廣東省東莞市南城中學(xué)(523078) 曾 慧

尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)解決平面幾何作圖問題,直尺的功能是連接、畫線,圓規(guī)用來畫弧線或者截取相等長度的線段,將基本圖形〔線段、角〕大小的“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題, 是建立在幾何推理上的一種幾何操作.基本原理指向幾何概念的本質(zhì),規(guī)定只用直尺和圓規(guī)作圖的初衷是對(duì)理性思維的追求,我們應(yīng)該“不忘初心”,強(qiáng)調(diào)“觀察、想象、推理、操作”,培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理能力,最終達(dá)到利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的目的.

1 試題呈現(xiàn)

如右圖, 在ΔABC中, 點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn).請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,在ΔABC內(nèi),求作∠ADE,使∠ADE= ∠B,DE交AC于E.

分析: 作一個(gè)角等于已知角.求作的角除了滿足與∠B相等外,還必須滿足另兩個(gè)條件: 在ΔABC內(nèi)和點(diǎn)E在AC上,這可以用一個(gè)基本作圖或者若干個(gè)基本作圖來解決.尺規(guī)基本作圖有: ①作一條線段等于已知線段; ②作一個(gè)角等于已知角; ③作一個(gè)角的平分線; ④作一條線段的垂直平分線; ⑤過一點(diǎn)作已知直線的垂線.

直觀想象已作結(jié)果圖, 若∠ADE= ∠B, 則DE//BC,反之若DE//BC, 則得∠ADE= ∠B.所以本題的作法,除直接作一個(gè)角等于已知角, 還可以間接用尺規(guī)過D作DE//BC,或者其他,只要能證明得∠ADE= ∠B,且滿足其他兩個(gè)條件即可.

2 作法賞析

2.1 構(gòu)造全等三角形

作法1: 如圖1〔基本作圖②: 直接在ΔABC內(nèi)作一個(gè)角等于已知角,∠ADE=∠B〕

圖1

作法2: 如圖2〔基本作圖②: 在ΔABC外作一個(gè)角等于已知角,間接證得∠ADE=∠B〕

圖2

2.2 構(gòu)造特殊四邊形

作法3: 如圖3〔基本作圖①,在ΔABC內(nèi),作一條線段等于已知線段,構(gòu)造菱形,證得∠ADE= ∠B〕尺規(guī)作一條線段等于已知線段,利用四邊相等的四邊形是菱形,再根據(jù)菱形的性質(zhì),對(duì)邊相互平行,同位角相等,得∠ADE=∠B.

圖3

作法4: 如圖4〔基本作圖①,在ΔABC外,作一條線段等于已知線段,構(gòu)造菱形,間接證得∠ADE= ∠B〕模仿作法2,分類思考,用尺規(guī)在ΔABC外構(gòu)造菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),對(duì)邊相互平行,得同位角相等,∠ADE=∠B.

圖4

作法5: 如圖5〔基本作圖①,在AB的右側(cè),作一條線段等于已知線段,構(gòu)造平行四邊形,證得∠ADE= ∠B〕利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),對(duì)邊平行,同位角相等,得∠ADE=∠B.

圖5

作法6: 如圖6〔基本作圖①,在ΔABC外,作一條線段等于已知線段,構(gòu)造平行四邊形,間接證得∠ADE=∠B〕.

圖6

2.3 構(gòu)造三角形

2.3.1 構(gòu)造等腰三角形

作法7: 如圖7〔兩個(gè)基本作圖③+ ①, 作一個(gè)角的平分線和作一條線段等于已知線段, 構(gòu)造等腰三角形, 證得∠ADE= ∠B〕構(gòu)造全等三角形, 得角平分線, 再作一條線段等于已知線段.利用角平分線性質(zhì), 及等邊對(duì)等角, 通過等量代換得內(nèi)錯(cuò)角相等, 則兩直線平行, 再得同位角相等,∠ADE=∠B.

圖7

作法8: 如圖8〔基本作圖①+ ③, 作一條線段等于已知線段和作一個(gè)角的平分線, 構(gòu)造等腰三角形, 間接證得∠ADE= ∠B〕.作一條線段等于已知線段,構(gòu)造全等三角形,得角平分線.利用等邊對(duì)等角,角平分線性質(zhì),平角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和,等量代換得∠ADE=∠B.

圖8

2.3.2 構(gòu)造相似三角形

作法9 ∶如圖9(多個(gè)基本作圖組合,構(gòu)造A字形相似,間接證得∠ADE= ∠B〕作兩個(gè)同心圓,構(gòu)造一對(duì)相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì),對(duì)應(yīng)角相等,得∠ADE=∠B.

圖9

2.4 構(gòu)造平行直線

作法10 ∶如圖10〔兩個(gè)基本作圖④+ ⑤,在ΔABC內(nèi),作一條線段的垂直平分線和過一點(diǎn)作已知直線的垂線,構(gòu)造平行線,間接證得∠ADE= ∠B〕.通過垂直,構(gòu)造兩平行直線,根據(jù)性質(zhì),得同位角相等,∠ADE=∠B.另外在ΔABC外,反向延長BC,作一條線段的垂直平分線和過一點(diǎn)作已知直線的垂線,同理可得.

圖10

本題雖簡, 卻蘊(yùn)含著“美”,“美”在于濃重的思維含量.具體有: 作圖方法的開放性,即有不唯一滿足題意的作法;作圖方法的探究性,學(xué)生可自由組合基本作圖;作圖內(nèi)容的基礎(chǔ)性,即最后的圖形仍是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的幾何圖形;多種方法多種圖形需要選擇和判斷,需要學(xué)生思維的深刻性和批判性.總之,以直觀呈現(xiàn)的方式展示圖形的視角美,考查了學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性,且難度不大,有內(nèi)涵美.

3 教學(xué)思考

3.1 探根本,立意變換出

本題取材于人教版七年級(jí)的“平行線的判斷”,八年級(jí)的“三角形”“特殊四邊形”及九年級(jí)的“圓”和“相似三角形”,考查對(duì)初中所有基本圖形的認(rèn)識(shí)和理解.中考考此題的用意,就如數(shù)學(xué)家波利亞在著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》的開篇指出,平面幾何教學(xué)中的尺規(guī)作圖最適合幫助初學(xué)者去熟悉幾何圖形,也特別適合幾何初學(xué)者摸到解題思路,因此在平時(shí)教學(xué)和中考復(fù)習(xí)都應(yīng)重視尺規(guī)作圖.首先重視概念本質(zhì),讓學(xué)生廣泛參與直觀操作,充分經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn),理解基本原理,掌握基本方法,做到《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)的要求.其次重視思維培養(yǎng),經(jīng)歷猜想發(fā)現(xiàn)嘗試的過程,并深入思考尺規(guī)作圖的本質(zhì).再次重視創(chuàng)新多樣,由于學(xué)生幾何知識(shí)儲(chǔ)備增多,求作圖形由單一到綜合,因此解決問題的方式定會(huì)多樣.我們應(yīng)從多方面思考,動(dòng)手操作,創(chuàng)造性運(yùn)用不同知識(shí),構(gòu)思多樣的方法作出圖形,實(shí)現(xiàn)所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通,真正領(lǐng)悟尺規(guī)作圖.

3.2 究拓展,新意變式出

中考題具備極高的思維價(jià)值和借鑒價(jià)值,是進(jìn)行復(fù)習(xí)的最佳例題,以此為“母題”可變式為:

3.2.1 改變求作結(jié)論

求作線段DE,使DE//BC,且DE交AC于E.

3.2.2 改變求作點(diǎn)D的位置

點(diǎn)D可在其他兩邊上,也可在頂點(diǎn)上,還可能在三角形內(nèi)或外.如圖11,在ΔABC中,∠BAC >∠C.

圖11

(1)求作: ∠BAD=∠C,AD交BC于D.

(2)在(1)條件下,求證:AB2=BD×BC.

如圖12, 已知ΔABC, 作出一點(diǎn)D, 使得∠ADB=2∠C.

圖12

如圖13,已知ΔABC,作出一點(diǎn)D, 使得∠ADB=

圖13

點(diǎn)評(píng): 這兩題, 角度不同,作法不同,生成則不同,所作出的點(diǎn)D不唯一,可拓展討論,是否存在滿足條件的圖形呢?

3.2.3 增加特殊條件

如圖14,已知等腰ΔABC頂角∠A=36°.

圖14

(1)尺規(guī)作圖: 在AC上作一點(diǎn)D,使AD=BD.

(2)求證: ΔBCD是等腰三角形.

如圖15, 在ΔABC中,D為邊AB上一點(diǎn), 且AD=2BD.

圖15

(1)尺規(guī)作圖: 作∠ADE= ∠B,DE與AC邊交于點(diǎn)E;

(2) 在按(1) 中要求作圖的基礎(chǔ)上, 若AC= 10cm, 求AE的長.

“母題”或增加情境,變式成實(shí)際應(yīng)用型作圖;或增加網(wǎng)格,成網(wǎng)格型作圖;或變式成開放探索型作圖等等.

3.3 成素養(yǎng),深意變?yōu)楸?/h3>

從方法論的角度來說,尺規(guī)作圖的意義不大,特別是在作圖工具豐富的今天.因此,對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué),不能僅要求學(xué)生記住作圖步驟,會(huì)按步驟操作,而應(yīng)“教思維”.尺規(guī)作圖是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方式及資源,它將外部操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部思維活動(dòng),通過動(dòng)手畫圖,領(lǐng)會(huì)類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法.尺規(guī)作圖立足基礎(chǔ),多角度思考,多層次探究,將零散的平面幾何知識(shí)聚集,厘清方法,產(chǎn)生聯(lián)想,構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu),深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的理解,形成思維去向,實(shí)現(xiàn)用不同策略解決問題的理想.

4 結(jié)束語

尺規(guī)作圖是一種過程,其本質(zhì)體現(xiàn),平面幾何知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,基本方法的提煉,作圖原理的深入理解,基本思想及理性精神的感悟.它是培育學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力等素養(yǎng)的重要資源.