王鵬飛，杜忠華，牛 坤，馬 祥

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

1 引言

倒立擺是典型的多變量、高階次、非線性的不穩(wěn)定系統(tǒng)，倒立擺的原理與多旋翼無(wú)人機(jī)，人形機(jī)器人有著相似的特征，可將其推廣到更多的具有類似特征的智能控制領(lǐng)域，因此對(duì)其研究具有十分重要的理論和實(shí)踐意義。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也針對(duì)倒立擺進(jìn)行了各種控制算法的研究。如智能控制[1]、模糊控制[2]、滑模控制[3]等，其中，已廣泛應(yīng)用于多變量系統(tǒng)控制的線性二次型(LQR)最優(yōu)控制方法[4]，可以實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。隨著擺桿級(jí)數(shù)的增加，系統(tǒng)目標(biāo)變量的數(shù)量增多，需要確定的變量數(shù)目增加使取值的困難程度增大，權(quán)矩陣Q的確定通常采用實(shí)驗(yàn)試探的方法，具有一定的盲目性，缺乏理論指導(dǎo)[5]。由于粒子群有良好的全局搜索能力[6]，可以利用其優(yōu)點(diǎn)獲得最優(yōu)線性二次型調(diào)節(jié)器的Q和R，然而粒子群算法也存在易陷入局部最優(yōu)解以及搜索能力不均衡的問(wèn)題，需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。

文獻(xiàn)[7]對(duì)粒子群算法中的慣性因子進(jìn)行階梯式調(diào)整，慣性權(quán)重根據(jù)迭代進(jìn)行逐步調(diào)整，但優(yōu)化效果不夠明顯。文獻(xiàn)[8]提出了一種多粒子協(xié)作的方法，將優(yōu)化過(guò)程中的不同粒子進(jìn)行交互協(xié)作，從而獲取各個(gè)粒子中有用的信息。文獻(xiàn)[9]提出了隨機(jī)選取一個(gè)粒子計(jì)算其適應(yīng)度值，如果該值優(yōu)于當(dāng)前粒子，則該隨機(jī)粒子作為學(xué)習(xí)粒子。文獻(xiàn)[8，9]都有利于增加種群信息的多樣性但是過(guò)程過(guò)于繁瑣且易受外界環(huán)境的影響。

本文提出了一種引入交叉算子和非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的粒子群優(yōu)化算法，通過(guò)引用類比于遺傳算法中的交叉算子可以增加群體的多樣性，提高了粒子群的全局搜索能力。為了平衡粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力，對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，引入了非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重，在迭代早期有利于跳出局部最優(yōu)，進(jìn)行全局尋優(yōu)，在迭代后期有利于增強(qiáng)局部搜索能力，提高收斂速度。

應(yīng)用改進(jìn)粒子群算法對(duì)LQR控制器進(jìn)行參數(shù)整定，建立二級(jí)倒立擺模型，結(jié)合仿真分析對(duì)比，可以得出該方法具有較好的控制效果。

2 二級(jí)倒立擺拉格朗日建模

如圖1所示的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)主要由一個(gè)沿軌道移動(dòng)的小車和兩個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的擺桿組成，小車和擺桿通過(guò)轉(zhuǎn)軸相互連接，每個(gè)擺桿可以通過(guò)轉(zhuǎn)軸在XOY平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，直流電機(jī)通過(guò)帶傳動(dòng)控制小車在軌道上的移動(dòng)將擺桿穩(wěn)定在垂直向上平衡點(diǎn)。

圖1 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型

為了方便進(jìn)行推導(dǎo)需要忽略一些次要因素。比如相對(duì)滑動(dòng)，傳遞的延時(shí)和各種摩擦。小車質(zhì)量M0=1.02kg，下擺桿質(zhì)量M1=0.45kg，上擺桿質(zhì)量M2=0.05kg，下擺擺長(zhǎng)L1=0.43m，上擺擺長(zhǎng)L2=0.15m，下擺到其重心的距離l1=0.37m，上擺到其重心的距離l2=0.05m，下擺對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=0.0042kgm2，上擺對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2=0.0001 kgm2，控制力與功放輸入電壓之比G0=2.48N/V，下擺和上擺與轉(zhuǎn)軸之間的摩擦系數(shù)F1=F2=0.003Ns/m。

通過(guò)對(duì)二級(jí)倒立擺的小車和擺桿進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)分析，運(yùn)用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，作用在倒立擺系統(tǒng)上的力包括：非有勢(shì)力的廣義力、有勢(shì)力和耗散力，選擇小車位移x、下擺角位移θ1、上擺角位移θ2為廣義坐標(biāo)。因此，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程為

(1)

其中qi為廣義坐標(biāo)，q0為小車位移x，q1為下擺角位移θ1，q2為上擺角位移θ2，F(xiàn)i為作用在系統(tǒng)上的廣義力，T，V，D分別是系統(tǒng)的總動(dòng)能，總勢(shì)能和總耗散能。

取狀態(tài)向量

通過(guò)推導(dǎo)變換可得二級(jí)倒立擺狀態(tài)方程和輸出方程為

(2)

式中

其中：

化簡(jiǎn)并代入?yún)?shù)，可得狀態(tài)空間模型各個(gè)矩陣參數(shù)。在Matlab中輸入階躍信號(hào)，通過(guò)觀察小車和擺角的響應(yīng)曲線可知系統(tǒng)需要外加控制器才能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

3 LQR控制器設(shè)計(jì)

LQR控制算法就是以較小的輸入為代價(jià)實(shí)現(xiàn)各個(gè)目標(biāo)的有效控制[10]。LQR控制算法用于確定最優(yōu)控制量U(t)=-KX的反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)逐步穩(wěn)定并控制性能指標(biāo)

(3)

達(dá)到最小。采用變分法求解可得反饋增益矩陣為

K=-R-1BTP

(4)

矩陣P可以由Riccati方程得出

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(5)

Q是狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣。權(quán)矩陣Q=diag(q1，q2，q3，q4，(q5，q6)中的各項(xiàng)系數(shù)分別代表其對(duì)應(yīng)指標(biāo)誤差的相對(duì)重要程度；R是控制量的加權(quán)矩陣，表示能量損失的相對(duì)重要性，以防止控制器的輸出太大而超過(guò)可控范圍。LQR中權(quán)矩陣Q和R的設(shè)計(jì)非常關(guān)鍵，直接影響LQR的控制性能，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。LQR最優(yōu)控制的目標(biāo)是以性能泛函最小為約束，需求時(shí)變、系統(tǒng)狀態(tài)及輸入變化時(shí)所需的最優(yōu)控制力U(t)，使系統(tǒng)始終趨于初始最優(yōu)狀態(tài)。性能指標(biāo)加權(quán)矩陣Q和控制量加權(quán)矩陣R相互制約，通常選擇為對(duì)角矩陣，控制輸入單一時(shí)刻直接取標(biāo)量R=1；Q的選擇不唯一[11]。

4 粒子群算法優(yōu)化

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法是一種基于迭代的群體智能隨機(jī)搜索算法，因其概念簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)而備受關(guān)注。但PSO算法存在易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，不能完全保證全局收斂。針對(duì)PSO算法的不足，引入交叉算子和非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重來(lái)改進(jìn)傳統(tǒng)PSO算法。

4.1 交叉算子

交叉算子通過(guò)對(duì)群體中的個(gè)體信息進(jìn)行交叉操作，并在演化的過(guò)程中逐漸延續(xù)和保留那些優(yōu)秀的基因，從而使群體朝著更好的方向進(jìn)化。

交叉算子通過(guò)對(duì)群體中的個(gè)體信息進(jìn)行交叉操作，并在演化的過(guò)程中逐漸延續(xù)和保留那些優(yōu)秀的基因，從而使群體朝著更好的方向進(jìn)化。

(6)

式中randj(0，1)為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù);jrand為[1，D]上隨機(jī)均勻產(chǎn)生的整數(shù);P為交叉概率。

最后，對(duì)粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)位置進(jìn)行更新

(7)

式中f(*)為適應(yīng)度函數(shù)。將交叉概率P通過(guò)通過(guò)自適應(yīng)的方式編碼到每個(gè)粒子中，以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制。擴(kuò)展編碼后群體中粒子i可描述為

采用下面的規(guī)則對(duì)交叉概率進(jìn)行更新操作。

在已經(jīng)成為一個(gè)地球村的今天，中國(guó)作為人口大國(guó)，在文化“走出去”的戰(zhàn)略背景下，積極推動(dòng)文化外譯事業(yè)的發(fā)展，培養(yǎng)翻譯人才。雖然將中國(guó)文化外譯會(huì)面臨一些問(wèn)題，鑒于中文的博大精深，不少辭藻優(yōu)美，以大量詩(shī)詞作點(diǎn)綴的小說(shuō)并不能準(zhǔn)確地用英文表達(dá)，所以目前外國(guó)網(wǎng)友看到的還大多數(shù)是一些能傳達(dá)基本意思的小說(shuō)，但要堅(jiān)信能夠通過(guò)努力讓中國(guó)的文化為更多人了解熟悉，從而走向世界。

(8)

式中λ為參數(shù)pc的更新概率

4.2 非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重

在傳統(tǒng)PSO算法中，采用固定或者線性遞減的慣性權(quán)重?zé)o法自適應(yīng)調(diào)整慣性權(quán)重，粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力無(wú)法得到平衡。因此，采用非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)的計(jì)算公式，解決了該算法在全局最優(yōu)解附近易早熟和產(chǎn)生振蕩的現(xiàn)象。表達(dá)式為

(9)

其中：minw和maxw分別為慣性權(quán)重的最小值和最大值；f為粒子的適應(yīng)度值；favg為粒子的平均適應(yīng)度值；fmin為粒子的最小適應(yīng)度值。當(dāng)各粒子局部最優(yōu)或者目標(biāo)值逐漸一致時(shí)，慣性權(quán)重值會(huì)逐漸增大。相反，慣性權(quán)重會(huì)逐漸減小。同時(shí)，對(duì)于目標(biāo)適應(yīng)度值低于平均目標(biāo)值的粒子，其慣性權(quán)重因子保持增大，使粒子朝著更好的方向進(jìn)化，反之則說(shuō)明粒子當(dāng)前的位置不需要進(jìn)行較大的更新，保護(hù)粒子達(dá)到更優(yōu)的性能。

學(xué)習(xí)因子(C1、C2)表示的是粒子的記憶和學(xué)習(xí)能力。在迭代的初始階段，粒子可以朝著不同的方向進(jìn)行搜索，保證粒子具有多樣性，為了加快粒子的搜索速度進(jìn)行粗尋優(yōu)需要使C1較大C2較?。辉诘笃陔A段，粒子的搜索空間縮小，其重心在全局最優(yōu)解，C1較小C2較大，保證了粒子群能夠精細(xì)的搜索。在傳統(tǒng)PSO參數(shù)中經(jīng)常選取C1=C2=2，這樣既不利于在前期進(jìn)化中快速找到最優(yōu)解，又不利于在后期得到全局最優(yōu)解。因此需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整C1和C2的值，使其在迭代的前后期中分別發(fā)揮其最優(yōu)作用。

(10)

其中C1f和C2f為C1和C2的初值，C1e和C2e為C1和C2的終值，S和Smax分別是當(dāng)前迭代次數(shù)和最高迭代次數(shù)。

5 基于改進(jìn)粒子群算法的LQR控制器參數(shù)整定

1)適應(yīng)度函數(shù)定義

適應(yīng)度函數(shù)是粒子群算法的一個(gè)重要概念。在粒子進(jìn)化的過(guò)程中需要依靠適應(yīng)度值來(lái)判斷當(dāng)前位置的好壞，以選擇更好的個(gè)體。適應(yīng)度函數(shù)的選擇直接影響最后的結(jié)果的是否具有代表性。直線二級(jí)倒立擺的目的是實(shí)現(xiàn)小車和擺桿到達(dá)指定位置，為了保證控制效果和控制代價(jià)之間的均衡，采用時(shí)間誤差積分準(zhǔn)則(ITAE)用作適應(yīng)度函數(shù)，以確保系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

(11)

本文提出的改進(jìn)粒子群算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

①初始化粒子種群規(guī)模，設(shè)定粒子交叉概率初始值，并計(jì)算初始粒子的適應(yīng)值和全局最優(yōu)適應(yīng)值。

②利用非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)計(jì)算公式更新慣性權(quán)重的值，動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)因子C1和C2，進(jìn)行粒子的速度和位置的更新。

③根據(jù)適應(yīng)度公式計(jì)算粒子i的當(dāng)前位置xi(t)的適應(yīng)值，與上一次個(gè)體歷史最優(yōu)位置pi(t-1)進(jìn)行離散交叉，然后根據(jù)公式更新粒子的個(gè)體最優(yōu)位置，對(duì)于粒子i，將pi(t)的適應(yīng)值與全局最好位置G(t-1)的適應(yīng)值比較，若優(yōu)于，則置G(t)=pi(t)；否則，全局最好位置保持不變。

④確定結(jié)果是否符合適用值和最大的迭代次數(shù)要求，如果達(dá)到了終止條件，輸出所需函數(shù)；若不滿足整個(gè)循環(huán)回歸到步驟Step2。

①初始化粒子種群規(guī)模，設(shè)定粒子交叉概率初始值，并計(jì)算初始粒子的適應(yīng)值和全局最優(yōu)適應(yīng)值。

②利用非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)計(jì)算公式更新慣性權(quán)重的值，動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)因子C1和C2，進(jìn)行粒子的速度和位置的更新。

③根據(jù)適應(yīng)度公式計(jì)算粒子i的當(dāng)前位置xi(t)的適應(yīng)值，與上一次個(gè)體歷史最優(yōu)位置pi(t-1)進(jìn)行離散交叉，然后根據(jù)公式更新粒子的個(gè)體最優(yōu)位置，對(duì)于粒子i，將pi(t)的適應(yīng)值與全局最好位置G(t-1)的適應(yīng)值比較，若優(yōu)于，則置G(t)=pi(t)；否則，全局最好位置保持不變。

④確定結(jié)果是否符合適用值和最大的迭代次數(shù)要求，如果達(dá)到了終止條件，輸出所需函數(shù)；若不滿足整個(gè)循環(huán)回歸到步驟Step2。

控制示意圖如圖2所示。

圖2 控制示意圖

6 仿真分析

6.1 仿真模型及參數(shù)設(shè)置

本部分以式(2)所示的直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)為研究對(duì)象，在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下建立了如圖3所示的直線二級(jí)倒立擺控制仿真模型。

圖3 直線二級(jí)倒立擺控制仿真模型

分別采用傳統(tǒng)粒子群算法與改進(jìn)粒子群算法對(duì)LQR控制器的參數(shù)進(jìn)行整定。實(shí)驗(yàn)中改進(jìn)算法的參數(shù)設(shè)置如下： 群體規(guī)模N=50;最大迭代次數(shù)為100;每個(gè)粒子的初始交叉概率均為0.9; 交叉概率的更新概率τ=0.2。C1和C2的動(dòng)態(tài)調(diào)整范圍分別為[1.75，2.55]，[1.05，2.75]，w為[1.05，2.75].為了比較改進(jìn)的PSO算法和傳統(tǒng)PSO算法的收斂效果，應(yīng)盡量保證參數(shù)的一致性。對(duì)于傳統(tǒng)PSO算法設(shè)置為：群體規(guī)模N=50;最大迭代次數(shù)為100;c1=c2=2;w=1。

控制器參數(shù)調(diào)整過(guò)程中適應(yīng)度值的優(yōu)化過(guò)程如圖(4)(5)所示。從圖中可以看出改進(jìn)的PSO算法的收斂速度優(yōu)于傳統(tǒng)PSO算法。

圖4 傳統(tǒng)PSO算法優(yōu)化算法

圖5 改進(jìn)PSO算法優(yōu)化過(guò)程

6.2 仿真結(jié)果

本節(jié)以直線二級(jí)倒立擺平衡控制實(shí)驗(yàn)為例說(shuō)明本文所提出的控制方法的有效性。在實(shí)驗(yàn)中，采用傳統(tǒng)的PSO算法和改進(jìn)的PSO算法調(diào)整線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)的加權(quán)矩陣參數(shù)，實(shí)現(xiàn)直線二級(jí)倒立擺的平衡控制。

實(shí)驗(yàn)1：無(wú)擾動(dòng)平衡控制

采用兩種不同控制算法的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中兩擺的角度響應(yīng)曲線分別如圖6(a)、6(b)所示。圖6(a)、6(b)中實(shí)線為傳統(tǒng)PSO算法優(yōu)化結(jié)果，點(diǎn)劃線為本文所設(shè)計(jì)的控制算法控制結(jié)果。從圖6(a)～(b)可以看出，在無(wú)擾動(dòng)的情況下上述兩種控制方法都有效的實(shí)現(xiàn)了倒立擺的平衡控制，但本文算法超調(diào)量更小，響應(yīng)時(shí)間更快。

實(shí)驗(yàn)2：有擾動(dòng)時(shí)平衡控制

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制算法的抗擾能力，在系統(tǒng)穩(wěn)定后加入一個(gè)脈沖干擾，上述三種控制器作用下的擺桿1和擺桿2的響應(yīng)曲線如圖7所示。從圖7可以看出本文所設(shè)計(jì)的控制器反應(yīng)速度快、超調(diào)量小且抗干擾能力較強(qiáng)。同時(shí)，它還表明本文提出的調(diào)整方法可以有效地確定一組控制器參數(shù)值，避免了繁瑣的手動(dòng)調(diào)整過(guò)程。

圖7 有擾動(dòng)時(shí)直線二級(jí)倒立擺平衡控制結(jié)果

7 結(jié)論

本文針對(duì)直線二級(jí)倒立擺建立了拉格朗日數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)，并利用改進(jìn)粒子群算法較強(qiáng)的局部和全局搜索能力對(duì)線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)中的慣性矩陣參數(shù)進(jìn)行了整定。無(wú)擾動(dòng)和存在擾動(dòng)兩種情況下的倒立擺平衡控制仿真結(jié)果表明采用改進(jìn)粒子群算法能夠有效地確定出一組慣性矩陣參數(shù)，提高了參數(shù)整定效率。同時(shí)從仿真結(jié)果也可看出通過(guò)改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化的線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)縮短了系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的時(shí)間，使系統(tǒng)在整個(gè)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中都具有較強(qiáng)的魯棒性。