楊卓喬 呂春紅

1.北京航天自動控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術(shù)國家級重點研究室，北京 100854

0 引言

隨著飛行器所要承擔(dān)和執(zhí)行的任務(wù)越來越具體，面對的場景越來越復(fù)雜，多枚飛行器同時實現(xiàn)同一任務(wù)目標(biāo)的需求越來越受到各方的關(guān)注。而從同一發(fā)射場對多枚飛行器進(jìn)行集群發(fā)射，不僅有著易于維護(hù)和管理的優(yōu)勢，也可以更好地在惡劣的環(huán)境下實現(xiàn)任務(wù)目標(biāo)。

對于集群發(fā)射的飛行器，發(fā)射時間是一項非常關(guān)鍵的因素，為了提升任務(wù)效果，通常要求發(fā)射持續(xù)時間或者到達(dá)目標(biāo)的間隔時間盡量短，同時在設(shè)計發(fā)射時間的時候又存在著發(fā)射時間段約束，發(fā)射安全時間間隔約束[1]等眾多約束。為了更好地滿足這些條件，提升集群發(fā)射的效果，則需要對飛行器的飛行時間在發(fā)射前預(yù)先進(jìn)行規(guī)劃。這本質(zhì)上是一個飛行器軌跡的設(shè)計與優(yōu)化問題。

軌跡優(yōu)化是指在特定的約束條件下，尋找飛行器從初始點到目標(biāo)點滿足某種性能指標(biāo)最優(yōu)的運(yùn)動軌跡。在實際工程中一般將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化，利用非線性規(guī)劃的方法進(jìn)行解算。文獻(xiàn)[2]采用改進(jìn)遺傳算法，提出了一種落點散布最小的優(yōu)化飛行程序方法。文獻(xiàn)[3]通過構(gòu)建基于徑向基函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來模擬彈道模型，優(yōu)化了導(dǎo)彈的最大射程。文獻(xiàn)[4]利用改進(jìn)的Gauss偽譜法，解決了有繞飛區(qū)域的再入軌跡優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[5]采用序列二次規(guī)劃方法，進(jìn)行了最大運(yùn)載能力的彈道優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]采用序列凸優(yōu)化的方法，提升了飛行器的機(jī)動繞飛能力。

目前雖然軌跡優(yōu)化的方法已經(jīng)有許多比較成熟的方法，但國內(nèi)外鮮有以飛行器飛行總時間為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化的研究。本文以存在發(fā)射安全時間間隔的同一發(fā)射場進(jìn)行集群發(fā)射的多枚飛行器為背景，采用序列二次規(guī)劃法(SQP)，以飛行器飛行總時長為目標(biāo)來進(jìn)行飛行器軌跡的設(shè)計與優(yōu)化，得到滿足安全時間間隔和最短到達(dá)時間間隔的多飛行器軌跡優(yōu)化方案。

1 飛行器主動段模型

飛行器的主動段為飛行器的有動力飛行，即發(fā)動機(jī)連續(xù)工作的時間段。飛行器主動段終點參數(shù)一旦確定，飛行器的軌跡基本就可以固定，所以飛行器的軌跡優(yōu)化主要是設(shè)計主動段程序角。

1.1 飛行動力學(xué)模型

考慮地球為旋轉(zhuǎn)橢球，采用標(biāo)準(zhǔn)大氣模型，作用于飛行器上的力主要包括發(fā)動機(jī)推力、重力和氣動力。在發(fā)射慣性系內(nèi)建立飛行器質(zhì)心運(yùn)動方程[7]。

(1)

其中視加速度按式(2)計算：

(2)

1.2 主動段程序角設(shè)計模型

飛行器軌跡設(shè)計就是對主動段的標(biāo)準(zhǔn)程序角進(jìn)行設(shè)計，在滿足約束條件的情況下實現(xiàn)設(shè)計的目標(biāo)。一般情況下，在軌跡規(guī)劃時可以不考慮飛行器側(cè)向的偏航與滾轉(zhuǎn)程序，即令這兩個角為0，大部分研究都集中在主動段俯仰程序角的設(shè)計上。

考慮將飛行程序分為大氣層內(nèi)飛行段與真空飛行段，大氣層內(nèi)飛行段又可以分為垂直上升段，亞音速轉(zhuǎn)彎段和彈道轉(zhuǎn)彎段[8]。

俯仰程序角的模型可以總結(jié)為：

(3)

式中：θ(t)為軌道傾角，而α(t)為程序轉(zhuǎn)彎攻角，φcx0為t3時刻俯仰程序角的值。其模型可取為：

α(t)=4αmea(t1-t)(ea(t1-1)-1)

(4)

該經(jīng)驗公式中：αm為該段攻角絕對值的最大值，a為常系數(shù)，其值大小影響攻角趨向于0的速度。

由于亞音速轉(zhuǎn)彎段的結(jié)束時間和真空飛行段的開始時間是確定的，可以得出，俯仰角由以下參數(shù)決定：

(5)

2 主動段軌跡優(yōu)化模型

本文旨在研究，通過主動段軌跡優(yōu)化，滿足給定固定射程的同時，使飛行器總的飛行時間與目標(biāo)時間相差最小。同時滿足飛行軌跡的過程及終端約束條件。根據(jù)問題建立飛行器主動段軌跡優(yōu)化模型。

2.1 性能指標(biāo)

本文研究的主要優(yōu)化目標(biāo)包含射程和飛行時間2個方面，需要同時滿足射程和時間的要求，是一個多目標(biāo)優(yōu)化的問題，這2個分目標(biāo)的函數(shù)分別為[9]：

(6)

式中：J1表示飛行器的實際飛行總時間相對目標(biāo)時間的偏差絕對值最?。籎2表示飛行器的實際射程相對目標(biāo)射程偏差絕對值最小。

引入“權(quán)系數(shù)”，a1,a2對其進(jìn)行調(diào)整，可以將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行分析，獲得唯一的一個優(yōu)化性能指標(biāo)，如式(7)所示。

(7)

2.2 優(yōu)化參數(shù)約束

由于飛行器結(jié)構(gòu)約束和飛行軌跡約束等要求，在優(yōu)化參數(shù)的同時需要對過程參數(shù)進(jìn)行限制，具體如下：

3)為了給飛行器后續(xù)有足夠的時間進(jìn)行軌跡修正，要求真空飛行段時間:0s≤t4-t3≤25s；

4)攻角約束：αmin≤α≤αmax；

2.3 優(yōu)化變量

(8)

3 序列二次規(guī)劃算法(SQP)求解方法

本文將飛行器的主動段優(yōu)化設(shè)計轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，設(shè)置主動段程序角特征參數(shù)作為優(yōu)化變量，并通過非線性規(guī)劃的理論與方法求解。目前對于這類非線性規(guī)劃問題的求解方法已經(jīng)發(fā)展的非常成熟，例如單純形法、共軛梯度法、擬牛頓法以及SQP算法都是有效的工具。SQP算法包含了所求解問題的二階導(dǎo)數(shù)信息，所以在擁有全局收斂性的同時，在局部可以實現(xiàn)超1次的收斂性，是目前求解光滑的非線性規(guī)劃問題所廣泛使用的算法之一[10-11]。

其基本原理就是在給定的近似點處通過二次近似逐漸得到一個更好的迭代點，這需要通過求解二次規(guī)劃子問題得到。在當(dāng)前迭代點處進(jìn)行一系列二次規(guī)劃子問題的求解，使得迭代點逐漸接近原優(yōu)化問題的最優(yōu)點，最后收斂至最優(yōu)解，令我們所要解決的飛行器軌跡非線性規(guī)劃問題為P，其簡要計算步驟如下[12]：

2)求解二次規(guī)劃子問題的表達(dá)式：

(9)

4)一維搜索：轉(zhuǎn)化為一維最優(yōu)化問題minP(xk+λdk,r)，求出最優(yōu)步長λ(k)，令x(k+1)=x(k)+λd(k)

5)更新矩陣H(k)：用BFGS公式更新矩陣H(k)確定新的正定對稱矩陣H(k+1)，令k=k+1返回第2步。

根據(jù)上一節(jié)建立的飛行器軌跡優(yōu)化模型，采用SQP算法，對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計和仿真，其計算流程如圖1所示。

圖1 SQP算法軌跡優(yōu)化流程圖

4 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型計算

在飛行器軌跡的設(shè)計和上一章的優(yōu)化中，需要多次對飛行器動力學(xué)模型積分求解，得到飛行器軌跡。采用傳統(tǒng)龍格庫塔等數(shù)值積分方法，計算量大，且1條軌跡的計算時間較長，為了提高計算效率，在優(yōu)化參數(shù)前，先擬合軌跡模型。本文采用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)方法對飛行器模型進(jìn)行擬合。

徑向基函數(shù)是用于多變量函數(shù)插值的一種傳統(tǒng)方法。與其他類型的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有深厚的生理學(xué)基礎(chǔ)，其簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、快速的學(xué)習(xí)能力和優(yōu)良的逼近性能，已在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[13]。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種三層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層由一些感知單元組成，不對信號做任何處理，傳遞信號到隱層；隱層采用徑向基函數(shù)作為激活函數(shù)，通常具有較多的神經(jīng)元個數(shù)，完成從輸入空間到隱層空間的非線性變換；輸出層對隱層輸出進(jìn)行線性組合，從而對輸入信號做出響應(yīng)。RBF網(wǎng)絡(luò)的一大顯著特點是隱節(jié)點的基函數(shù)采用高斯函數(shù)、多二次函數(shù)、薄板樣條函數(shù)等形式的距離函數(shù)。本文所選取的基函數(shù)為高斯函數(shù)，其形式如式(10)：

(10)

本文將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層設(shè)置為飛行器軌跡積分模型的輸入，輸出則為射程和時間這2個重要的性能指標(biāo)，所使用的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示，是具有2個輸入，多個隱層神經(jīng)元及2個輸出的三層RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

圖2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的飛行器軌跡參數(shù)計算模型

根據(jù)圖2構(gòu)建的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的飛行器軌跡參數(shù)計算模型，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)訓(xùn)練，即可代替圖1中的“積分解算軌跡”模塊，提升運(yùn)算速度。

5 仿真校驗

5.1 飛行器軌跡參數(shù)計算模型的擬合與校驗

以某軸對稱式飛行器為例，仿真驗證本文的軌跡優(yōu)化方法。首先根據(jù)式(1)～(2)以及飛行器模型參數(shù)，對飛行器軌跡積分模型進(jìn)行建模。再通過SQP方法，僅以射程為目標(biāo)，設(shè)計出1條性能較好的標(biāo)準(zhǔn)軌跡。依據(jù)此條標(biāo)準(zhǔn)軌跡所使用的參數(shù)，選擇合適的區(qū)間進(jìn)行RBF網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計。

從樣本數(shù)據(jù)集中提取1900組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，余下100組作為測試樣本，用于檢驗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算精度。在對樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，選取合理的初始參數(shù)，確定目標(biāo)誤差，并對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，最后用測試樣本對徑向基網(wǎng)絡(luò)估算出的射程和飛行時間偏差進(jìn)行檢驗，兩者的檢驗結(jié)果如圖3～4所示，射程的平均相對誤差約為1.93*10-5%，時間的平均相對誤差約為1.73*10-5%。所得精度符合要求，即將所得網(wǎng)絡(luò)代入到后續(xù)的SQP優(yōu)化流程之中。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試樣本射程相對偏差

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試樣本飛行時間相對偏差

5.2 多飛行器軌跡優(yōu)化

在考慮多枚同一發(fā)射場集群發(fā)射的多枚飛行器完成同一任務(wù)時，既要考慮發(fā)射時的安全時間間隔的要求，又要使到達(dá)時間間隔盡可能最短，這就需要我們對于同一發(fā)射點和目標(biāo)點的飛行器設(shè)計多條不同的軌跡，并且令這些軌跡有著不同的飛行時間和相同的射程。

假設(shè)發(fā)射時的安全時間間隔為5s，那么第n枚發(fā)射的飛行器的飛行總時長就需要盡可能的比第1枚的減少5ns。根據(jù)5.1節(jié)，將僅以射程為目標(biāo)所設(shè)計出的標(biāo)準(zhǔn)軌跡為第1枚飛行器所使用，總共對同一目標(biāo)發(fā)射4枚飛行器。以每枚飛行器的時間和射程為優(yōu)化目標(biāo)，以上面得到的標(biāo)準(zhǔn)軌跡中的參數(shù)作為優(yōu)化變量的初值，利用第2章所建立的優(yōu)化模型，“權(quán)系數(shù)”a1,a2設(shè)置為1、1800，采用SQP方法進(jìn)行優(yōu)化，可以得到結(jié)果如表1。

表1中的優(yōu)化結(jié)果1～3分別為第2枚至第4枚發(fā)射的飛行器所設(shè)計的飛行軌跡，表中給出了其飛行總時間和射程相對于標(biāo)準(zhǔn)軌跡的偏差。根據(jù)前文所設(shè)定的安全時間間隔飛行器將以5s的間隔發(fā)射，可以看出每枚飛行器的飛行時間的偏差都與其和第1枚飛行器的發(fā)射間隔相近，而射程的偏差不大，符合多飛行器同時到達(dá)的任務(wù)要求。如果多枚飛行器都采用傳統(tǒng)設(shè)計方法設(shè)計軌跡的話，每枚飛行器的總用時是相同的，因為每枚發(fā)射之間有5s的間隔，假設(shè)各飛行器的結(jié)構(gòu)、發(fā)動機(jī)、質(zhì)量等參數(shù)相同，則在不進(jìn)行軌跡優(yōu)化的情況下，4枚飛行器到達(dá)目標(biāo)點的最長時間間隔約為15s。而采用本文方法，針對第2～4枚飛行器軌跡進(jìn)行優(yōu)化，使得其與第1枚飛行器盡可能同時到達(dá)目標(biāo)點。采用SQP方法進(jìn)行優(yōu)化后，通過仿真結(jié)果可以看出，4枚飛行器到達(dá)目標(biāo)點的最大時間差約為0.182s左右，實現(xiàn)了同時到達(dá)目標(biāo)點的需求，可以看出本文研究的方法可大幅提升飛行器的任務(wù)效果。

表1 多枚飛行器的優(yōu)化結(jié)果

6 結(jié)論

考慮多枚飛行器集群發(fā)射的需求，采用了飛行總時間和射程作為優(yōu)化目標(biāo)，選取了飛行過程中易于調(diào)整、且有著關(guān)鍵作用的參數(shù)作為優(yōu)化變量，建立了飛行器俯仰程序角的優(yōu)化模型。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對飛行器軌跡參數(shù)計算模型進(jìn)行擬合，利用SQP算法對多枚彈道進(jìn)行了彈道的優(yōu)化與仿真計算，同時保證了優(yōu)化計算的效率與精度。

結(jié)果表明，該方法在保證了同一發(fā)射場部署的多枚飛行器發(fā)射的安全性的同時，大幅降低了其到達(dá)任務(wù)目標(biāo)點的時間間隔，保證了多枚飛行器在時間和空間上的一致性，對于集群發(fā)射的飛行器共同執(zhí)行同一任務(wù)有著較大的意義。