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        巧選列舉法 準(zhǔn)確求概率

        2021-11-23 08:29:36施長(zhǎng)燕
        初中生世界 2021年43期

        文/施長(zhǎng)燕

        遇到概率問題怎么解決?那就需要我們先看單位事件是否等概率發(fā)生,如果是,再接著看事件是有限個(gè),還是無限個(gè),若是有限個(gè)就按照古典概型解決,若是無限個(gè)就按照幾何概型解決。下面老師將結(jié)合中考題分析如何選用合適的列舉法求解概率問題。

        一、古典概型——簡(jiǎn)單概率用直接列舉法

        當(dāng)一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè),并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí),通常采用直接列舉法。

        變式 (2020·浙江紹興)如圖1,小球從A入口往下落,在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能,且可能性相等,則小球從E出口落出的概率是( )。

        圖1

        【分析】根據(jù)“在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能,且可能性相等”,可知小球到B、C、D處時(shí)向左還是向右都是等可能的,從而得到在四個(gè)出口E、F、G、H也都是等可能的,然后根據(jù)概率的意義列式即可得解。

        解:由圖可知,在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能,且可能性相等,小球最終落出的點(diǎn)共有E、F、G、H四個(gè),

        二、古典概型——用列表法或畫樹狀圖法求概率

        當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果,通常采用列表法;當(dāng)一次試驗(yàn)涉及三個(gè)或更多的因素時(shí),用列表法就不方便了,為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果,通常采用畫樹狀圖法。

        例2 (2021·吉林)第一個(gè)盒中有1個(gè)白球、1 個(gè)黑球,第二個(gè)盒中有1 個(gè)白球、2 個(gè)黑球。這些球除顏色外無其他差別,分別從每個(gè)盒中隨機(jī)取出1個(gè)球,用畫樹狀圖或列表的方法,求取出的2 個(gè)球都是白球的概率。

        【分析】用列表法表示出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,進(jìn)而得出兩次都是白球的概率。

        解:用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

        第1盒結(jié)果白黑第2盒白___________________黑1___________________黑2(白,白)(白,黑1)(白,黑2)(白,黑)(黑,黑1)(黑,黑2)

        共有6 種等可能出現(xiàn)的結(jié)果,其中兩球都是白球的結(jié)果有1種,

        變式 (2019·江蘇連云港)現(xiàn)有A、B、C三個(gè)不透明的盒子,A盒中裝有紅球、黃球、藍(lán)球各1 個(gè),B盒中裝有紅球、黃球各1 個(gè),C盒中裝有紅球、藍(lán)球各1個(gè),這些球除顏色外其他都相同。現(xiàn)分別從A、B、C三個(gè)盒子中任意摸出一個(gè)球。

        (1)從A盒中摸出紅球的概率為____;

        (2)用畫樹狀圖或列表的方法,求摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率。

        【分析】(1)從A盒中摸出紅球的結(jié)果有一個(gè),由概率公式即可得出結(jié)果;

        (2)畫樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果,摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10 種,由概率公式即可得出結(jié)果。

        (2)畫樹狀圖如下:

        共有12種等可能的結(jié)果,摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10種,

        三、幾何概型——用面積比求概率

        解這類題除了要掌握概率的計(jì)算方法,還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計(jì)算。

        例3 (2021·湖北隨州)如圖2,從一個(gè)大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個(gè)小正方形,若隨機(jī)向大正方形內(nèi)投一粒米,則米粒落在圖中陰影部分的概率為( )。

        圖2

        【分析】求出陰影部分的面積與大正方形的面積的比值即可判斷。

        變式 (2019·遼寧本溪)如圖3 所示的點(diǎn)陣中,相鄰的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形,小球只在點(diǎn)陣中的小正方形ABCD內(nèi)自由滾動(dòng)時(shí),則小球停留在陰影區(qū)域的概率為 。

        圖3

        【分析】首先建立如圖4的平面直角坐標(biāo)系,標(biāo)記字母如圖所示,設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為1 個(gè)單位長(zhǎng)度,可求出直線OE的表達(dá)式,以及點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo),從而求出AM和AN的長(zhǎng)度,然后根據(jù)面積計(jì)算公式求出陰影部分的面積,最后求出答案。

        圖4

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