佛山市順德區(qū)青云中學(xué)(528313) 范友寶

由特殊到一般的思想的運(yùn)用水平,能反映出考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和一般能力,所以考查特殊與一般的思想在高考中占有重要位置. 在新課標(biāo)高考中,有意設(shè)計(jì)一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的解析幾何試題,突出體現(xiàn)了特殊化方法的意義與作用. 如通過(guò)構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列,尋找特殊位置,利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問(wèn)題、抽象問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題、不確定問(wèn)題等等. 下面筆者以一道試題為例,具體分析如何挖掘試題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)其中一般性的結(jié)論并給予證明,充分體現(xiàn)了試題一般到特殊再由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

1 試題展示

題目(2019年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第21 題) 已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0), 動(dòng)點(diǎn)M(x,y) 滿(mǎn)足直線(xiàn)AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn);

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(I)證明: ΔPQG是直角三角形;

(Ⅱ)求ΔPQG面積的最大值.

2 試題解析

第(1)問(wèn)考查回歸教材,考查了圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題,用方程的思想研究曲線(xiàn),用曲線(xiàn)的性質(zhì)研究方程,考察了求軌跡方程的一般方法. 以上題目來(lái)源于教材但不拘泥于教材.

第(2)問(wèn)中的(I)題考查對(duì)解析化途經(jīng)的選擇,證明三角形為直角三角形的方法有: 勾股定理,向量法,平面幾何知識(shí)等等,如何解析更為簡(jiǎn)便,是要學(xué)生學(xué)會(huì)解析并做出選擇. 在這里,自然選擇坐標(biāo)法更為合適,作答如下:

設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k ＞0). 由則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直線(xiàn)QG的斜率為方程為由得

設(shè)G(xG,yG), 則-u和xG是方程①的解, 故xG=由此得yG=從而直線(xiàn)PG的斜率為所以PQ⊥PG, 即ΔPQG是直角三角形.

以下考慮求解第(II)問(wèn)的三種思路:

思路一由(I) 得|PQ|=所以ΔPQG的面積

設(shè)t=則由k ＞0 得t≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k= 1 時(shí)取等號(hào). 因?yàn)镾=在[2,+∞)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=2,即k=1 時(shí),S取得最大值,最大值為因此,ΔPQG面積的最大值為

思路一的難點(diǎn)在于如何將面積S表述成t的函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)模型,并運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值. 其過(guò)程考察了函數(shù)與方程的思想. 既然可以采用函數(shù)思想求最值,那么導(dǎo)數(shù)法應(yīng)該也可以用,于是筆者給出如下的思路二.

思路二由(I) 得|PQ|=所以ΔPQG的面積S=由于

令S′=0,解得k=1,當(dāng)0＜k ＜1 時(shí),S′ ＞0;當(dāng)k ＞1 時(shí),S′ ＜0;所以當(dāng)k=1 時(shí),Smax=

思路三在思路二的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究面積的表示方法,我們還可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中解析幾何的特殊性,進(jìn)而挖掘其幾何特征,往往幾何特征挖掘的越充分, 運(yùn)算量就越簡(jiǎn)單, 事實(shí)上,本題還可以角度與距離來(lái)表示此三角形的面積. 作答如下:(1+2k2)x2= 4,所以|OP|2=如圖1, 設(shè)∠PQG=θ, 直線(xiàn)PQ的傾斜角為α, 直線(xiàn)QG的傾斜角為β, 由圖1 可知:tanθ=tan(α-β)=余下解答同思路二.

圖1

從解析幾何的不同的解析途徑來(lái)看,在研究運(yùn)動(dòng)變化下的特殊問(wèn)題,利用將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題. 主要用到的就是特殊與一般的思想,而思路三正是抓住了運(yùn)動(dòng)中的特殊性,挖掘幾何關(guān)系,并轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.

3 背景溯源

來(lái)源1(人教A 版P41.2.2.1 例題3)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線(xiàn)AM與BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為求點(diǎn)M的軌跡方程.

來(lái)源2(人教A 版P55.例題2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線(xiàn)AM與BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為求點(diǎn)M的軌跡方程并判斷軌跡的形狀.

來(lái)源3(人教A 版P80.復(fù)習(xí)參考題A 組第10 題)已知ΔABC中,A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線(xiàn)AC,BC的斜率之積為m(m/=0),試探求頂點(diǎn)C的軌跡.

真題溯源(2011年高考江蘇卷理科第18 題) 如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M,N分別是橢圓1 的頂點(diǎn), 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,過(guò)P作x軸的垂線(xiàn),垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B. 設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k.

圖2

(1)當(dāng)直線(xiàn)PA平分線(xiàn)段MN,求k的值;

(2)當(dāng)k=2 時(shí),求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離d;

(3)對(duì)任意k ＞0,求證:PA ⊥PB.

4 拓展推廣

探究1設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0),直線(xiàn)AM與BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為λ(λ/=0),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為=1(x/=±a).

①若λ ＜0 且λ/=-1,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓(除去A,B兩點(diǎn));

②若λ=-1,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓(除去A,B兩點(diǎn));

③若λ ＞0,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)(除去A,B兩點(diǎn));

探究2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓C:=1(a ＞b ＞0)于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸, 垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G. 試問(wèn)ΔPQG是否一定是直角三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

解析設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k, 則其方程為y=kx(k ＞0). 由記則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直線(xiàn)QG的斜率為直線(xiàn)方程為(x-u). 由直線(xiàn)QG與橢圓C的方程聯(lián)立,得到

設(shè)G(xG,yG),則-u和xG是方程①的解,故

從而直線(xiàn)PG的斜率為:

所以當(dāng)a2=2b2時(shí),PQ⊥PG,即ΔPQG是直角三角形.

事實(shí)上,此題也可證明直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)PG斜率之積為定值它也體現(xiàn)了用解析幾何方法解決數(shù)學(xué)中提出有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的問(wèn)題(如存在性、唯一性、不變性). 研究運(yùn)動(dòng)中的不變性也是解析幾何的熱點(diǎn)問(wèn)題. 本題在高考試題的基礎(chǔ)上進(jìn)行探索其一般性結(jié)論,充分體現(xiàn)了由特殊到一般性的思想.

探究3過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓C:=1(a ＞b ＞0) 于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G. 作PF⊥y軸,延長(zhǎng)QF交橢圓C于點(diǎn)M,則有:

(1)直線(xiàn)QM,QP,QG的斜率成等比數(shù)列;

(2)直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)PM斜率之積為定值

(3)ΔPQG的面積的最大值為

證明(1)設(shè)P(x1,y1),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),F(0,y1),所以kQM=kQM ·kQG,所以直線(xiàn)QM,QP,QG的斜率成等比數(shù)列.

(2)設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k ＞0).由記u=|x|, 則P(u,uk),Q(-u,-uk),F(0,uk). 于是直線(xiàn)QM的斜率為2k,直線(xiàn)方程為y= 2kx+uk. 由將直線(xiàn)QM與橢圓C的方程聯(lián)立,得到:

設(shè)M(xM,yM), 則-u和xM是方程②的解, 由xQ ·xM=從而xM=故yM=從而直線(xiàn)PM的斜率為:

所以kP Q ·kP M=所以直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)PM斜率之積為定值

如圖4, 設(shè)∠PQG=θ, 直線(xiàn)PQ的傾斜角為α, 直線(xiàn)QG的傾斜角為β,由圖4 可知:

圖4

由第一問(wèn)可知a2=2b2代入可得:

設(shè)t=則由k ＞0 得t≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1 時(shí)取等號(hào). 因?yàn)镾=2a2b2·在[2,+∞)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=2,即k=1 時(shí),S取得最大值,最大值為因此,ΔPQG面積的最大值為

事實(shí)上,前面提及的2019年高考新課標(biāo)II 卷的第21 題正是基于以上一般性結(jié)論的基礎(chǔ)上,將a2= 4,b2= 2 代入即可得到該試題的答案正是體現(xiàn)了解析幾何試題中特殊與一般的轉(zhuǎn)換思想.

特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法在試題中被廣泛的應(yīng)用,尤其是在處理一般性問(wèn)題、抽象問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題和不確定性等問(wèn)題時(shí),都可考慮運(yùn)用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑. 我們應(yīng)該多加積累,充分挖掘試題的本質(zhì)與背景,以期對(duì)“一般與特殊”的辯證關(guān)系的理解和掌握要達(dá)到較高的層次.