師 楠，朱顯輝，蘇勛文

（1. 黑龍江科技大學(xué) 工程訓(xùn)練與基礎(chǔ)實驗中心，黑龍江 哈爾濱 150022；2. 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022）

0 引言

薄膜光伏電池和傳統(tǒng)的硅基電池相比，具有節(jié)省材料、理論效率高和便于安裝等優(yōu)點，因此備受重視，被稱為第2 代光伏電池技術(shù)，其正在成為當前光伏電池產(chǎn)業(yè)的主要發(fā)展方向之一［1-2］。

目前銅銦鎵硒（CIGS）薄膜光伏電池是薄膜光伏電池中效率最高的模塊之一。據(jù)不完全統(tǒng)計，截至2019年5月，凱盛科技和神華等企業(yè)的CIGS 商業(yè)化模塊的光電轉(zhuǎn)換效率約為16%，漢能集團的CIGS模塊的實驗室光電轉(zhuǎn)換效率已達到了22.9%［1］。CIGS模塊的商業(yè)化進程正處于起步階段，雖然目前市場份額不多，但發(fā)展迅猛。

CIGS 等薄膜光伏電池從生產(chǎn)材料到制備工藝等均與硅基電池有較大的差異，該差異導(dǎo)致CIGS 模塊的電流-電壓輸出特性與硅基光伏模塊不同［3-4］。鑒于CIGS薄膜光伏電池的電流-電壓輸出特性曲線（即I-V曲線）是進行光伏最大功率點跟蹤、故障檢測和經(jīng)濟效益評估的必要前提，對其進行研究具有的重要理論和現(xiàn)實意義［5］。

在CIGS 模塊商業(yè)化進程的起始階段，CIGS 模塊I-V曲線的建模問題得到了重點關(guān)注。例如文獻［6］利用現(xiàn)場實測的方式給出了CIGS 模塊的I-V曲線的特點；文獻［7-8］分別分析了老化和陰影對CIGS模塊輸出特性的作用效果；文獻［9］討論了溫度對CIGS 模塊輸出特性的影響規(guī)律；文獻［10］提出了一種利用四參數(shù)超越方程描述CIGS 模塊輸出特性的方法，文獻［11］利用簡化超越方程求解CIGS 模塊的I-V曲線，并嘗試利用最大功率點對精度進行校驗，但文獻［10-11］采用的迭代等數(shù)值求解方法需要大量的仿真時間；文獻［12］通過大量實測數(shù)據(jù)探討了雙二極管模型中二極管的擴散電流和復(fù)合電流隨輻照度的變化規(guī)律，文獻［13］提出了一種無需實驗，僅利用廠商給定數(shù)據(jù)的差分進化算法計算雙二極管模型的7個未知參數(shù)，文獻［12-13］重點是對CIGS模塊的超越方程的未知參數(shù)進行求解，并未給出對應(yīng)的I-V曲線，因此無法直接應(yīng)用于最大功率點跟蹤等工程實踐中。

為解決上述問題，本文利用Bezier 曲線優(yōu)良的數(shù)據(jù)擬合能力，提出一種利用2條二階Bezier曲線直接擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的簡單方法，并以通過弦截法迭代求解的數(shù)值結(jié)果為基準，將擬合結(jié)果和文獻［10］的建模結(jié)果進行了對比分析，驗證了所提方法的準確性。和已有的CIGS 薄膜光伏電池建模方法相比，本文所提方法無需任何實驗測試數(shù)據(jù)，也無需對超越方程的參數(shù)進行迭代等數(shù)值求解，僅利用廠商數(shù)據(jù)即可直接給出CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線，計算簡單、耗時較短，且精度較高。

1 基于Bezier曲線的光伏電池建模方法

文獻［14］提出了利用Bezier 曲線擬合光伏電池I-V曲線的方法，本節(jié)對其進行簡要說明。

1.1 采用2條Bezier曲線擬合I-V曲線的基本思路

Bezier 曲線擬合的基本思路是利用一條光滑曲線逼近預(yù)先確定的空間數(shù)據(jù)點位置，由伯恩斯坦基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線表達式φ(x，y)如式（1）所示。

式中：m為Bezier曲線的階數(shù)；φi(xi，yi)為Bezier曲線中的控制點；0≤t≤1；Bi，m(t)為伯恩斯坦基函數(shù)。

給定式（1）中的控制點φi(xi，yi)，t?。?，1］范圍內(nèi)的任一個數(shù)值都可以得到1 個φi(xi，yi)，遍歷［0，1］范圍內(nèi)的t值后，即可得到Bezier曲線的軌跡。

由Bezier曲線的端點性質(zhì)可知，當t=0和t=1時，Bi，m(t)=1，則式（1）滿足：

式（3）表明Bezier 曲線通過且僅通過第1、m+1個控制點，即Bezier曲線通過其起點和終點。

為了保證Bezier 曲線通過CIGS 薄膜光伏電池的短路電流點、最大功率點和開路電壓點，以一條Bezier 曲線擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的最大功率點左側(cè)的輸出特性，并將短路電流點和最大功率點作為本條Bezier 曲線的起點和終點；以另一條Bezier 曲線擬合I-V曲線的最大功率點右側(cè)的輸出特性，并將最大功率點和開路電壓點作為該條Bezier曲線的起點和終點，以得到較好的擬合效果。

1.2 Bezier曲線控制點的討論

進一步分析式（1）可知，Bezier 曲線的階數(shù)m越大，控制點的數(shù)量和曲線的計算就越復(fù)雜?？紤]到一階Bezier 曲線為一條直線，無法滿足要求，為保證計算的簡單性，本文采用二階Bezier 曲線對CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線進行擬合。

2 條Bezier 曲線相交于最大功率點，保證2 條曲線在交點處的平滑過渡，對CIGS 薄膜光伏電池的最大功率點跟蹤和性能評估至關(guān)重要。為此，本文所提方法構(gòu)造經(jīng)過最大功率點，且與經(jīng)過開路電壓點和短路電流點的直線平行的直線，在該直線上尋找Bezier 曲線控制點。通過在所構(gòu)造的直線上選取2條二階Bezier 曲線的控制點，使2 條Bezier 曲線在交點處的一階導(dǎo)數(shù)均為0，滿足一次導(dǎo)數(shù)相等的條件，確保了2條Bezier曲線的平滑過渡。

為了進一步明確Bezier 曲線的控制點對曲線的影響規(guī)律，給出基于不同控制點得到的二階Bezier曲線如圖1所示。圖中，L為連接開路電壓點KU(Voc，0)和短路電流點KI(0，Isc)的直線，Voc、Isc分別為開路電壓點的電壓值、短路電流點的電流值；LP為經(jīng)過最大功率點KP(Vm，Im)的直線，且LP與L平行，Vm、Im分別為最大功率點對應(yīng)的電壓、電流值；LG為假定的實際光伏I-V曲線。以最大功率點KP右側(cè)曲線為例，分別以最大功率點KP(Vm，Im)和開路電壓點KU(Voc，0)作為二階Bezier 曲線的起點和終點，選取LP上的C1和C2作為控制點時，可分別得到Bezier 曲線LC1和LC2。由圖1 可見，控制點與最大功率點KP(Vm，Im)的距離越小，所得Bezier 曲線的凹特性越顯著，否則凸特性就越顯著；最大功率點左側(cè)的Bezier曲線的擬合效果和右側(cè)類似，此處不再贅述。

圖1 基于不同控制點得到的Bezier曲線Fig.1 Bezier curves based on different control points

由上述分析可知，通過選擇適當?shù)目刂泣c可以找到能夠較好地擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的Bezier 曲線，從而精確刻畫CIGS 薄膜光伏電池的輸出特性。

2 定端點弦截迭代求解的參考基準

為了討論Bezier 曲線對CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的擬合效果，需給出誤差分析的參考基準。文獻［15］已經(jīng)考察了以迭代求解的數(shù)值結(jié)果作為誤差分析基準的可行性。本節(jié)基于五參數(shù)超越方程，同樣利用迭代法求解CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線，并將迭代求解的數(shù)值結(jié)果作為分析Bezier 曲線擬合誤差的基準。

若要求解CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的數(shù)值解，則需要已知超越方程的5 個未知參數(shù)，但廠商數(shù)據(jù)手冊并未給出這5 個未知參數(shù)的值［16］。為此，首先利用定端點弦截迭代算法對超越方程的5 個未知參數(shù)進行求解。忽略影響較小的常數(shù)項后，CIGS 薄膜光伏電池的超越方程形式如式（4）所示。

式中：Iph為光生電流；Io為二極管暗電流；Ns為串聯(lián)電池數(shù)；Rs為二極管串聯(lián)電阻；Rp為二極管并聯(lián)電阻；Vt為PN 結(jié)熱電壓；K為Boltzmann 常數(shù)；T為二極管結(jié)溫（單位為K）；A為二極管品質(zhì)因子；q為電子電量。

為求解式（4）中的Iph、Io、Rs、Rp和A，將廠商數(shù)據(jù)手冊給定的短路電流點KI(0，ISC)和開路電壓點KU(Voc，0)代入式（4）可得：

基于式（6）、（9）、（11）—（13）可求解CIGS 薄膜光伏電池的超越方程的5 個未知參數(shù)。其中，式（11）—（13）為隱函數(shù)形式，需要以定端點弦截法進行求解。定端點弦截法是一種以牛頓迭代為基礎(chǔ)的改進數(shù)值計算方法，其基本思路是利用2 個確定點之間的差商代替牛頓迭代法中的一階導(dǎo)數(shù)，以避免復(fù)雜的偏導(dǎo)數(shù)求解過程，其迭代求解通式見式（14）。

式中：X(k)和X(k+ 1)分別為第k次和第k+1 次迭代解，k=1，2，…；X(0)為迭代初始值；f（·）為待求解的函數(shù)。

利用定端點弦截法對CIGS 薄膜光伏電池超越方程參數(shù)進行迭代求解時，需要對式（11）—（13）進行適當?shù)淖儞Q，將Vt、Rs和Rp代替式（14）中的X，即可實現(xiàn)Vt、Rs和Rp的迭代求解。以Rs為例，定端點弦截法需要2 個初值，所以需要預(yù)先給定Rs(0)和Rs(1)，定端點弦截法求解流程圖見附錄A圖A1。

利用定端點弦截法對7 種不同的CIGS 薄膜光伏電池的超越方程進行求解，得到超越方程的5 個未知參數(shù)的求解結(jié)果如表1所示。

表1 CIGS薄膜光伏電池的超越方程的未知參數(shù)求解結(jié)果Table 1 Solutions of with unknown parameters for transcendental equation of CIGS thin-film photovoltaic cells

利用表1 可以得到參數(shù)已知的CIGS 薄膜光伏電池的超越方程形式。值得注意的是，此時需再次利用定端點弦截法對參數(shù)已知的超越方程進行迭代求解，才能得到CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的數(shù)值解，并將其作為Bezier 曲線的擬合誤差分析基準。該過程與超越方程的未知參數(shù)求解過程類似，本文不再贅述。

3 Bezier曲線控制點擬合規(guī)律

基于第1 節(jié)中的方法，利用Bezier 曲線對表1 中的CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線進行擬合，通過調(diào)節(jié)控制點的位置，得到不同精度的I-V曲線，從中選擇精度最高的I-V曲線作為最佳擬合結(jié)果。以迭代計算結(jié)果為基準，分析最佳擬合結(jié)果的誤差，結(jié)果如表2 所示。表中，emax和eav分別為擬合最大相對誤差和平均相對誤差。由表2 可見，Bezier 曲線對7 種不同的CIGS 薄膜光伏電池的擬合最大相對誤差均小于1.8%，平均相對誤差均小于1%，達到了較高的擬合精度。

表2 Bezier曲線擬合誤差Table 2 Error of Bezier function fitting

為探索擬合結(jié)果最佳的Bezier 曲線的控制點分布規(guī)律，給出基于某控制點得到的Bezier曲線如圖2所示。圖中，KIC(VC，IC)為控制點，(VC，IC)分別為控制點的坐標；O1(Vo，Io)為過KIC(VC，IC)所作的橫軸的垂線與過KP(Vm，Im)所作的縱軸的垂線的交點，(Vo，Io)為交點的坐標。

圖2 基于某控制點得到的Bezier曲線Fig.2 Bezier curves based on a control point

由第1節(jié)分析可知，Bezier 曲線控制點的位置決定了曲線的凹凸程度，在圖2 所示情況下，控制點距離最大功率點KP(Vm，Im)越遠，Bezier 曲線的凸特性越顯著。同時，考慮到光伏電池的填充因子FFF是能夠全面表征CIGS 薄膜光伏電池I-V特征的系數(shù)，滿足：

由圖2可以看出，△KIOKU和△KICO1KP呈相似關(guān)系，因此，可按照相似三角形的性質(zhì)確定Bezier 曲線控制點的位置，以簡化分析和計算過程。

綜合分析上述因素，本文選取控制點KIC(VC，IC)與最大功率點KP(Vm，Im)的距離LICP以及短路電流點KI(0，Isc)與開路電壓點KU(VOC，0)的距離LIU之比作為縱坐標，以FFF作為橫坐標，得到KP(Vm，Im)左、右兩側(cè)曲線控制點位置與FFF之間關(guān)系的擬合規(guī)律如圖3所示。圖中，λf和λr分別為KP(Vm，Im)左、右兩側(cè)的LICP與LIU之比。

圖3 7種CIGS薄膜光伏電池控制點擬合規(guī)律Fig.3 Fitting law of control points of seven CIGS thin-film photovoltaic cells

進一步給出λf、λr與FFF之間的擬合規(guī)律分別如式（16）、（17）所示。

基于式（16）、（17）可以得到最大功率點左、右側(cè)控制點與最大功率點的距離，進而得到控制點的坐標，從而得到對應(yīng)的Bezier 曲線用于擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線。本文方法無需進行任何實驗，僅利用廠商數(shù)據(jù)手冊給定的參數(shù)即可有效擬合不同廠家和型號的CIGS薄膜光伏電池的I-V曲線。

4 擬合規(guī)律的驗證

為驗證式（16）、（17）所示的擬合規(guī)律，重新選取4 種不同廠家和型號的CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線進行擬合，4種電池的型號、參數(shù)如表3所示。

表3 4種CIGS薄膜光伏電池的型號和參數(shù)Table 3 Types and parameters of four CIGS thin-film photovoltaic cells

將本文的擬合結(jié)果與文獻［10］的求解結(jié)果進行對比分析。文獻［10］利用簡化的四參數(shù)模型和迭代求解建立了CIGS 薄膜光伏電池的輸出特性曲線，具體形式如式（18）所示。

式中：Rs和A的計算公式分別如式（19）和式（20）所示。

將廠商給定的數(shù)據(jù)代入式（18）—（20）中，可得到CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的超越方程，利用MATLAB 的fsolve函數(shù)進行迭代求解，即可得到文獻［10］的求解結(jié)果。

基于表3 中的廠商給定參數(shù)，利用式（16）、（17）分別確定2條二次Bezier曲線控制點位置，進而利用Bezier曲線實現(xiàn)CIGS薄膜光伏電池的I-V曲線擬合。將所得Bezier 曲線和文獻［10］的求解結(jié)果與本文第2節(jié)所得的參考基準進行對比，結(jié)果如圖4所示。進一步分析圖4 中的Bezier 曲線擬合結(jié)果和文獻［10］的求解結(jié)果與參考基準的誤差，結(jié)果如表4所示。

圖4 4種CIGS薄膜光伏電池的擬合結(jié)果Fig.4 Fitting results of four CIGS thin-film photovoltaic cells

由表4 可見，本文方法對4 種CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的擬合最大相對誤差小于2%，平均相對誤差小于0.8%，均小于文獻［10］對應(yīng)的誤差。另外，本文方法針對1000個數(shù)據(jù)點的平均計算時間為72 ms，文獻［10］方法針對501 個數(shù)據(jù)點的平均計算時間為20.4 s?？梢?，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法不僅精度更高，且計算過程簡單、耗時更短，降低了計算成本。

表4 4種CIGS薄膜光伏電池的擬合誤差Table 4 Fitting erros of four CIGS thin-film photovoltaic cells

5 結(jié)論

本文主要利用廠商給定數(shù)據(jù)，采用Bezier 曲線擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線并進行驗證，主要貢獻如下：

1）明確了利用2 條二階Bezier 曲線對CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線進行擬合的思路，進一步探討了控制點位置對Bezier曲線形狀特點的影響效果；

2）構(gòu)建了定端點弦截迭代算法的誤差分析基準，并分別實現(xiàn)了對CIGS 薄膜光伏電池超越方程中的未知參量和CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的數(shù)值求解；

3）研究了2 條二階Bezier 曲線最優(yōu)控制點位置與CIGS 薄膜光伏電池填充因子之間的函數(shù)關(guān)系，提出了一種CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線擬合方法，該方法簡單準確且無需迭代等復(fù)雜數(shù)值計算，僅需廠商數(shù)據(jù)手冊提供的開路電壓、短路電流和最大功率點數(shù)據(jù)即可進行擬合。

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