黃 伊 楊展鵬 熊 歡 朱子豪 陳 舜 田大平

江漢大學 湖北 武漢 430056

1 前言

極限的定義與性質(zhì)，從定義到定理最后到性質(zhì)的拓展是不斷探索的過程，極限的基本結(jié)論是不斷探索研究的實踐活動，對人類生活起到至關(guān)重要的作用，未來普遍應(yīng)用于生活也未可知。通過對數(shù)列極限的學習與探索，以及歸納的研究方法，我們可以直接研究許多函數(shù)的性質(zhì)，例如導數(shù)、函數(shù)積分、判斷級數(shù)收斂等，函數(shù)上、下極限的基本性質(zhì)與數(shù)列上、下極限的基本性質(zhì)有密切聯(lián)系，特別在判別級數(shù)是否收斂應(yīng)用較多，且能發(fā)揮較大作用，在數(shù)學分析理論部分中占有重要地位。上、下極限的應(yīng)用能夠在物理問題特別是數(shù)列應(yīng)用中使題目更加清晰化，能夠更加細致地學習數(shù)列的上、下極限以及函數(shù)上、下極限，對收斂函數(shù)的學習奠定了基礎(chǔ)，能夠正確區(qū)分收斂函數(shù)與不收斂函數(shù)，上、下極限的基本概念在生活中許多科學問題都會具有重要的實際應(yīng)用.所以，我們應(yīng)該認識到它的重要性，學習已有的關(guān)于上、下極限的理論研究的文章，并及時總結(jié)歸納拓展其應(yīng)用，并對其進行提煉升華。豐富我們對數(shù)學分析、實數(shù)、函數(shù)等學科所學專業(yè)課程內(nèi)容的深入理解，深刻學習掌握歸納其相關(guān)理論的實際應(yīng)用，更好地不斷培養(yǎng)自己的的數(shù)學創(chuàng)新知識思維與理論實踐操作能力。

2 數(shù)列的上、下極限相關(guān)概念

2.1 數(shù)列上、下極限的定義

2.2 數(shù)列上、下極限的性質(zhì)及定理

3 函數(shù)的上、下極限的相關(guān)概念

3.1 函數(shù)上下極限的定義

3.2 函數(shù)上、下極限的存在唯一性定理

4 函數(shù)上、下極限的性質(zhì)

4.1 設(shè)f(x)在E上有定義，則

5 函數(shù)上、下極限例題

6 擴展部分

6.1 次可加函數(shù)

次可加性是數(shù)學應(yīng)用中的一個重要特性，次可加函數(shù)是一類重要函數(shù)，但目前關(guān)于次可加函數(shù)研究比較少，本文只從定義出發(fā)，從例子中找到與函數(shù)上、下極限的聯(lián)系

定義1[3][4]設(shè)f(x)為定義在 (0，＋∞)上的次可加函數(shù)

7 總結(jié)部分

本文以有關(guān)函數(shù)上、下極限過程為研究中心，詳細地地說明了如何研究函數(shù)過程，從一個數(shù)列概念出發(fā)，研究一個數(shù)列的上、下極限，從有關(guān)數(shù)列上、下極限的基本定義、定理及函數(shù)性質(zhì)關(guān)系出發(fā)，得到有關(guān)函數(shù)上、下極限的基本定義、定理以及函數(shù)性質(zhì)的一個相關(guān)研究結(jié)論，并由此得到一個普遍規(guī)律，即一個數(shù)列的上、下極限與一個函數(shù)的上、下極限均不滿足四則運算性質(zhì)，但對于不等式的結(jié)論均成立，從定義到例題再到定義，最后較淺研究了次可加函數(shù)與上、下極限的聯(lián)系，為進一步研究次可加函數(shù)與函數(shù)上、下極限的聯(lián)系提供了思路。