wèn)題時(shí),一定要看清楚“放回”和“不放回”兩種情況,區(qū)分列出表格的不同。
變式1 一只不透明的袋子中裝有紅、橙、黃、綠、藍(lán)五種顏色的球各一個(gè),這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1 個(gè)球,記錄顏色后放回、攪勻,再?gòu)闹腥我饷? 個(gè)球。求兩次摸到相同顏色球的概率。
解:將“紅、橙、黃、綠、藍(lán)”顏色的球分別編號(hào)1、2、3、4、5,用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:
1第二次摸球結(jié)果2 3 4 5第一次摸球_____________________________________________________________1_______________2_______________3_______________4_______________5(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)
由表格可知,共有25 種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的?!皟纱蚊较嗤?/p>
【點(diǎn)評(píng)】變式1 中所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較大,用列表的方法分析較為清晰、便捷,用“樹(shù)狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果也可以,但不夠清晰。
變式2 一只不透明的袋子中裝有1 個(gè)白球和1 個(gè)紅球,兩個(gè)球除顏色外都相同,從中任意摸出1 個(gè)球,記錄顏色后放回,再重復(fù)兩次。求三次都摸到紅球的概率。
解:用樹(shù)狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:
【點(diǎn)評(píng)】變式2 的試驗(yàn)分為三步,一般運(yùn)用“樹(shù)狀圖”列出所有等可能的結(jié)果,進(jìn)而利用等可能條件下的概率(古典概型)計(jì)算公式求事件發(fā)生的概率。
【小結(jié)】“樹(shù)狀圖”和“表格”可以用來(lái)解決等可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的而又易于分類的求等可能條件下的概率問(wèn)題。當(dāng)試驗(yàn)分為兩步,并且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時(shí)(如教材原題及其延伸題),運(yùn)用這兩種方法求解都比較有效;當(dāng)試驗(yàn)分為兩步,但所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時(shí)(如變式1),運(yùn)用“表格”則顯得較為清晰、便捷;當(dāng)試驗(yàn)分為三步時(shí)(如變式2),則一般運(yùn)用“樹(shù)狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,此時(shí)若用“表格”求解,就會(huì)得到一個(gè)三維的立體表格,而這在二維平面上表示出來(lái)是比較困難的。
【中考題1】(2021·江蘇蘇州)4 張相同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字0、1、-2、3,將卡片的背面朝上,洗勻后從中任意抽取1 張,將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái);再?gòu)挠嘞碌? 張卡片中任意抽取1張,同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)。
(1)第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為_(kāi)_______;
(2)小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則:當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí),甲獲勝;否則,乙獲勝。小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎?為什么?(請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由)
(2)列表如下:
第二次差1-2 3第一次________________________0____________________1__________--1___2_______0 1_________-2___-3________2___3__________________________________________________________-3_-2_-5_____________________33____2____5______
【中考題2】(2021·江蘇泰州)江蘇省第20 屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將在泰州舉辦,“泰寶”和“鳳娃”是運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物。在一次宣傳活動(dòng)中,組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2 張放在一個(gè)不透明的盒子中并攪勻,卡片除圖案外其余均相同。小張從中隨機(jī)抽取2 張換取相應(yīng)的吉祥物,抽取方式有兩種:第一種是先抽取1 張不放回,再抽取1 張;第二種是一次性抽取2張。
(1)兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率________(填“相同”或“不同”);
(2)若小張用第一種方式抽取卡片,求抽到不同圖案卡片的概率。
解:(1)兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率相同。
(2)把“泰寶”和“鳳娃”兩種吉祥物分別記為A、B,畫(huà)樹(shù)狀圖如下: