韓 旭，向活躍，李永樂

(西南交通大學(xué)橋梁工程系，四川，成都 610031)

近年來，隨著高速鐵路建設(shè)的迅猛發(fā)展，列車的運(yùn)行速度得到了大幅度的提升，而列車在橋梁上運(yùn)行時(shí)，與橋梁間存在著動力相互作用，這種相互作用隨著列車速度的提升變得愈發(fā)顯著，進(jìn)而對運(yùn)行車輛的安全性和舒適性產(chǎn)生影響，為了確保高速列車在橋上運(yùn)行時(shí)的安全性和舒適性，開展車-橋耦合振動分析顯得尤為必要[1-2]。

由于施工誤差、材料離散性、運(yùn)營季節(jié)、運(yùn)營環(huán)境等因素的影響，車體質(zhì)量、剛度、阻尼和橋梁的彈性模量等參數(shù)存在隨機(jī)性，這會對車-橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)產(chǎn)生不可忽略的影響[3]。對車-橋系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)性影響的研究，蒙特卡洛模擬(MCS)是最常用的一種分析方法，Wu 等[4]通過MCS 方法研究了車-橋系統(tǒng)的材料密度、彈性模量等隨機(jī)參數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。但車-橋耦合系統(tǒng)的失效概率通常很低，采用MCS 則需要計(jì)算大量的統(tǒng)計(jì)樣本，由此產(chǎn)生的計(jì)算成本是無法接受的。

為了克服MCS 計(jì)算效率低的問題，隨機(jī)振動方法得到大量運(yùn)用，其中包含概率密度演化法、響應(yīng)面法、隨機(jī)攝動方法等[5-7]。余志武等[8]將廣義概率密度演化方法與數(shù)論選點(diǎn)法相結(jié)合，研究了列車參數(shù)隨機(jī)時(shí)車-橋耦合系統(tǒng)的響應(yīng)，在精度滿足要求的前提下相比MCS 計(jì)算效率大幅度提高。Cho 等[9]通過改進(jìn)響應(yīng)面法研究了高速鐵路車-橋系統(tǒng)的可靠性，考慮了列車和橋梁的不確定性參數(shù)對列車運(yùn)行時(shí)的安全性和舒適性的影響。晉智斌等[10]采用改進(jìn)的隨機(jī)攝動法研究了橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性對車-橋響應(yīng)的影響，其結(jié)果和MCS吻合，且不存在長期項(xiàng)效應(yīng)。劉祥等[11]通過改進(jìn)點(diǎn)估計(jì)法對豎向車-橋系統(tǒng)振動響應(yīng)的前四階矩進(jìn)行了計(jì)算，考慮了列車和橋梁參數(shù)不確定性的影響，其結(jié)果與MCS 接近。上述研究在車-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動方面取得了積極進(jìn)展。

高速列車屬于小概率失效事件[12]。隨機(jī)振動方法用于小概率事件評價(jià)時(shí)，計(jì)算效率會有所降低，近年來，采用代理模型代替動力方程求解的方法在車-橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)性的研究中逐漸得到應(yīng)用，且計(jì)算效率不會明顯受到失效概率變化的影響，也能較好的反映車-橋系統(tǒng)中的非線性特性。Kewlani 等[13]通過廣義混沌多項(xiàng)式(gPC)方法計(jì)算了四分之一車輛模型的響應(yīng)，考慮了車輛剛度參數(shù)不確定性的影響。Mai 等[14]將混沌多項(xiàng)式展開(PCE)與NARX 模型結(jié)合，對四分之一非線性車輛模型在多種隨機(jī)參數(shù)影響下的響應(yīng)進(jìn)行了研究，討論了PC-NARX 模型計(jì)算次數(shù)對預(yù)測精度的影響，但基函數(shù)沒有通用的格式，不同結(jié)構(gòu)需要進(jìn)行試算。以上研究均未考慮完整的列車模型，忽略了車-橋系統(tǒng)間的耦合效應(yīng)。Han 等[15]通過NARX-ANN 與重要樣本相結(jié)合的代理模型，對車-橋系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行了預(yù)測，該方法顯示了很好的預(yù)測性能。Xiang 等[12]采用NARX-SS/S 方法分析了車-橋在隨機(jī)激勵(lì)下的失效概率，能顯著減小樣本的計(jì)算時(shí)間和數(shù)量，且與MCS 結(jié)果吻合較好。但是以上車-橋系統(tǒng)的代理模型方法未考慮參數(shù)不確定性的影響。NARX 模型用于車-橋耦合分析時(shí)，需要較大的輸入和輸出時(shí)間滯才能獲得較好的預(yù)測效果，這在一定程度上影響了該方法的計(jì)算效率。

已有研究表明[13-14,16]，帶外部輸入的自回歸滑動平均(AutoRegressive Moving-Average with eXogenous inputs, ARMAX)模型能較好的體現(xiàn)時(shí)變系統(tǒng)的動態(tài)特性；而混沌多項(xiàng)式(Polynomial Chaos,PC)展開能很好的描述和量化動態(tài)系統(tǒng)的不確定性，以代理模型代替動力方程求解的方法可用于車-橋耦合振動分析的研究，從而實(shí)現(xiàn)不確定性傳遞的解耦。為了研究參數(shù)不確定性對車-橋耦合系統(tǒng)的影響，本文提出了PC-ARMAX 模型，該模型可考慮動態(tài)時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)不確定性，進(jìn)一步將該模型用于車-橋系統(tǒng)參數(shù)不確定性分析，考察了車體質(zhì)量、二系剛度和阻尼等隨機(jī)參數(shù)對列車響應(yīng)的影響，通過與MCS 的結(jié)果對比，分析了預(yù)測精度和計(jì)算效率；再討論了隨機(jī)激勵(lì)和隨機(jī)參數(shù)共同作用于車-橋系統(tǒng)對代理模型預(yù)測性能的影響。

1 車-橋耦合模型

1.1 車輛模型

車輛模型考慮為由一個(gè)車體、兩個(gè)轉(zhuǎn)向架和四個(gè)輪對組成的兩系懸掛系統(tǒng)，如圖1 所示?？紤]到列車運(yùn)行過程中，列車橫向系統(tǒng)中輪對受到復(fù)雜的非線性作用，代理模型進(jìn)行分析仍有困難，因此本文主要針對垂向系統(tǒng)進(jìn)行分析。為簡化模型和便于計(jì)算分析，作如下假設(shè)[17]：1)車體、轉(zhuǎn)向架和輪對均考慮為剛體；2)連接車體、轉(zhuǎn)向架和輪對的彈簧和阻尼器均不考慮非線性；3)輪對和鋼軌間始終保持密貼；4)不考慮列車的加減速過程，始終保持勻速運(yùn)動。因此，每個(gè)車體和輪對考慮2 個(gè)自由度(浮沉和點(diǎn)頭)，且輪對無獨(dú)立自由度，每個(gè)車輛共6 個(gè)自由度。通過達(dá)朗貝爾原理，車輛運(yùn)動方程表示為：

圖1 車輛模型Fig. 1 The vehicle model

1.2 橋梁模型

橋梁模型為某大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋，跨徑組合為72 m+128 m+72 m，主梁為單箱單室變截面箱梁，最高橋墩為85 m，該橋的立面圖如圖2 所示。對于橋梁結(jié)構(gòu)，通常采用有限元方法進(jìn)行離散處理，其運(yùn)動方程為：

圖2 橋梁立面圖 /cmFig. 2 The elevation drawing of bridge model

式中，阻尼常數(shù)α 和β 通過兩個(gè)特定的頻率和阻尼比確定。

式(1)和式(2)給出了車輛和橋梁子系統(tǒng)的運(yùn)動方程，這兩個(gè)子系統(tǒng)相對獨(dú)立，通過輪軌接觸點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)條件和輪軌作用力平衡條件來聯(lián)系。車-橋耦合系統(tǒng)通過分離迭代法[17]求解，車輛和橋梁子系統(tǒng)則分別采用Newmark-β 直接積分法進(jìn)行求解，基于此求解方法，通過MATLAB 軟件編制了車-橋耦合振動分析程序[18]用于后續(xù)計(jì)算分析。

2 PC-ARMAX 模型

ARMAX 模型是由系統(tǒng)輸入輸出變量和噪聲干擾組成的黑箱模型，能較好的描述時(shí)變系統(tǒng)的動態(tài)特性。假設(shè)輸入序列為u(t)，對應(yīng)的響應(yīng)為y(t)，則該系統(tǒng)的ARMAX 模型可表示為[19-20]：

ARMAX 模型能較好的描述時(shí)變動態(tài)系統(tǒng)的動力學(xué)行為，其主要優(yōu)點(diǎn)是具有滑動平均的殘差序列項(xiàng)，能提供無偏的參數(shù)估計(jì)[21]。

當(dāng)考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性影響時(shí)，不同的系統(tǒng)參數(shù)會得到不同的回歸系數(shù)，為此對式(4)中的回歸系數(shù)按混沌多項(xiàng)式進(jìn)行展開，可表示為[22-23]：

需要注意的是，正交多項(xiàng)式的形式和隨機(jī)變量 ξ的概率分布類型有關(guān)，常用的幾種隨機(jī)變量分布類型對應(yīng)的正交多項(xiàng)式基函數(shù)形式如表1 所示。

表1 常用隨機(jī)變量分布及對應(yīng)多項(xiàng)式基函數(shù)Table 1 Distribution types commonly used and corresponding polynomial basis functions

進(jìn)一步，考慮多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)截?cái)嗪?，將?5)代入式(4)后，可得到PC-ARMAX 模型：

對于截?cái)嗟亩囗?xiàng)式項(xiàng)數(shù)p，可通過下式計(jì)算得到[24]：

式中，K為用于計(jì)算模型參數(shù)的時(shí)域樣本數(shù)(訓(xùn)練樣本數(shù))，提前由車-橋耦合數(shù)值模型計(jì)算得到，且對應(yīng)不同的輸入激勵(lì)和隨機(jī)參數(shù)。

將式(8)代入式(5)可得：

在對PC-ARMAX 模型參數(shù)進(jìn)行預(yù)測時(shí)，得到的結(jié)果與數(shù)值模型結(jié)果存在一個(gè)殘差κ，因此目標(biāo)結(jié)果與預(yù)測值的關(guān)系為：

式中，v? 為預(yù)測的ARMAX 模型參數(shù)。

PC-ARMAX 模型參數(shù)的迭代求解過程就是使得式(10)中的殘差κ最小，可以通過最小二乘法得到θ，計(jì)算表達(dá)式為：

在確定模型參數(shù)后，可采用代理模型代替原車-橋耦合動力方程的求解過程，來進(jìn)行MCS 模擬，統(tǒng)計(jì)響應(yīng)的概率分布等信息，具體的分析步驟如下(見圖3)：

圖3 PC-ARAMX 模型流程圖Fig. 3 Flowchart of PC-ARMAX model

第一步，確定車-橋系統(tǒng)中隨機(jī)變量的分布類型，本文的隨機(jī)變量均考慮為高斯分布，進(jìn)一步在隨機(jī)參數(shù)均值的基礎(chǔ)上確定變異系數(shù)；

第二步，根據(jù)不同車輛隨機(jī)參數(shù)對應(yīng)的概率分布類型(本文參數(shù)服從高斯分布)和取值區(qū)間，采用等差值取值方法得到K個(gè)隨機(jī)車輛參數(shù)，再通過車-橋耦合振動分析模型計(jì)算得到K個(gè)車-橋時(shí)域樣本，包含軌道不平順輸入時(shí)程、隨機(jī)變量參數(shù)以及加速度、位移等響應(yīng)時(shí)程，得到的K個(gè)樣本為代理模型的訓(xùn)練樣本；通過ARMAX 模型對K個(gè)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，以確定式(4)中模型的參數(shù)ak(ξ)、bk(ξ)和ck(ξ)，訓(xùn)練中迭代搜索算法為LM最小二乘法，針對模型的多項(xiàng)式階次和時(shí)間滯，先通過輸入和輸出的相關(guān)性[15]確定初始值，再采用試算法進(jìn)行參數(shù)的微調(diào)，直到滿足迭代終止條件(MSE[19]≤5×10-6和FPE[20]≤5×10-8)；

第三步，確定PC 項(xiàng)的參數(shù)，如最大基函數(shù)階數(shù)、基函數(shù)形式等，本文考慮的隨機(jī)變量均為高斯分布，因此，正交多項(xiàng)式也均為Hermite多項(xiàng)式；通過式(11)得到PC-ARMAX 模型的參數(shù)θ；

第四步，利用抽樣方法，如隨機(jī)抽樣、拉丁超立方抽樣法[25]等，得到滿足隨機(jī)變量參數(shù)概率分布類型和取值區(qū)間的N個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)一步通過第三步得到的參數(shù)θ、式(9)和式(6)對車-橋系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測；對于預(yù)測得到的N個(gè)車-橋響應(yīng)樣本，進(jìn)行后處理，并與MCS 的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，以評價(jià)代理模型的預(yù)測性能。

3 結(jié)果分析

車輛運(yùn)行和橋梁服役過程中，隨機(jī)系統(tǒng)參數(shù)會對列車響應(yīng)產(chǎn)生不同程度的影響，但橋梁隨機(jī)參數(shù)對列車響應(yīng)的影響相對較小[11,26]，因此，本節(jié)忽略了橋梁參數(shù)的影響，僅分析討論車輛參數(shù)不確定性的影響。已有研究表明[8,27]：列車模型一系懸掛系統(tǒng)對車體垂向加速度影響較小，而二系懸掛系統(tǒng)對車體垂向加速度占主要影響，因此在后續(xù)分析中主要考慮車體質(zhì)量、二系垂向剛度和二系垂向阻尼參數(shù)的隨機(jī)性對車體垂向加速度的影響。車輛模型采用CRH 型動車組，考慮的隨機(jī)參數(shù)如表2 所示。采用2×(動+動+動+拖)的8 節(jié)編組，其中動車和拖車的參數(shù)簡化為相同，且8 節(jié)車廂的參數(shù)隨機(jī)性一致，運(yùn)行速度為200 km/h；德國低干譜運(yùn)用廣泛，且計(jì)算結(jié)果偏安全[28]，本文選用德國低干譜來模擬軌道不平順樣本，模擬方法為AR 法[15]，空間步長為0.2 m。

表2 主要列車參數(shù)Table 2 Main parameters of train

3.1 車輛隨機(jī)參數(shù)的影響

針對較為復(fù)雜的車-橋耦合系統(tǒng)，通過等差值取值方法得到17 個(gè)車-橋樣本作為PC-ARMAX 模型的訓(xùn)練樣本，模型訓(xùn)練時(shí)參數(shù)迭代搜索算法設(shè)定為LM 最小二乘法，最大迭代次數(shù)為200，混沌多項(xiàng)式最大階次為6，在滿足迭代終止條件(MSE和FPE)后完成訓(xùn)練，此時(shí)確定的模型參數(shù)na=4，nb=5，nc=2，nk=0；利用訓(xùn)練好的PC-ARMAX 模型進(jìn)一步對車-橋系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測樣本數(shù)量為104，并和MCS 的結(jié)果進(jìn)行對比以驗(yàn)證代理模型的預(yù)測精度。為突出列車參數(shù)不確定性的影響，先忽略了軌道不平順隨機(jī)性的影響，不同訓(xùn)練樣本和預(yù)測樣本采用的軌道不平順相同，部分ARMAX 模型參數(shù)隨車體質(zhì)量變化的規(guī)律如圖4所示，可以看出代理模型的參數(shù)較大時(shí)隨車體質(zhì)量的變化規(guī)律較明顯，呈現(xiàn)一定的單調(diào)性；而在較小時(shí)則存在一定的波動，這會影響PC-ARMAX模型參數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確性，從而影響模型的預(yù)測精度。

圖4 ARMAX 模型參數(shù)Fig. 4 The parameters of ARMAX model

圖5 給出了車體質(zhì)量為37.712 t 時(shí)，PC-ARMAX模型對車體加速度的預(yù)測值與MCS 結(jié)果的時(shí)程對比曲線和誤差曲線，可以看出所采用的代理模型能較為精確的對車體加速度進(jìn)行預(yù)測，即使是對于工程應(yīng)用中較為關(guān)注的響應(yīng)最大值，最大的預(yù)測誤差僅為2%。為了進(jìn)一步對提出代理模型的整體預(yù)測性能進(jìn)行評價(jià)，圖6 給出了兩種計(jì)算方法得到的104個(gè)樣本的最大加速度值的超越概率曲線，由圖6 可以看出，除了在尾部有較小的波動外，預(yù)測值和目標(biāo)值的結(jié)果是一致的，這表明本文提出的PC-ARMAX 代理模型適用于車-橋耦合系統(tǒng)的參數(shù)不確定性分析。在計(jì)算效率方面，利用MCS 計(jì)算一個(gè)樣本的平均時(shí)間為36.4 s，而PC-ARMAX 模型訓(xùn)練一個(gè)樣本的時(shí)間約為1.5 s，預(yù)測時(shí)間為0.05 s，由此可得出，在最大預(yù)測誤差僅為2%的情況下，所提出方法的計(jì)算效率較MCS提高了2 個(gè)～3 個(gè)數(shù)量級。

圖5 車體加速度時(shí)程和誤差曲線Fig. 5 Time history of vehicle body acceleration and errors

圖6 車體加速度超越概率曲線Fig. 6 Exceeding probability of acceleration with random car body mass

為了分析不同隨機(jī)參數(shù)對PC-ARMAX 模型預(yù)測性能的影響，圖7 給出了車體質(zhì)量、二系剛度和二系阻尼這三個(gè)參數(shù)隨機(jī)時(shí)，車體加速度預(yù)測值最大值和目標(biāo)值最大值的對比結(jié)果，圖8 給出了對應(yīng)的預(yù)測值和目標(biāo)值概率密度函數(shù)對比結(jié)果。由圖7 和圖8 可以得出，代理模型對于車-橋耦合系統(tǒng)不同隨機(jī)參數(shù)都有較高的預(yù)測精度，預(yù)測值和目標(biāo)值的結(jié)果較為接近；PC-ARMAX 模型對不同隨機(jī)參數(shù)的預(yù)測性能有差異，對于二系剛度隨機(jī)時(shí)的預(yù)測精度最高，車體質(zhì)量隨機(jī)時(shí)的精度最差，但整體上差異較小。不同隨機(jī)參數(shù)對車-橋系統(tǒng)的影響存在差異，車體質(zhì)量隨機(jī)的影響最大，二系剛度隨機(jī)時(shí)影響最小，這和文獻(xiàn)[8]的結(jié)論是一致的；二系剛度隨機(jī)時(shí)引起的車體加速度相對差異達(dá)到了16.6%，表明在車-橋耦合振動分析時(shí)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性是很有必要的。

圖7 不同參數(shù)隨機(jī)時(shí)車體加速度最大值對比Fig. 7 Maximum absolute values of acceleration with different random parameters

為了進(jìn)一步研究PC-ARMAX 模型用于車-橋系統(tǒng)參數(shù)不確定性分析時(shí)的總體和局部預(yù)測性能，對預(yù)測得到的104個(gè)樣本進(jìn)行分析，得到了NRMSE和NMAE，其計(jì)算公式為：

圖9 給出了104個(gè)樣本的NRMSE 和NMAE 的框圖，可以看出，提出的代理模型的預(yù)測精度較高，其中對二系剛度隨機(jī)時(shí)的預(yù)測性能相對較好，但三個(gè)隨機(jī)參數(shù)的差別不大，這與圖7 和圖8得出的結(jié)論是一致的。

圖8 不同參數(shù)隨機(jī)時(shí)車體加速度概率密度函數(shù)Fig. 8 PDFs of acceleration with different random parameters

圖9 不同參數(shù)隨機(jī)時(shí)車體加速度的NRMSE 和NMAEFig. 9 NRMSE and NMAE of acceleration with different random parameters

3.2 隨機(jī)激勵(lì)和隨機(jī)車輛參數(shù)共同影響

軌道不平順作為隨機(jī)過程，是車-橋系統(tǒng)的主要激勵(lì)，使得車-橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性[29-30]。實(shí)際工程中，參數(shù)隨機(jī)通常伴隨著隨機(jī)軌道不平順同時(shí)出現(xiàn)，同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性和軌道不平順隨機(jī)性的影響是必要的。

為了研究隨機(jī)激勵(lì)和隨機(jī)車輛參數(shù)共同作用時(shí)PC-ARMAX 模型的適用性，圖10 給出了考慮軌道不平順和車體質(zhì)量參數(shù)同時(shí)隨機(jī)時(shí)車體加速度最大值的對比結(jié)果，圖11 給出了只考慮參數(shù)隨機(jī)時(shí)和同時(shí)考慮激勵(lì)和參數(shù)隨機(jī)時(shí)的概率密度函數(shù)對比。

圖10 考慮激勵(lì)和車體質(zhì)量隨機(jī)時(shí)車體加速度最大值對比Fig. 10 Maximum absolute values of acceleration with different random excitations and car body mass

由圖10 可得，在同時(shí)考慮激勵(lì)和車輛參數(shù)隨機(jī)時(shí)，仍然能獲得較好的預(yù)測精度，表明本文提出的模型可較好的適用于隨機(jī)車-橋耦合系統(tǒng)分析。由圖11 結(jié)合圖10 和圖7 可知，在考慮隨機(jī)軌道不平順后，預(yù)測精度略微降低，但車體加速度響應(yīng)的變化范圍也更大，與不考慮軌道不平順隨機(jī)性相比，增大了72.2%。因此軌道不平順和車-橋系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響都不可忽略，車-橋耦合振動分析中應(yīng)同時(shí)考慮兩者的隨機(jī)性。

圖11 只考慮參數(shù)隨機(jī)和同時(shí)考慮參數(shù)和激勵(lì)隨機(jī)的概率密度函數(shù)Fig. 11 PDFs of acceleration with only random parameters and both random excitations and random mass

4 結(jié)論

本文提出了可考慮動態(tài)時(shí)變系統(tǒng)的參數(shù)不確定性的PC-ARMAX 模型，將該代理模型用于車-橋耦合系統(tǒng)的參數(shù)不確定性研究，分析了車體質(zhì)量、二系豎向剛度和二系豎向阻尼等參數(shù)不確定性對車體加速度響應(yīng)的影響，進(jìn)一步考慮了不同隨機(jī)參數(shù)對提出模型預(yù)測精度的影響。得到以下結(jié)論：

(1)提出的PC-ARMAX 模型可代替車-橋系統(tǒng)動力方程的求解過程，實(shí)現(xiàn)不確定性傳遞的解耦，且對每個(gè)樣本的預(yù)測誤差均小于2%，與蒙特卡洛模擬(MCS)的結(jié)果吻合較好，且計(jì)算效率提高了2 個(gè)～3 個(gè)數(shù)量級，也可同時(shí)考慮不確定性參數(shù)與隨機(jī)激勵(lì)的影響。

(2)不同隨機(jī)參數(shù)對車輛響應(yīng)有不同程度的影響，車體質(zhì)量參數(shù)隨機(jī)的影響最大，隨機(jī)參數(shù)的影響在車-橋耦合振動分析中不可忽略。同時(shí)考慮軌道不平順和車輛參數(shù)隨機(jī)性，預(yù)測精度仍然較高，且車體加速度的變化范圍增大了72.2%。