王佩，李明昕

(1.廣東金融學(xué)院，廣東 廣州 510521；2.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

從理論上講，在一個(gè)沒有摩擦的金融市場中，兩種資產(chǎn)和在未來某一固定時(shí)刻應(yīng)具有相同或幾乎相同的未定權(quán)益.因此，它們會以相同或接近相同的價(jià)格進(jìn)行交易.然而，真正的金融市場并非毫無摩擦.因此，這對資產(chǎn)之間可能存在顯著的定價(jià)差異，這種現(xiàn)象被稱為“定價(jià)誤差”.在現(xiàn)實(shí)中存在很多定價(jià)誤差的例子，例如一些在中國證券交易所以A股，而在香港證券交易所以H股上市的中國公司就存在定價(jià)誤差：主要包括中國銀行和中國農(nóng)業(yè)銀行.根據(jù)慣例，即使只有一個(gè)價(jià)格偏離資產(chǎn)的正常價(jià)格水平，就可以認(rèn)為定價(jià)較高的資產(chǎn)被(相對)高估，而定價(jià)較低的資產(chǎn)被(相對)低估.這兩種資產(chǎn)在未來的某個(gè)時(shí)刻(可能是預(yù)先確定的)的價(jià)格應(yīng)該相等，因此利用這種定價(jià)誤差套利的常見策略采取“Long-Short”(以下簡稱L-S)策略.L-S策略持有相同規(guī)模的投資組合權(quán)重或股票數(shù)量，但符號相反，參見Mitchell M等[1]與Liu J等[2].

雖然L-S策略在業(yè)界和學(xué)術(shù)界都被廣泛使用，但其設(shè)計(jì)目的是利用長期套利機(jī)會，卻忽視了對短期多元化收益的探索.為了最優(yōu)地利用定價(jià)誤差，Liu J等[3]將其置于最大化投資組合框架下，進(jìn)而推導(dǎo)出投資者的最優(yōu)策略.他們發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)策略并不總是L-S策略.Yi等[4]進(jìn)一步考慮了股票具有隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和定價(jià)誤差時(shí)，最優(yōu)投資組合選擇問題.他們發(fā)現(xiàn)，與Liu J等[3]的結(jié)果不同，在隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)下，即使股票的流動性相同，投資者的最優(yōu)投資策略也不是L-S策略.在Liu J等[3]和Yi B等[4]的啟發(fā)下，Gu A L， Gu A L等[5，6]分別考慮了無隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)下帶有定價(jià)誤差的最優(yōu)投資再保險(xiǎn)策略.

但目前有關(guān)帶有定價(jià)誤差的最優(yōu)投資組合選擇問題僅局限在終端財(cái)富期望效用最大化的假設(shè)下進(jìn)行，沒有控制投資組合的風(fēng)險(xiǎn).因此，在均值-方差準(zhǔn)則下研究帶有定價(jià)誤差的最優(yōu)投資組合選擇問題更符合實(shí)際需要.然而均值-方差目標(biāo)函數(shù)中的方差項(xiàng)不滿足期望迭代性質(zhì)，Bellman最優(yōu)性原則不再成立，從而導(dǎo)致均值-方差優(yōu)化問題是一個(gè)時(shí)間不一致問題，即在初始時(shí)刻得到的最優(yōu)策略在未來時(shí)刻不再是最優(yōu)的.然而，投資策略的時(shí)間一致性是理性投資者的基本要求.如果投資策略缺乏時(shí)間一致性，投資者可能會遭受意想不到的損失.投資者更偏好對每個(gè)時(shí)間點(diǎn)都是最優(yōu)的時(shí)間一致性策略，而不是僅在初始時(shí)間最優(yōu)的預(yù)先承諾策略.因此，在Bj?rk T[7]提出的博弈論框架下，大量的學(xué)者試圖通過求解擴(kuò)展Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程系統(tǒng)研究均值-方差準(zhǔn)則下的時(shí)間一致投資策等和略(也稱均衡策略)，參見Bj?rk T等[8]、Zeng Y[9]等和Li Y[10]等.

因此，本文在均值-方差準(zhǔn)則下，研究具有定價(jià)誤差和隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的投資組合選擇問題.具體地，金融市場包含一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一個(gè)市場指數(shù)和一對錯(cuò)誤定價(jià)的股票，其中市場指數(shù)和股票的價(jià)格過程均滿足幾何布朗運(yùn)動，而股票具有服從均值回復(fù)過程的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià).投資者的決策目標(biāo)是最大化終端財(cái)富期望的同時(shí)最小化終端財(cái)富的方差.在博弈論的框架下，得到均衡投資策略和相應(yīng)值函數(shù)的解析式.然后利用數(shù)值算例分析了模型參數(shù)對均衡投資策略和均衡有效前沿的影響.

1 模型構(gòu)建

設(shè)(Ω，F(xiàn)，Q)一個(gè)賦流的完備概率空間，具有信息域流{Ft}0≤t≤T，其中Ft為t時(shí)刻t金融市場中的信息，[0，T]為固定有限的投資期限.假設(shè)文中所有的隨機(jī)過程均為{Ft}0≤t≤T適應(yīng)的.

1.1 金融市場

假設(shè)金融市場由一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、一個(gè)市場指數(shù)和一對存在定價(jià)誤差的股票.無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程S0(t)為：

(1)

式中：r>0為無風(fēng)險(xiǎn)利率.市場指數(shù)的價(jià)格過程Pm(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：

(2)

式中：μm>0為市場風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，σm為市場波動率，Zm(t)為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.一對存在定價(jià)誤差的股票價(jià)格過程P1(t)，P2(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：

(3)

(4)

式中：l1，l2，σ>0，β>0為常數(shù)，Z(t)，Z1(t)，Z2(t)為3個(gè)一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，且Zm(t)，Z(t)，Z1(t)，Z2(t)彼此相互獨(dú)立.σdZi(t)為2支股票的共同風(fēng)險(xiǎn)，βdZi(t)為第i支股票的特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)，μ(t)為2支股票共同風(fēng)險(xiǎn)σdZ(t)的溢價(jià)，其動態(tài)演化過程滿足如下均值回復(fù)過程：

(5)

(6)

dX(t)=-(l1+l2)X(t)dt+bdZ1(t)-bdZ2(t)

=(l1+l2)(0-X(t))dt+bdZ1(t)-bdZ2(t) .

(7)

式(7)表明定價(jià)誤差X(t)也服從一個(gè)均值回復(fù)過程，其長期均值為0，均值回復(fù)速度為l1+l2.為了方便起見，假設(shè)l1+l2>02.li可表示第i支股票的流動性，i=1,2.事實(shí)上，定價(jià)誤差一般發(fā)生在具有摩擦的金融市場，而市場摩擦很大程度上是源于市場流動性不足.當(dāng)流動性l1,l2較小時(shí)，定價(jià)誤差X(t)需要較長的時(shí)間才能回復(fù)到零均值，這與流動性越低，市場摩擦越大的觀點(diǎn)是一致的.

1.2 財(cái)富過程

令π={(πm(t),π1(t),π2(t)),0≤t≤T}為投資策略，其中πm(t),π1(t),π2(t)分別表示時(shí)刻t投資到市場指數(shù)和2支股票的財(cái)富比例，則1-πm(t)-π1(t)-π2(t)為時(shí)刻投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富比例.因此，投資者采用投資策略π時(shí)的相應(yīng)財(cái)富Wπ(t)滿足如下動態(tài)過程：

(8)

同時(shí)，假設(shè)Wπ(0)=w0,X(0)=x0,μ(0)=π0.

定義1：(容許策略)稱策略是一個(gè)容許策略π={(πm(t),π1(t),π2(t)),t∈[0,T]}，如果

(Ⅱ)對任意(t,w,x,μ)∈[0,T]×O，O=+××，方程(8)式有唯一強(qiáng)解.

所有允許策略組成的集合記為Π.

1.3 優(yōu)化問題

假設(shè)投資者的目標(biāo)是終端財(cái)富越多的同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)越小.也就是說投資者在投資期末T的財(cái)富水平達(dá)到最高且風(fēng)險(xiǎn)最低.投資者的這一目標(biāo)可用下面的均值-方差模型表示：

(9)

式中：γ為投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，Et,w,x,μ[·]=E[·|Wπ(t)=w,X(t)=x,μ(t)=μ]和Vart,w,x,μ[·]=Var[·|Wπ(t)=w,X(t)=x,μ(t)=μ]分別為給定Wπ(t)=w,X(t)=x,μ(t)=μ下的條件期望和條件方差.另外，J(t,w,x,μ)可寫為：

=Et,w,x,μ[F(Wπ(T))]+G(Et,w,x,μ[Wπ(T)])

本文將在Bj?rk T[7]等提出的博弈論框架下求解時(shí)間不一致優(yōu)化問題(9)，并尋找其時(shí)間一致的均衡投資策略.下面首先定義優(yōu)化問題(9)的均衡策略.

定義2：(均衡策略)稱一個(gè)容許策略π*是優(yōu)化問題(9)的均衡策略，如果對所有給定的π∈Π，h>0，和(t,w,x,μ)∈[0,T]×O，下式成立

式中：πh為

πh(s,y)=

則優(yōu)化問題(9)的均衡值函數(shù)為

V(t,w,x,μ)=J(t,w,x,μ,π*)

2 均衡投資策略

下面利用Bj?rk J等[7]的結(jié)論推導(dǎo)優(yōu)化問題(9)滿足的擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng).為了方便起見，定義

C1,2,2,2([0,T]×O)={Ψ(t,w,x,μ)|Ψ(t,·,·,·)在[0，T]上一階連續(xù)可微，Ψ(·,w,x,μ)分別關(guān)于w在+，x在，μ在上二階連續(xù)可微} .

對任意Ψ(t,w,x,μ)∈C1,2,2,2([0,T]×O)，定義微分算子Aπ：

式中：Ψt,Ψw,Ψx,Ψμ,Ψww,Ψxx,Ψμμ,Ψwx,Ψwμ分別為Ψ(t,w,x,μ)關(guān)于相關(guān)變量偏導(dǎo)數(shù)的簡寫，πm,π1,π2分別為πm(t),π1(t),π2(t)的簡寫.

根據(jù)Bj?rk T[7]等中的擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)與相應(yīng)驗(yàn)證定理，可知優(yōu)化問題(9)的均衡投資策略π*和相應(yīng)的均衡值函數(shù)V(t,w,x,μ)可通過求解如下擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)和驗(yàn)證定理得到.

定理1：(驗(yàn)證定理)假設(shè)存在實(shí)值函數(shù)V(t,w,x,μ)，g(t,w,x,μ)∈C1,2,2,2([0,T]×O)滿足如下的擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)：

(10)

其中上式中第一個(gè)方程的極大值在π*實(shí)現(xiàn)，G◇g，Hug定義為

(G◇g)(t,w,x,μ)=G(g(t,w,x,μ)) ,

Hπg(shù)=Gy(g(t,w,x,μ))Aπg(shù)(t,w,x,μ) ,

則g(t,w,x,μ)=Et,w,x,μ[Wπ*(T)]，π*為優(yōu)化問題(9)的均衡投資策略，V(t,w,x,μ)是相應(yīng)的均衡值函數(shù).

證：該定理的證明類似于Bj?rk T[7]等中定理4.1的證明，這里省略.

為了求解優(yōu)化問題(9)的均衡策略和相應(yīng)均衡值函數(shù)，對擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)(10)進(jìn)行化簡，得到如下命題.

命題1：擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)(10)可化簡為

(11)

(12)

(13)

證：該定理的證明類似于Li Y等[10]，故略去.

通過求解化簡的擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)(11)～(13)，可得優(yōu)化問題(9)的均衡策略和相應(yīng)均衡值函數(shù)的解析表達(dá)式.猜測函數(shù)V(t,w,x,μ)和g(t,w,x,μ)具有如下形式：

(14)

Vw=A1,Vww=0,Vx=A2x+A3+B3μ,Vxx=A2,

Vμ=B1μ+B2+B3x,Vμμ=B1,Vxx=Vμμ=0 ,

(15)

和

(16)

根據(jù)一階最優(yōu)條件，對方程(15)分別關(guān)于πm,π1,π2求導(dǎo)，得到

(17)

將(17)式代入(15)，(16)式，并關(guān)于w，x2，x，μ2，μ，xμ及剩余項(xiàng)進(jìn)行整理，可得

(18)

和

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

將(20)～(32)式分別代入(14)與(17)式，即可得均衡值函數(shù)、期望的終端財(cái)富與均衡投資策略π*.將結(jié)果總結(jié)為如下命題.

定理2：具有財(cái)富過程(8)均值方差優(yōu)化問題(9)的均衡投資策略為

其中

(33)

相應(yīng)的均衡值函數(shù)為

(34)

預(yù)期的終端財(cái)富為

g(t,w,x,μ)=Et,w,x,μ[Wπ*(T)]

(35)

(36)

(37)

則有

(38)

注2：根據(jù)定義1、定理2和優(yōu)化問題(9)的定義，可知給定初始條件(w0,x0,μ0)下，優(yōu)化問題(9)在時(shí)刻t=0的均衡有效前沿為

3 數(shù)值算例

3.1 均衡策略的敏感性分析

本文主要關(guān)注股票隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和其均值回復(fù)速度κ，定價(jià)誤差x及其均值回復(fù)速度l1+l2對均衡投資策略的影響.若假設(shè)x>0且l2>l2>0，則第一支股票價(jià)格被高估而第二支股票價(jià)格被低估，并且被低估的股票回復(fù)到均值的速度比被高估的股票回復(fù)到均值的速度快.因此，買入低估股票的優(yōu)勢會以更快的速度消失.l1和l2的相對大小以及x與0的相對大小有很多可能的組合，都可以進(jìn)行相應(yīng)地解釋和分析，本文不再詳述.

圖1 μ對均衡投資策略的影響

圖2 x對均衡投資策略的影響

圖3，4顯示了股票隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的均值回復(fù)速度κ和定價(jià)誤差的均值回復(fù)速度l1+l2對πL-S的影響.圖3表明πL-S隨κ的增大而增大，圖4表明πL-S關(guān)于l1+l2也是遞增的.但通過比較圖3，4可發(fā)現(xiàn)，πL-S對l1+l2的變化更為敏感，而對κ的變化不太敏感.當(dāng)l1=l2時(shí)，2支股票流動性相同，則πL-S與κ無關(guān).πL-S體現(xiàn)了2支股票的流動性差異以及定價(jià)誤差.均值回復(fù)速度κ會改變股票的流動性，因此對πL-S有影響，但當(dāng)2支股票的流動性差異為零時(shí)，這種影響消失.因此，投資者利用定價(jià)誤差的套利優(yōu)勢時(shí)，應(yīng)關(guān)注市場流動性的變化.

圖3 κ對πL-S的影響

圖4 l1+l2對πL-S的影響

圖5，6顯示了股票隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的均值回復(fù)速度κ和定價(jià)誤差的均值回復(fù)速度l1+l2對均衡有效前沿的影響.由圖5可知，隨著κ的增長，股票隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ(t)的不確定性越小，故當(dāng)終端財(cái)富的期望水平相同時(shí)，終端財(cái)富的方差越小，也就是說投資風(fēng)險(xiǎn)降低.圖6表明，當(dāng)l1+l2增大，定價(jià)誤差X(t)的不確定性降低，因此終端財(cái)富的期望水平相同時(shí)，終端財(cái)富的方差減小.

圖5 κ對均衡有效前沿的影響

圖6 l1+l2對均衡有效前沿的影響

4 結(jié)論

研究了股票存在定價(jià)誤差且具有隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)時(shí)，使投資者終端財(cái)富均值-方差效用最大的均衡投資策略.股票的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和定價(jià)誤差都遵循均值回復(fù)過程.利用Bj?rk T[7]等提出的博弈論思想，得到了均衡投資策略以及相應(yīng)值函數(shù)的解析式.通過數(shù)值算例分析了隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和定價(jià)誤差對均衡投資策略及均衡有效前沿的影響.結(jié)果表明，市場流動性會影響對定價(jià)誤差的對沖需求，并且市場流動性增強(qiáng)會降低投資組合風(fēng)險(xiǎn).