魏 偉，張瑩瑩，劉載文，左 敏

(北京工商大學(xué)人工智能學(xué)院，北京 100048)

1 引言

溶解氧(dissolved oxygen， DO)濃度是污水處理過程的關(guān)鍵變量之一，有效控制DO濃度至關(guān)重要[1]。然而，污水處理受進(jìn)水流量、組分、濃度、溫度等諸多因素的影響；同時(shí)，復(fù)雜的生化反應(yīng)亦增加了其非線性和不確定性，這些都給DO濃度控制帶來了極大的挑戰(zhàn)[2]。

為有效控制DO濃度，人們進(jìn)行了大量研究。PID控制[3]結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)，但因其無法有效處理非線性[4-5]而性能不佳。為獲得更好的污水處理效果，模型預(yù)測控制[6-7]、專家控制[4]、模糊控制[8]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10，11]等相繼用于溶解氧控制。模型預(yù)測控制精度受限于模型精度，為獲得精確模型，需要辨識(shí)整個(gè)系統(tǒng)的模型[5]。有限的專家經(jīng)驗(yàn)[1]限制了專家控制的效果。模糊控制提高了控制精度，但缺乏學(xué)習(xí)能力限制了其控制精度的進(jìn)一步提高[12]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自主學(xué)習(xí)能力[13]，但也存在過擬合的問題[14]。

為此，結(jié)構(gòu)簡單、對數(shù)學(xué)模型依賴小、便于工程實(shí)現(xiàn)的控制算法，對污水處理過程控制非常必要。韓京清先生提出的自抗擾控制(active disturbance rejection control， ADRC)[15]利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer， ESO)估計(jì)系統(tǒng)內(nèi)部不確定性和外部擾動(dòng)，并通過控制律將其補(bǔ)償，獲得了良好的控制性能，廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域。同時(shí)，考慮到收斂速度是控制系統(tǒng)的關(guān)鍵指標(biāo)之一[16]。為此，文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器并應(yīng)用于動(dòng)中通天線伺服系統(tǒng)。文獻(xiàn)[18]結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定理論與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償線性化方法，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗干擾能力。本文針對污水處理過程的不確定性和擾動(dòng)問題，改進(jìn)有限時(shí)間觀測器，以提高溶解氧濃度控制效果。

2 系統(tǒng)描述

污水處理1號(hào)基準(zhǔn)仿真模型(Benchmark Simulation Model no.1， BSM1)由歐盟科學(xué)技術(shù)與合作組織和國際水協(xié)會(huì)共同建立，為污水處理過程控制策略提供評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。BSM1由2個(gè)厭氧池，3個(gè)好氧池和1個(gè)二沉池組成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示[19]。

圖1 BSM1結(jié)構(gòu)

第5個(gè)反應(yīng)池的DO動(dòng)力學(xué)為[19]

(1)

(2)

(3)

(4)

其中，SS為易降解底物，XB，H，XB，A分別為活性異養(yǎng)、自氧生物量，SNH為銨鹽濃度，相關(guān)參數(shù)見表1[19]。

表1 污水處理部分工藝參數(shù)

3 有限時(shí)間抗擾控制設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)改進(jìn)型有限時(shí)間狀態(tài)觀測器(modified finite-time extended state observer， MFTESO)，結(jié)合有限時(shí)間控制(finite-time control， FTC)，形成改進(jìn)型有限時(shí)間自抗擾控制(modified finite-time active disturbance rejection control， MFTADRC)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 改進(jìn)型有限時(shí)間自抗擾控制

3.1 有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

含模型信息的有限時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(finite-time extended state observer， FTESO)為[17，20]

(5)

3.2 改進(jìn)型有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

觀測器的分?jǐn)?shù)冪決定了其收斂速度，修正觀測器輸出估計(jì)誤差的分?jǐn)?shù)冪，可設(shè)計(jì)MFTESO為

(6)

式中L為可調(diào)參數(shù)。

當(dāng)1/2<αvi+L|z1-y|<1且βi>0，i=1，2時(shí)，觀測器有限時(shí)間收斂，且收斂時(shí)間取決于αv1，L，ωo以及初始估計(jì)偏差e(0)=z1(0)-y(0)。

為證明觀測器(6)是有限時(shí)間收斂的，先給出三個(gè)引理。

引理3.1[21]：若

(7)

θi=iθ1-(i-1)，1≤i≤n

(8)

那么系統(tǒng)關(guān)于(i-1)θ1-(i-2)，1≤i≤n，有(θ1-1)齊次度。

引理3.2[22]：對于系統(tǒng)

(9)

若存在矩陣

(10)

滿足dii>0，i=1，2且DA(e)為正定對稱矩陣，那么系統(tǒng)(9)在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

引理3.3[17]：若系統(tǒng)具有齊次度d<0且系統(tǒng)在原點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)全局有限時(shí)間穩(wěn)定。

(11)

其中b0為控制增益，H(t)是總擾動(dòng)的變化率，u是控制量。

設(shè)計(jì)二階有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

(12)

其中

χi(·)=βisign(·)|·|αvi+L|·|，i=1，2

(13)

其中αvi，L，βi，b0待定。定義狀態(tài)估計(jì)誤差為ei=zi-xi，i=1，2。通常，總擾動(dòng)及其導(dǎo)數(shù)信息未知，不妨令H(t)=0。由系統(tǒng) (11)和觀測器(12)，可得估計(jì)誤差方程

(14)

調(diào)整αv1，L，βi(i=1，2)，使誤差動(dòng)力系統(tǒng)(14)全局有限時(shí)間收斂。有如下定理

定理3.1：若誤差動(dòng)力系統(tǒng)(14)同時(shí)滿足齊次性、漸近穩(wěn)定性以及

(15)

則誤差動(dòng)力系統(tǒng)(14)是有限時(shí)間收斂的，且時(shí)間T依賴βi，αvi，L和估計(jì)偏差e(0)=z1(0)-y(0)。

證明: 令

1/2<αv1+L|z1-y|<1

(16)

同時(shí)

(αvi+L|z1-y|)=i(αv1+L|z1-y|)-(i-1)，1≤i≤2

則系統(tǒng)關(guān)于(i-1)(αv1+L|z1-y|)-(i-2)，1≤i≤2具有度(αv1+L|z1-y|)-1的齊次性。

令e=[e1，e2]T，誤差動(dòng)力系統(tǒng)(14)可寫為

(17)

式中，

(18)

其中F=|z1-y|(αv1+L|z1-y|)-1>0。令

(19)

取d11=ε1，d22=ε2，εi>0，i=1，2，那么

其中，

D11=ε1β1F+d12β2F2，D21=-d12β1F+ε2β2F2

使DA(e)為對稱正定矩陣，則

(20)

于是

(21)

即

(22)

那么

ε1=η→0

(23)

將(23)代入(21)可得

(24)

使DA(e)正定，需d12>0，即

β1>0，β2>0

(25)

于是

(26)

那么，矩陣D取為

可見，D為F(估計(jì)誤差e)的函數(shù)。

定義誤差系統(tǒng)(14)的李雅普諾夫函數(shù)為

(27)

其導(dǎo)數(shù)為

(28)

因此，由引理3.2知，誤差系統(tǒng)(14)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定。

選取參數(shù)使1/2<αv1+L|z1-y|<1成立，誤差系統(tǒng)的齊次度為[(αv1+L|z1-y|)-1]<0。于是，由引理3.3可知，誤差動(dòng)力系統(tǒng)(14)(即擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(12))是有限時(shí)間收斂的。

3.3 有限時(shí)間控制

參考文獻(xiàn)[16]及圖2，設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制律

u0=kpb0sign(r-z1)|r-z1|α1

(29)

(30)

其中kp,ki,α1和b0是可調(diào)參數(shù)，r是設(shè)定值，u為控制量，z1是y的估計(jì)值，z2是總擾動(dòng)的估計(jì)值。

4 數(shù)值仿真

表2 控制參數(shù)值

采用絕對誤差積分(integral absolute error， IAE)，誤差平方積分(integral square error， ISE)，最大絕對誤差Devmax(maximum error)以及總耗能(overall cost index， OCI)定量比較控制性能及相應(yīng)能耗[19]。

(31)

(32)

Devmax=max{|r-y|}

(33)

OCI=AE+PE+5SP+3EC+ME

(34)

(35)

+0.008·Qr(t))dt

(36)

(37)

(38)

(39)

其中，r為設(shè)定值，y為第5個(gè)反應(yīng)池的溶解氧濃度(變量信息詳見文獻(xiàn)[19])。

以下給出三種天氣時(shí)，PI、FTADRC及MFTADRC的溶解氧調(diào)控效果及控制信號(hào)，并定量比較算法間的性能差異和能耗。

4.1 晴天

晴天時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)和控制量如圖3所示

圖3 晴天時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)及控制量

圖3(a)所示響應(yīng)表明，晴天時(shí)，MFTADRC的跟隨誤差最小。圖3(b)顯示三種方法的控制量相似。因此，用相似的控制量，MFTADRC能更好地跟隨設(shè)定值。

由表3知，晴天時(shí)，與PI和FTADRC相比，MFTADRC的總能耗增加了3.67×10-3%和6.11×10-4%，而ISE降低了99.3%和79.2%；IAE降低了93.9%和42.6%；Devmax降低了88.5%和58.3%?？梢姡琈FTADRC以相似的能耗，獲得了更好的溶解氧濃度跟隨效果。這表明，MFTADRC能夠更快、更準(zhǔn)地估計(jì)總擾動(dòng)，進(jìn)而保證更好的調(diào)控效果。

表3 晴天時(shí)三種方法的性能指標(biāo)

圖4表明，MFTADRC以相似的控制量獲得了更好的溶解氧控制效果。表4給出了跟隨誤差及能耗的定量比較結(jié)果。

圖4 雨天時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)和控制量

表4 雨天時(shí)三種方法的性能指標(biāo)

表4數(shù)據(jù)表明，雨天時(shí)，MFTADRC比PI的總能耗上升了3.13×10-3%，比FTADRC的總能耗上升了6.26×10-4%。然而，與PI和FTADRC相比，MFTADRC的ISE降低了99.4%和75.6%，IAE降低了94.4%和38.9%，Devmax降低了89.0%和60.3%?？梢?，在能量消耗幾乎相同的情況下，MFTADRC對溶解氧濃度的調(diào)控能力優(yōu)于PI和FTADRC。同樣表明MFTADRC估計(jì)總擾動(dòng)的能力更強(qiáng)，調(diào)控溶解氧的效果更好。

與圖3，圖4相似，圖5同樣顯示在相似的控制量作用下，MFTADRC的響應(yīng)更接近設(shè)定值，溶解氧調(diào)控效果更好。表5也給出了控制性能和能量消耗數(shù)值。

圖5 暴雨天時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)和控制量

表5 暴雨時(shí)三種方法的性能指標(biāo)

同樣，表5顯示出MFTADRC的能耗與PI和FTADRC的能耗相近(增加了2.90×10-3%和5.80×10-4%)，但是其誤差指標(biāo)，ISE降低了99.3%和77.0%，IAE降低了94.0%和40.6%，Devmax降低了88.5%和58.3%。數(shù)據(jù)同樣表明，在能量消耗幾乎相同的情況下，MFTADRC因具有最好的總擾動(dòng)估計(jì)能力而具有最佳的溶解氧調(diào)控性能。

為更直觀地顯示MFTESO的估計(jì)效果，圖6給出了三種天氣下實(shí)際總擾動(dòng)和總擾動(dòng)估計(jì)情況。

圖6 實(shí)際總擾動(dòng)與總擾動(dòng)估計(jì)情況

圖6表明MFTESO可準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)總擾動(dòng)，進(jìn)而保證MFTADRC的調(diào)控效果。

5 結(jié)論

針對污水處理過程的不確定、強(qiáng)擾動(dòng)問題，本文設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)型有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器。綜合有限時(shí)間控制和改進(jìn)型有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，設(shè)計(jì)改進(jìn)型有限時(shí)間自抗擾控制，有效克服各種擾動(dòng)因素對溶解氧濃度的影響而獲得更好的溶解氧控制效果。