金云濤，余志祥，駱麗茹，郭立平，張麗君，廖林緒

(1. 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031；2. 陸地交通地質(zhì)災(zāi)害防治技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，成都 611756；3. 西南交通大學(xué)防護(hù)結(jié)構(gòu)研究中心，成都 610031)

柔性防護(hù)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于地災(zāi)防護(hù)工程[1-2]，常用正交鋼絲環(huán)鏈網(wǎng)片(以下簡(jiǎn)稱(chēng)環(huán)形網(wǎng))作為攔截部件。網(wǎng)片中網(wǎng)環(huán)單元間為接觸式套接邊界，接觸區(qū)域外具有只受拉特性，沖擊作用后將發(fā)生大變形[3]，其計(jì)算方法是當(dāng)前柔性防護(hù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

目前環(huán)形網(wǎng)數(shù)值模擬常用離散單元法[4-7]和有限單元法[8-10]。早期的數(shù)值模型往往將網(wǎng)片內(nèi)部邊界視作連續(xù)處理，如Nicot 等[11]提出了共節(jié)點(diǎn)的直桿單元模擬方法，實(shí)際上這也是網(wǎng)片模擬的主流近似方法，優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算效率高。Yu 等[12]和Hu 等[13]建立了環(huán)形網(wǎng)的離散接觸態(tài)環(huán)梁?jiǎn)卧獢?shù)值模型，提出了等效面積條件下軟化彈性模量的本構(gòu)關(guān)系，該模型大大提高了網(wǎng)片力學(xué)行為的模擬精度。羅祥等[14]比較了網(wǎng)片數(shù)值模擬中等效面積法和力的平均分配法，并通過(guò)理論分析得到圓環(huán)等效截面半徑的計(jì)算方法。郭立平等[15]揭示了網(wǎng)片面外加載過(guò)程中的力流傳遞特征，據(jù)此提出了一種基于力流等效的環(huán)形網(wǎng)解析計(jì)算方法，便于工程簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)使用。上述研究推動(dòng)了柔性網(wǎng)計(jì)算理論的發(fā)展，但發(fā)展更高效率并兼顧精度的環(huán)形網(wǎng)數(shù)值計(jì)算方法依然是當(dāng)前的關(guān)注重點(diǎn)。

雖然環(huán)形網(wǎng)的網(wǎng)環(huán)單元間具有離散滑移特征，使得單元間的相互運(yùn)動(dòng)變得非常復(fù)雜，但由于單元幾乎處于僅受拉狀態(tài)，這也使得單元受力得以簡(jiǎn)化。這使得網(wǎng)片受到面外荷載作用時(shí)與薄膜具有很強(qiáng)的相似性，Mentani 等[16]的研究初步利用了這種相似性，使得非線性計(jì)算大大簡(jiǎn)化，同時(shí)獲得了與試驗(yàn)較為相似的宏觀力學(xué)響應(yīng)，但Mentani 等[16]沒(méi)有給出相似等效的解析論證，且其等效網(wǎng)型是菱形網(wǎng)。

為此，開(kāi)展了3 m×3 m 環(huán)形網(wǎng)片的面外加載試驗(yàn)，研究了試件的P-Δ特性，據(jù)此分析并揭示了網(wǎng)片的正交拉力帶傳力特征?；诰W(wǎng)片等效力學(xué)模型和薄膜最短傳力路徑假定，建立了薄膜面外加載過(guò)程的解析模型，研究了等效薄膜的本構(gòu)關(guān)系，推導(dǎo)得到各規(guī)格網(wǎng)片的等效應(yīng)力-應(yīng)變曲線，并建立了基于等效方法的數(shù)值模型，實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)片在靜載與沖擊荷載作用下的高效計(jì)算。

1 網(wǎng)片力學(xué)行為

1.1 試驗(yàn)概述

環(huán)形網(wǎng)片面外頂破試驗(yàn)在西南交通大學(xué)防護(hù)結(jié)構(gòu)研究中心開(kāi)展，試件尺寸為3 m×3 m，包括R5/3/300、R7/3/300、R9/3/300、R12/3/300、R16/3/300和R19/3/300 6 種規(guī)格，每種規(guī)格3 個(gè)試件。

試驗(yàn)設(shè)備主要為由鋼結(jié)構(gòu)反力架、液壓千斤頂、位移傳感器、加載單元和頂破頭組成的150 t拉力頂破機(jī)(圖1)，頂破頭為加載裝置與網(wǎng)片直接接觸的部分，用于傳遞荷載。

圖1 試驗(yàn)設(shè)備Fig. 1 Test equipment

1.2 試驗(yàn)結(jié)果

網(wǎng)片試件通過(guò)卸扣與試驗(yàn)臺(tái)相連，頂破頭在試件布置好之后被推入網(wǎng)片中心區(qū)域下方，并與液壓桿連接。加載時(shí)，頂破頭提升速度為6 mm/s，通過(guò)位移傳感器同步采集提升位移，由后臺(tái)數(shù)據(jù)采集儀記錄生成F-D曲線，直到網(wǎng)片破壞。如圖2所示為不同加載階段環(huán)形網(wǎng)片的形態(tài)。

圖2 試驗(yàn)中的網(wǎng)片形態(tài)Fig. 2 Mesh form during test

通過(guò)傳感器采集得到的力-位移曲線如圖3(僅列出R5 規(guī)格，其余規(guī)格曲線特征相似)所示，具體頂破力和頂破位移見(jiàn)表1。

表1 頂破力和頂破位移結(jié)果Table 1 Test result of ultimate force and displacement

圖3 R5 網(wǎng)片面外加載力-位移曲線Fig. 3 Out of plane loading F-D curves of R5 ring net

分析易知，力位移曲線具有三段特征(圖3)：階段Ⅰ近似為水平直線，因初始松弛影響，網(wǎng)片剛度幾乎為0；階段Ⅱ?yàn)榍€，因受網(wǎng)環(huán)間嵌套約束影響，網(wǎng)片剛度顯著增加，表現(xiàn)出明顯的非線性受力特征；階段Ⅲ為斜直線，因網(wǎng)環(huán)鋼絲束進(jìn)入軸向拉伸主導(dǎo)階段，網(wǎng)片表現(xiàn)出較大的整體剛度，線性化受力特征較為明顯。最終，因?yàn)榧虞d頂頭邊緣對(duì)網(wǎng)環(huán)的“咬切”破壞，網(wǎng)片到達(dá)極限承載力。

1.3 網(wǎng)片-薄膜相似性

環(huán)形網(wǎng)受力后呈正交索網(wǎng)狀態(tài)，內(nèi)部網(wǎng)環(huán)均具有4 個(gè)傳力點(diǎn)(圖4)。網(wǎng)環(huán)在受力初都呈環(huán)狀(圖2(a))，接近極限狀態(tài)時(shí)呈矩形(圖2(b))。這是由于隨著荷載增大，網(wǎng)環(huán)間滑移會(huì)趨于穩(wěn)定，此后網(wǎng)環(huán)單元產(chǎn)生彎直變形，網(wǎng)孔逐漸變?yōu)榫匦?，由于單元拉力沿著軸線方向，因此形成了正交化內(nèi)力分布模式(圖4)，相鄰平行方向的網(wǎng)環(huán)鋼絲束形成了正交拉力帶，其傳力方式類(lèi)似正交索網(wǎng)。

圖4 網(wǎng)片與薄膜的拉力帶分布Fig. 4 Orthogonal tension band formation

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果分析易知，環(huán)形網(wǎng)的F-D曲線表現(xiàn)出由強(qiáng)非線性漸變?yōu)榫€性剛化的特征，這在宏觀上與薄膜具有相似性[17]，同時(shí)，環(huán)形網(wǎng)拉力分布與薄膜在相同邊界條件下的拉力分布亦具有相似性(圖4)，且近似呈正交分布。因此，若能控制薄膜面外加載時(shí)具有與網(wǎng)片宏觀上一致的F-D關(guān)系，即控制薄膜與環(huán)形網(wǎng)具有相同的張拉剛度(見(jiàn)式(1))便可實(shí)現(xiàn)兩者的等效，這將大大簡(jiǎn)化離散網(wǎng)環(huán)間的接觸非線性關(guān)系，提高計(jì)算效率。

式中：Kmem為等效薄膜面外加載剛度；Ki-rope為網(wǎng)片中各鋼絲束沿加載方向的剛度；m為鋼絲束數(shù)量。

2 薄膜等效模型

2.1 解析模型

薄膜等效的關(guān)鍵是確定本構(gòu)關(guān)系，為此，基于薄膜正交拉力帶分區(qū)假定(圖5(a))，建立解析模型。膜剛度主要來(lái)自張拉應(yīng)力，形成張力剛度，I 區(qū)應(yīng)力普遍較低，甚至存在松弛，因此根據(jù)應(yīng)力分布特征，忽略I 區(qū)剛度貢獻(xiàn)。假定加載中任一時(shí)刻拉力帶由兩條直線段和一段圓弧組成(圖5(b))，頂頭位移為D，頂頭與薄膜豎向接觸力為F，Ⅱ區(qū)長(zhǎng)度為l，寬度為b(初始寬度取頂破頭頂壓寬度d=1 m)，鉛垂面內(nèi)的投影高度為h，厚度為t，與水平面夾角θ。實(shí)際頂頭矢高h(yuǎn)0=0.109 m，弧長(zhǎng)Lr=1.032 m。設(shè)局部坐標(biāo)系y軸沿Ⅱ區(qū)拉力方向，x軸為Ⅱ區(qū)拉力帶寬度方向，z軸沿薄膜厚度方向(圖5(b))。解析模型滿足幾何條件：

圖5 拉力帶解析模型Fig. 5 Tension band analytical model

設(shè)材料原長(zhǎng)和終長(zhǎng)為L(zhǎng)0和L1，各中間歷程的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)01、L02、···、Ln-1、Ln，對(duì)應(yīng)變?cè)隽糠e分，可得真實(shí)應(yīng)變：

式中：Fy為Ⅱ區(qū)拉力帶拉力(圖5)；σy、εex、εez分別為拉力帶y向應(yīng)力，x向和z向名義應(yīng)變。式(11)中εex、εez的確定與采用的本構(gòu)關(guān)系類(lèi)型有關(guān)，由式(9)和式(11)，若已知F、D和本構(gòu)關(guān)系類(lèi)型，可求得相應(yīng)σy、εty，即可求得薄膜應(yīng)力-應(yīng)變曲線，即：

此外，為確定薄膜等效厚度，遵循分布質(zhì)量一致原則，密度ρ 取環(huán)形網(wǎng)鋼絲密度7850 kg/m3。則薄膜厚度t0根據(jù)質(zhì)量一致原則確定：

式中，mn為n圈規(guī)格環(huán)形網(wǎng)每1 m2質(zhì)量。每種規(guī)格網(wǎng)片相應(yīng)的等效薄膜厚度如表2。

表2 不同規(guī)格網(wǎng)片對(duì)應(yīng)的薄膜厚度Table 2 Membrane thickness of different mesh sizes

2.2 薄膜本構(gòu)關(guān)系

由于網(wǎng)環(huán)單元間初始具有松弛滑移特征，且這種松弛滑移產(chǎn)生的變形具有不可恢復(fù)性，因此構(gòu)建本構(gòu)關(guān)系時(shí)，采用了擬塑性假定，即假定屈服應(yīng)變?yōu)?，加載后材料直接進(jìn)入屈服平臺(tái)，隨后進(jìn)入強(qiáng)化段。由于塑性變形不引起體積改變[19]，因此引入塑性變形的體積不變條件：

式中：σ、ε 為薄膜的應(yīng)力及應(yīng)變；M、N為只與網(wǎng)環(huán)圈數(shù)n相關(guān)的量；e 為自然常數(shù)。

計(jì)算時(shí)，取彈性模量E為各應(yīng)力-應(yīng)變曲線失效點(diǎn)處即圖6 中各曲線應(yīng)變最大的數(shù)據(jù)點(diǎn)處的切線模量，由于計(jì)算得到的各圈數(shù)“n”對(duì)應(yīng)薄膜的彈性模量取值差異不大，統(tǒng)一取其平均值11 000 MPa，泊松比取0.3。各圈數(shù)“n”對(duì)應(yīng)的薄膜失效應(yīng)變?nèi)D6 中各失效點(diǎn)橫坐標(biāo)，并采用線性擬合得到失效應(yīng)變關(guān)于“n”的計(jì)算公式：

圖6 擬合的薄膜指數(shù)強(qiáng)化本構(gòu)模型Fig. 6 Exponential hardening constitutive model of membrane

2.3 數(shù)值模型

薄膜等效的目的是提高網(wǎng)片的非線性計(jì)算效率，其求解過(guò)程依托數(shù)值計(jì)算方法，因此需構(gòu)建相應(yīng)數(shù)值模型。采用顯式瞬態(tài)動(dòng)力非線性分析軟件LS-DYNA 進(jìn)行計(jì)算，采用Belytschko-Lin-Tsay單點(diǎn)積分四邊形殼單元[20-21]，由于單元厚度約為0.42 mm～1.58 mm，與平面尺寸相差3～4 個(gè)數(shù)量級(jí)，其彎曲及剪切剛度的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)。薄膜周邊鉸接約束，頂破頭指定向上的強(qiáng)迫位移，薄膜和頂破頭的接觸為采用罰函數(shù)和庫(kù)倫摩擦模型的面-面接觸，摩擦系數(shù)0.4(圖7)。薄膜材料采用2.2 節(jié)所述指數(shù)強(qiáng)化本構(gòu)，將薄膜應(yīng)力-應(yīng)變曲線(式(18))輸入至數(shù)值模型，失效應(yīng)變?nèi)≈祬⒖际?21)，薄膜等效厚度取值見(jiàn)表2，網(wǎng)格尺寸25 mm×25 mm。

圖7 薄膜面外加載有限元模型Fig. 7 FEM model of membrane out of plane loading

同時(shí)采用文獻(xiàn)[13]中的等效面積法建立環(huán)梁模型進(jìn)行對(duì)比分析。以R5/3/300 規(guī)格的網(wǎng)片為例，將薄膜等效、環(huán)梁模型和頂壓試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比(圖8)，曲線與橫軸包圍的面積即網(wǎng)片的極限耗能。其余規(guī)格網(wǎng)片的結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表3。綜合比較來(lái)看，環(huán)梁模型得到的加載曲線與試驗(yàn)曲線貼合程度更高，但帶來(lái)更高的計(jì)算消耗，等效方法的加載曲線同樣能夠還原出初始松弛段、非線性剛度段和線性硬化段的3 階段特征。等效方法的頂破力、頂破位移、極限耗能等指標(biāo)相對(duì)誤差均小于10%，精度與環(huán)梁模型相當(dāng)。值得注意的是，等效方法得到的頂破位移均略小于試驗(yàn)值，這是因?yàn)楸∧さ刃Ы馕瞿Ｐ秃雎粤刷駞^(qū)剛度貢獻(xiàn)，然而數(shù)值計(jì)算時(shí)，Ⅰ區(qū)剛度客觀存在，因此導(dǎo)致頂破位移小于試驗(yàn)值。但兩者差異很小，最大誤差僅為6.6%，這也說(shuō)明解析模型等效時(shí)忽略Ⅰ區(qū)剛度貢獻(xiàn)是合理的簡(jiǎn)化。

表3 網(wǎng)片面外頂破的等效方法誤差對(duì)比Table 3 Relative error contrast between equivalent method and circular beam model

圖8 等效方法力-位移模擬結(jié)果對(duì)比(R5/3/300)Fig. 8 Simulation results of equivalent method (R5/3/300)

3 等效方法驗(yàn)證

3.1 網(wǎng)片沖擊試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步研究等效方法用于沖擊荷載作用下的適應(yīng)性，結(jié)合Grassl 等[22]的試驗(yàn)研究進(jìn)行了反演分析。Grassl 進(jìn)行了網(wǎng)片在固定邊界下的沖擊試驗(yàn)，網(wǎng)片平面尺寸3.9 m×3.9 m，網(wǎng)環(huán)規(guī)格R7/3/300，四邊固定于剛度很大的支撐鋼框架，沖擊試塊為球體，直徑0.88 m，質(zhì)量830 kg，沖擊能量45 kJ，試驗(yàn)通過(guò)高速攝像機(jī)和固定于試塊上的加速度傳感器得到試塊沖擊過(guò)程的位移、速度、加速度時(shí)程曲線。

分別建立環(huán)形網(wǎng)片沖擊試驗(yàn)的離散接觸態(tài)環(huán)梁有限元模型和薄膜等效數(shù)值模型。環(huán)梁模型的模擬方法為文獻(xiàn)[13]中的等效面積法，采用其所述軟化彈性模量的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，網(wǎng)環(huán)間為通用自接觸，單個(gè)網(wǎng)環(huán)分為16 段梁?jiǎn)卧?。薄膜等效模型中薄膜材料參?shù)采用2.2 節(jié)所述的指數(shù)強(qiáng)化本構(gòu)模型，應(yīng)力-應(yīng)變曲線參考式(18)，失效應(yīng)變?nèi)≈祬⒖际?21)，薄膜劃分的網(wǎng)格尺寸25 mm×25 mm，模型的具體輸入?yún)?shù)見(jiàn)表4。薄膜等效模型和環(huán)梁模型在各沖擊時(shí)刻下的形態(tài)如圖9 所示。

圖9 薄膜和網(wǎng)片形態(tài)及應(yīng)力云圖Fig. 9 Form and stress nephogram of membrane and ring net

表4 等效模型輸入?yún)?shù)Table 4 Input parameters in equivalent numerical model

數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果中，t=0.06 s 時(shí)，薄膜與網(wǎng)片形態(tài)存在微小差異，這是由于環(huán)形網(wǎng)的初始松弛影響導(dǎo)致其垂度略大于薄膜初始垂度。t=0.1 s時(shí)，網(wǎng)片開(kāi)始張緊，剛度發(fā)展迅速，網(wǎng)片和薄膜變形形態(tài)趨于一致。t=0.15 s 時(shí)，落錘到達(dá)最低點(diǎn)，薄膜和網(wǎng)片的拉力帶效應(yīng)顯著，具有明顯正交化受力特征，該階段試件剛度發(fā)展至極大值。

模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[22]的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，沖擊試塊位移、速度、加速度時(shí)程曲線結(jié)果對(duì)比如圖10。對(duì)比表明，薄膜等效方法得到的加速度峰值與試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)誤差僅為4.3%，離散網(wǎng)環(huán)模型得到加速度峰值與試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)誤差為3%，兩種數(shù)值模擬方法的精度相當(dāng)。值得注意的是，由位移及速度時(shí)程曲線可見(jiàn)采用離散網(wǎng)環(huán)模型時(shí)，明顯高估了試塊的回彈高度，表明沖擊過(guò)程網(wǎng)片的耗能和彈性?xún)?chǔ)能占比不合理，因此在這點(diǎn)上薄膜等效模擬方法反而具有一定優(yōu)勢(shì)。

圖10 試塊運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)比Fig. 10 Contrast of block motion parameters

3.2 計(jì)算效率

對(duì)比3.1 節(jié)中離散接觸態(tài)環(huán)梁模型和薄膜等效模型的計(jì)算耗時(shí)(表5)表明，薄膜等效可以大幅提高環(huán)形網(wǎng)的計(jì)算效率，測(cè)試模型中等效方法計(jì)算速度提高10.3 倍。實(shí)際上，隨著環(huán)形網(wǎng)片計(jì)算規(guī)模的增加，由于環(huán)梁模型內(nèi)部自接觸導(dǎo)致的計(jì)算資源消耗將顯著增加，薄膜等效的優(yōu)勢(shì)將更加顯著。

表5 計(jì)算效率對(duì)比Table 5 Contrast of computational efficiency

4 結(jié)論

綜上所述，可以得到以下結(jié)論：

(1)環(huán)形網(wǎng)片加載過(guò)程中拉力帶效應(yīng)具有顯著的正交化受力特征，其F-D關(guān)系的三階段特征可以通過(guò)指數(shù)強(qiáng)化本構(gòu)反演，并結(jié)合殼單元薄膜比擬實(shí)現(xiàn)力學(xué)行為等效。

(2)薄膜等效計(jì)算與擬靜力試驗(yàn)結(jié)果的頂破力、頂破位移、耗能誤差均小于10%，等效方法能夠比較準(zhǔn)確地反映環(huán)形網(wǎng)片面外加載的宏觀力學(xué)行為。

(3)薄膜等效方法得到的試塊沖擊變形、速度和加速度時(shí)程與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，其中加速度峰值誤差為4.3%，精度與離散接觸態(tài)環(huán)梁模型相當(dāng)，且等效方法計(jì)算效率可提升10 倍以上。

復(fù)雜邊界條件下特別是柔性可滑移邊界下的薄膜等效模擬方法需要進(jìn)一步深入研究。