王 森，叢國濤，王曉袁，楊 影

(大連東軟信息學院智能與電子工程學院，遼寧 大連 116023)

1 引言

量子細胞自動機(Quantum Cellular Automata，QCA)是一種納米級的新型電子器件，具有功耗低、集成度高和無引線集成等優(yōu)點，將是新一代的電子元件之一[1-3]。而量子細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Quantum Cellular Neural Network，QCNN)[4]是基于細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用QCA構(gòu)造的局部耦合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在QCNN中，每個細胞僅與鄰近細胞利用庫侖力進行耦合，可做到無線集成，進而易于大規(guī)模集成。另外，QCNN由于量子相互作用，動力學行為復雜，很容易實現(xiàn)不同階數(shù)的混沌系統(tǒng)[5]，將是未來保密通信和控制中超小混沌發(fā)生器的重要候選者[6-7]。

混沌控制和同步在通信和控制等領(lǐng)域具有廣闊的發(fā)展前景。特別地，函數(shù)投影同步作為混沌同步領(lǐng)域一個非常重要的研究方向，已引起了人們的廣泛關(guān)注與興趣[8-13]。目前，在設(shè)計函數(shù)投影同步方案時，比例函數(shù)一般選擇正弦函數(shù)、多項式函數(shù)[8-10]等簡單函數(shù)，保密性能還有待進一步加強。前期提出了一種以混沌函數(shù)作為比例函數(shù)的投影同步方案[14]，但該方案要求驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)。而在實際應(yīng)用中，不同的混沌系統(tǒng)，其階數(shù)通常不同，研究不同階數(shù)混沌系統(tǒng)間的函數(shù)投影同步更具有普遍性。因此，本文提出了一種縮階混沌函數(shù)投影同步方案，并以六階QCNN超混沌系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)，以Lorenz混沌系統(tǒng)作為比例函數(shù)實現(xiàn)了混沌函數(shù)的縮階自同步和異結(jié)構(gòu)同步。

2 縮階混沌函數(shù)投影同步方案

混沌同步的驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)一般可定義為

(1)

(2)

其中u(x，y)是控制器。假設(shè)混沌系統(tǒng)定義如下

(3)

其中y∈Rn是n維狀態(tài)變量，x，z，u∈Rm是m維狀態(tài)變量，且有m

同步誤差定義如下

(4)

定義：對于式(1)和(2)所示的驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)，如果存在混沌系統(tǒng)(3)和控制器u(x，y)，使得誤差系統(tǒng)(4)趨于零，即

(5)

則稱驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)達到縮階混沌函數(shù)投影同步。

定理1：對于給定的混沌系統(tǒng)(3)和任意的初始條件x(0)，y(0)，按下式設(shè)計控制器

(6)

證明 由(4)式可得

(7)

將(2)式代入(7)式，可得

(8)

將(6)式代入(8)式，可得

(9)

構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

(10)

則

(11)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可得，當t→∞時，ei(i=1，2，…m)→0，響應(yīng)系統(tǒng)(2)以混沌系統(tǒng)(3)為比例函數(shù)實現(xiàn)了與驅(qū)動系統(tǒng)(1)的縮階混沌函數(shù)投影同步。

3 仿真驗證及分析

下面將以六階QCNN超混沌系統(tǒng)的縮階自同步為例，闡述上述算法的有效性。假設(shè)混沌比例函數(shù)為Lorenz系統(tǒng)，可表述為

(12)

當系統(tǒng)參數(shù)α1=10，β1=30，γ1=8/3時，系統(tǒng)(12)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，其混沌吸引子如圖1所示。

圖1 Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為六階QCNN超混沌系統(tǒng)[6]，可表述為

(13)

其中x1、x2和x3分別表示細胞1，2和3的極化率，x4、x5和x6分別表示細胞1，2和3的量子相位。

當選取參數(shù)b1=b2=b3=0.28，w1=0.5，w2=0.3，w3=0.2時，系統(tǒng)(13)呈現(xiàn)超混沌狀態(tài)，其在x1—x2—x3空間的狀態(tài)軌跡如圖2所示。

圖2 QCNN系統(tǒng)在x1—x2—x3空間的狀態(tài)軌跡

3.1 QCNN超混沌系統(tǒng)縮階自同步

所謂自同步，是指響應(yīng)系統(tǒng)是在驅(qū)動系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一個控制器u(x，y)。選擇對系統(tǒng)(13)的前兩個狀態(tài)變量進行同步，混沌比例函數(shù)為Lorenz系統(tǒng)的前兩個狀態(tài)變量，則響應(yīng)系統(tǒng)可表述為

(14)

其中y1、y2、y3、y4、y5、y6是響應(yīng)系統(tǒng)(14)的狀態(tài)變量，u1和u2為非線性控制器。

要使得響應(yīng)系統(tǒng)(14)的前兩個狀態(tài)變量和驅(qū)動系統(tǒng)(13)的前兩個狀態(tài)變量以Lorenz混沌系統(tǒng)(12)的前兩個狀態(tài)變量為比例函數(shù)實現(xiàn)函數(shù)投影同步，則同步誤差函數(shù)為

ei=yi-zixi，(i=1，2)

(15)

根據(jù)定理1可得控制器如下

(16)

其中ki>0，i=1，2。選擇Lyapunov函數(shù)為

(17)

將V求導，并將式(16)代入，可得

(18)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可得，響應(yīng)系統(tǒng)(14)與驅(qū)動系統(tǒng)(13)在控制器(16)的作用下實現(xiàn)了縮階混沌函數(shù)投影自同步。

采用MATLAB對縮階自同步方案進一步進行仿真驗證，其中驅(qū)動系統(tǒng)(13)初值取為x1(0)=0.11，x2(0)=0.11，x3(0)=0.11，x4(0)=0.1，x5(0)=0.1，x6(0)=0.1，響應(yīng)系統(tǒng)(14)初值取為y1(0)=8，y2(0)=-10，y3(0)=6，y4(0)=0.8，y5(0)=0.4，y6(0)=0.2。另外，ki=1(i=1，2)，積分方法為定步長的四階Runge-Kutta法，步長為τ=0.001，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖3(a)和圖3(b)可看出，當歸一化時間逐漸增加時，yi→xizi，(i=1，2)，響應(yīng)系統(tǒng)(14)的前兩個狀態(tài)變量趨向于驅(qū)動系統(tǒng)(13) 對應(yīng)的狀態(tài)變量與Lorenz混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量的乘積。而由圖3(c)可看出，對于未施加控制器的狀態(tài)變量y3，已不能趨向于x3z3。由圖4可見，誤差函數(shù)ei(i=1，2)逐漸趨向于零，進一步說明該同步方案能實現(xiàn)縮階混沌函數(shù)投影自同步。

圖3 狀態(tài)變量波形圖

圖4 誤差函數(shù)ei (i=1，2)的波形圖

3.2 與R?ssler系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)縮階投影同步

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為R?ssler混沌系統(tǒng)

(19)

其中參數(shù)α2=0.34，β2=0.34，γ2=4.5。

要實現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)對驅(qū)動系統(tǒng)(19)以Lorenz系統(tǒng)(12)為混沌比例函數(shù)，進行縮進函數(shù)投影同步，則響應(yīng)系統(tǒng)為

(20)

其中u1、u2和u3為非線性控制器。而同步誤差函數(shù)為

ei=yi-zixi，(i=1，2，3)

(21)

根據(jù)定理1可得控制器如下

+α1x1(z2-z1)-k1e1

+x2(β1z1-z2-z1z3)-k2e2

+x3(z1z2-γ1z3)-k3e3

(22)

其中ki>0，i=1，2，3。選擇Lyapunov函數(shù)為

(23)

對V求導，并將式(22)代入，可得

(24)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，控制器(22)能實現(xiàn)異結(jié)構(gòu)縮階混沌函數(shù)投影同步。

數(shù)值仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。其中初值取為x1(0)=0.5，x2(0)=0.1，x3(0)=0.3，y1(0)=-14，y2(0)=-16，y3(0)=9，y4(0)=0.1，y5(0)=0.2，y6(0)=0.3，其它參數(shù)設(shè)置與前述相同。由圖5和圖6可看出，當歸一化時間t在4以后，yi→xizi，(i=1，2，3)，誤差函數(shù)ei(i=1，2，3)趨向于零，QCNN系統(tǒng)實現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)縮階混沌函數(shù)投影同步。

圖5 與R?ssler系統(tǒng)同步的狀態(tài)變量波形圖

有必要指出的是，一般的函數(shù)投影同步方案中，響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)波形只是混沌狀態(tài)變量與正弦函數(shù)等簡單函數(shù)的乘積。而由圖3、5和式(15)、(21)可知，本方案得到的響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)波形是兩個混沌信號的乘積，其波形具有更強的隨機性和不可預測性。因此，如果以該響應(yīng)系統(tǒng)的波形作為載波信號進行保密通信，將具有更強的保密性能。

4 結(jié)論

本文基于六階QCNN超混沌系統(tǒng)，提出了一種新的投影同步方案。利用該方案能實現(xiàn)不同階的響應(yīng)系統(tǒng)以混沌信號為比例函數(shù)投影同步的驅(qū)動系統(tǒng)上去。

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該方案的正確性，并進一步通過MATLAB仿真驗證了所提方案的有效性。由于該方案不要求驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)，在實際應(yīng)用中將更加方便靈活。另外，該方案產(chǎn)生的響應(yīng)系統(tǒng)波形具有更強的隨機性和不可預測性，如將該方案應(yīng)用于混沌保密通信，將使得通信方案具有更強的保密性。

有必要強調(diào)的是，QCNN系統(tǒng)具有豐富的混沌動力學行為，且易于大規(guī)模集成，將是低功率超小信號發(fā)射器的重要候選者。本文的研究結(jié)論將為QCNN應(yīng)用于混沌保密通信提供重要的理論支撐。