江蘇省南京曉莊學(xué)院第一實(shí)驗(yàn)小學(xué) 侯玉茹

一、動(dòng)作表征，高階計(jì)算思維的可視化

動(dòng)作表征是一種動(dòng)態(tài)的表征形式，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作活動(dòng)，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，而小學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，在此階段要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的現(xiàn)實(shí)操作，才能凸顯出原問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。可見(jiàn)，動(dòng)作表征正是架在數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性和學(xué)生思維形象性之間的一座“橋梁”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生親身參與，動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，把抽象的知識(shí)變成看得見(jiàn)、講得清的現(xiàn)象，從而了解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，化難學(xué)為易學(xué)。

例如，筆者在教學(xué)“9+幾”這一課時(shí)，主題圖（如圖1）是小猴在數(shù)蘋(píng)果，盒中有9個(gè)紅蘋(píng)果，盒子外面有4個(gè)青蘋(píng)果，求一共有多少個(gè)？學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，知道盒子中的蘋(píng)果數(shù)+外面的蘋(píng)果數(shù)=蘋(píng)果總數(shù)，但這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)是讓學(xué)生理解湊十的過(guò)程，能用湊十法解決“9+幾”的問(wèn)題。為了更好地體現(xiàn)湊十的過(guò)程，將教材中小朋友的方法“先放進(jìn)1個(gè)湊成10，10加3得13”這句話轉(zhuǎn)化成學(xué)生自己的動(dòng)作、自己的理解，筆者讓學(xué)生利用方格紙（如圖2）進(jìn)行操作，學(xué)生通過(guò)自己的操作，覺(jué)得應(yīng)該先從外面的4個(gè)中拿出1個(gè)放進(jìn)盒中，這樣9個(gè)就變成了10個(gè)，再加上外面的3個(gè)，一共是13個(gè)，數(shù)與形有效結(jié)合。

圖1

圖2

別看這個(gè)小小的移動(dòng)蘋(píng)果的動(dòng)作，它幫助學(xué)生非常形象地理解了“湊十”這一抽象的方法，為接下來(lái)學(xué)習(xí)8、7、6加幾的湊十法打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)給學(xué)生提供豐富的素材，這樣才能得到多樣化的反饋。所以“9＋幾”這課除了利用教材中的素材，通過(guò)剛好能放十個(gè)的盒子感知湊十，還要補(bǔ)充讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[小棒的操作。這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)：有的學(xué)生是從4根里拿出1根和9根捆起來(lái)就是10，10加3就是13；還有的學(xué)生是通過(guò)9根繼續(xù)往下數(shù)4根，數(shù)到13。這種多樣反饋是很有必要的，第一種類(lèi)型的學(xué)生已經(jīng)能聯(lián)系之前學(xué)習(xí)的十加幾等于十幾，想到先湊十，再計(jì)算。學(xué)生們自我強(qiáng)化了湊十的思想，思維得到了進(jìn)階。顯然，第二種類(lèi)型學(xué)生的思維水平還停留在數(shù)數(shù)階段。具象學(xué)生的思維之后，我們就能更好地針對(duì)不同類(lèi)型的學(xué)生做出調(diào)整。接著我們?cè)俳o學(xué)生提供計(jì)數(shù)器，讓學(xué)生經(jīng)歷具象的、直觀的數(shù)學(xué)操作。反饋的結(jié)果又有不同：有的學(xué)生用計(jì)數(shù)器直接撥出結(jié)果；有的學(xué)生將計(jì)數(shù)器上個(gè)位撥滿十以后沒(méi)有退位導(dǎo)致個(gè)位上有10顆算珠；有的學(xué)生在計(jì)數(shù)器個(gè)位上先撥9再撥下一個(gè)珠的時(shí)候，知道要把個(gè)位全部退掉十位上撥1顆算珠，再接著撥，最后得出結(jié)果。其實(shí)“9＋4”的結(jié)果很簡(jiǎn)單，但是增加了計(jì)數(shù)器這個(gè)工具后，學(xué)生們的計(jì)算思維變得可視化了，體現(xiàn)了不同層次的思維水平。顯然，學(xué)生在使用計(jì)數(shù)器的過(guò)程能聯(lián)系之前學(xué)習(xí)的位值制，體會(huì)到十進(jìn)制“滿十進(jìn)一” 的內(nèi)涵。教師還可以補(bǔ)充介紹算盤(pán)，讓學(xué)生課后研究如何利用算盤(pán)進(jìn)行計(jì)算。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要向?qū)W生提供充分參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，使多種思維可視化，讓學(xué)生在各種思維碰撞下，走向高階思維。組織這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)更能幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師還可以根據(jù)學(xué)生思維水平的差異性，設(shè)計(jì)個(gè)性化的有針對(duì)性的訓(xùn)練，使學(xué)生思維進(jìn)階。

二、語(yǔ)義表征，高階計(jì)算思維的具體化

一般來(lái)說(shuō) ，學(xué)生借助實(shí)物和具體物的動(dòng)作表征進(jìn)行思維活動(dòng)后，教師都會(huì)讓學(xué)生介紹自己是怎么做的，通過(guò)組織語(yǔ)言表達(dá)本質(zhì)，這就是語(yǔ)義表征。教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生將動(dòng)作表征和語(yǔ)義表征相結(jié)合讓數(shù)學(xué)思維具體化，使思維進(jìn)階。

再結(jié)合剛剛“9＋幾”這一課的課例，學(xué)生將盒子外面的蘋(píng)果放進(jìn)盒子里，這時(shí)讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)為什么這樣做。學(xué)生說(shuō)出因?yàn)槭訋孜覀儗W(xué)過(guò)了，先想辦法找到“十”，就好算了。學(xué)生可視化的思維結(jié)合自己的語(yǔ)言變得更加具體，發(fā)展出了一個(gè)問(wèn)題解決不了轉(zhuǎn)化成另一個(gè)學(xué)過(guò)的問(wèn)題再解決的轉(zhuǎn)化思想。這樣的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)是寶貴的，兩種表征相結(jié)合，使思維層次變高。在擺小棒解決“9＋4”時(shí)，就可以要求小朋友們邊擺邊說(shuō)：“4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13?！边@時(shí)學(xué)生思維用動(dòng)作和語(yǔ)義同時(shí)表征，強(qiáng)化他們對(duì)9加幾算理的理解。接著讓學(xué)生收起小棒 ，同桌之間互相交流剛才擺的情況 ，學(xué)生借助剛才的操作進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和口語(yǔ)表述 ，其數(shù)學(xué)思維通過(guò)語(yǔ)義表征具體化。今后在解決同類(lèi)型問(wèn)題時(shí)可以在腦海中操作，然后借助語(yǔ)言表達(dá)，具象自己的計(jì)算思維，實(shí)現(xiàn)計(jì)算思維的高階化。這時(shí)再讓學(xué)生操作計(jì)數(shù)器，學(xué)生們的語(yǔ)義表征就更多樣化了，相信這是每位數(shù)學(xué)老師都希望達(dá)到的課堂效果。

借助工具解決問(wèn)題的確很簡(jiǎn)單，但是把操作影像留在腦海中，并利用其去解決同類(lèi)型的問(wèn)題，不是那么容易，需要有高階的思維。語(yǔ)言是人類(lèi)溝通交流的工具，要想將自己的想法、見(jiàn)解表現(xiàn)出來(lái)，不可能每次手邊都有合適的工具將自己的想法形象的動(dòng)作表征出來(lái)，這時(shí)就需要借助語(yǔ)言系統(tǒng)來(lái)補(bǔ)充表達(dá)。語(yǔ)義表征既能夠豐富思維的過(guò)程，又具有高度概括的特點(diǎn)，能將數(shù)學(xué)中的規(guī)律美表現(xiàn)得淋漓盡致。

三、符號(hào)表征，高階計(jì)算思維的抽象化

“符號(hào)意識(shí)”主要是指能夠理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理，建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，數(shù)學(xué)符號(hào)從文字中不斷地分離，形成抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言。學(xué)生直接借助符號(hào)進(jìn)行內(nèi)在的思維活動(dòng)，屬于高層次思維水平，我們通常稱(chēng)之為 “符號(hào)性表征”水平。

例如，低年級(jí)學(xué)生在認(rèn)識(shí)了0～5以后，教材就引入了“＞”“＜”和“＝”這樣的符號(hào)，利用一一對(duì)應(yīng)這樣的方法去比較大小，體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)的思想。遇到5個(gè)三角形和3個(gè)圓片比較，學(xué)生先一一對(duì)應(yīng)擺一擺，然后說(shuō)一說(shuō)，最后用符號(hào)表示出“5＞3”。這為后面學(xué)習(xí)減法奠定基礎(chǔ)。跟蹤發(fā)現(xiàn)學(xué)生們把被減數(shù)和減數(shù)交換位置的情況明顯減少，說(shuō)明先通過(guò)動(dòng)作表征到語(yǔ)義表征最后到符號(hào)表征，將數(shù)學(xué)中對(duì)應(yīng)思想逐步呈現(xiàn)，最后的符號(hào)表征將思維抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，還能使學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵。在“分與合”的教學(xué)中，學(xué)生們更是把先擺小棒的動(dòng)作表征和語(yǔ)義表征相結(jié)合，最后用符號(hào)表征抽象出分合式，進(jìn)而抽象理解10以?xún)?nèi)加減法算理。在“9加幾”這節(jié)課中，通過(guò)動(dòng)作表征和語(yǔ)義表征計(jì)算思維的方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)更加深入了。學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)表征列出算式后，再遇到算式時(shí)就會(huì)在腦海中形成影像演算抽象出方法，體會(huì)十進(jìn)制，抽象出湊十法的通用內(nèi)涵，最終給出答案。這才是真正的高階計(jì)算思維。數(shù)學(xué)思維從圖像性表征水平走向符號(hào)性表征水平，完善了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表征，數(shù)學(xué)符號(hào)表征具有準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)約性和高度抽象性的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)。

普通思維可視化注重從生活到數(shù)學(xué)， 從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)體系，而高階思維是數(shù)學(xué)體系內(nèi)部的變換與重組。但是在高階思維的指引下， 學(xué)生的發(fā)展程度是不同的。動(dòng)作表征，讓思維通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作可見(jiàn)。動(dòng)作表征和語(yǔ)義表征相結(jié)合使高階思維被學(xué)生具體表達(dá)出來(lái)。能通過(guò)符號(hào)表征數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，說(shuō)明學(xué)生的思維得到了更高的發(fā)展，思維達(dá)到抽象層次。

教學(xué)中， 教師應(yīng)該要整合融通， 既要關(guān)注普通思維的發(fā)展， 也要關(guān)注高階思維的發(fā)展。在小學(xué)階段，如果教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中僅提供符號(hào)化、形式化的抽象表征，基礎(chǔ)差的學(xué)生容易因?yàn)殡y以理解數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到困難，甚至失去學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。但如果在教學(xué)中巧用數(shù)學(xué)多元表征，利用不同表征可以互相補(bǔ)充和轉(zhuǎn)換的作用，能讓學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象，從而深刻理解數(shù)學(xué)概念和原理，真正實(shí)現(xiàn)高階思維的發(fā)展。