劉國(guó)祥

(江蘇省宜興中學(xué) 214200)

整體性教學(xué)是以普遍聯(lián)系的方式從全局高度看待知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，基于學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)、基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)結(jié)構(gòu)相關(guān)的一系列知識(shí)進(jìn)行加工與重組，形成某一學(xué)習(xí)主線，并且在學(xué)習(xí)主線的統(tǒng)領(lǐng)下將知識(shí)、方法、素養(yǎng)體系化，通過(guò)深度學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)學(xué)生掌握知識(shí)、發(fā)展素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)．整體性教學(xué)變孤立的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)為“學(xué)習(xí)主線”統(tǒng)領(lǐng)下的教學(xué)，構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考．

復(fù)習(xí)課不是機(jī)械重復(fù)新課的知識(shí)，而是要建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，圍繞某一主題，針對(duì)若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)或者跨章節(jié)的問(wèn)題進(jìn)行整合、重組，組織專題復(fù)習(xí)．“一題一課”是我校復(fù)習(xí)課中的重點(diǎn)課型．所謂“一題一課”，是指在一節(jié)課的教學(xué)中針對(duì)一個(gè)題進(jìn)行深入研究，挖掘其本質(zhì)，通過(guò)課標(biāo)導(dǎo)航、教材尋根、解法探究、拓展推廣、鏈接應(yīng)用等環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，整體構(gòu)建研究主線、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、建構(gòu)方法體系、實(shí)現(xiàn)思維升華、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展核心素養(yǎng)．

在2021年6月16日舉辦的“宜興‘新教學(xué)’示范區(qū)建設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科第二次研修活動(dòng)”中，本人開(kāi)設(shè)了“圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問(wèn)題求解策略”研討課，現(xiàn)結(jié)合課例談?wù)勗凇耙活}一課”實(shí)踐中如何落實(shí)整體教學(xué)觀．

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

1.1 授課對(duì)象

授課班級(jí)是一所國(guó)家級(jí)示范高中高二年級(jí)的普通班(物化生組合)，教學(xué)進(jìn)度處于新課內(nèi)容結(jié)束后的復(fù)習(xí)階段，學(xué)生基礎(chǔ)整體較好，具有一定的探究能力和數(shù)學(xué)交流能力，但知識(shí)需要重構(gòu)、方法需要優(yōu)化、能力需要提升．

1.2 數(shù)據(jù)分析

課前用15分鐘時(shí)間獨(dú)立完成；評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為第(1)題3分，第(2)題9分；班級(jí)平均得分6.7分.第(2)題方法：距離法、參數(shù)方程法、四點(diǎn)共圓法；65%學(xué)生選擇距離法，大部分學(xué)生因運(yùn)算繁瑣半途而廢，25%學(xué)生選擇參數(shù)法，其中20%學(xué)生全對(duì)，10%學(xué)生選擇四點(diǎn)共圓，全部做對(duì)．?dāng)?shù)據(jù)表明運(yùn)算能力的重點(diǎn)不在于運(yùn)算本身，而在于運(yùn)算方向選擇和運(yùn)算路徑設(shè)計(jì)，以及在實(shí)施過(guò)程中遇到障礙調(diào)整運(yùn)算的能力．

1.3 學(xué)情分析

學(xué)生解答問(wèn)題時(shí)的困惑：雙曲線定義理解不到位，軌跡為雙曲線右支；不能對(duì)幾何條件TA·TB=TP·TQ實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系表征單一．運(yùn)算能力已成為學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī)的瓶頸．本課重點(diǎn)圍繞第(2)題，探究如何突出邏輯分析，優(yōu)化運(yùn)算．

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 課標(biāo)導(dǎo)航,規(guī)劃研究主線

2017版高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)解析幾何的“學(xué)業(yè)要求”是：依據(jù)問(wèn)題情境分析幾何問(wèn)題和圖形特點(diǎn)；依據(jù)幾何問(wèn)題和圖形特點(diǎn)，探索解決問(wèn)題思路，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；運(yùn)用代數(shù)方法推演結(jié)果并給出合理的幾何解釋．這是解析幾何研究問(wèn)題的一般路徑，是學(xué)習(xí)解析幾何知識(shí)的一般觀念，貫穿于研究每一個(gè)具體問(wèn)題中．上述學(xué)習(xí)主線可簡(jiǎn)單概括為：情境→幾何特征→代數(shù)表示→代數(shù)運(yùn)算→幾何解釋．研究主線可以看作是車上安裝的全球定位系統(tǒng)(GPS)：首先確定一個(gè)具體的學(xué)習(xí)目的地，然后尋找到達(dá)目的地的最佳教學(xué)路徑．

2.2 教材尋根,完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

課本是高考命題的依據(jù).基于學(xué)生的困惑，將散落在教材各處的相關(guān)材料，如例題、習(xí)題、閱讀材料、探究與發(fā)現(xiàn)等，整合重組成問(wèn)題鋪墊，建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

問(wèn)題鋪墊2 (人教A版選擇性必修4第38頁(yè)例4)：如圖1，AB，CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸的交角為∠1,∠2，且∠1=∠2，求證：PA·PB=PC·PD．

圖1

設(shè)計(jì)意圖本題隱含kAB+kCD=0?PA·PB=PC·PD?A,B,C,D四點(diǎn)共圓．例題是本題的逆命題，本題的鋪墊可以提供方法支撐．

問(wèn)題鋪墊3 請(qǐng)從多種視角思考題中幾何條件TA·TB=TP·TQ，如何用代數(shù)關(guān)系來(lái)表示？

2.3 解法探究，建構(gòu)方法體系

運(yùn)算邏輯思維的不同將直接決定解題的方向，影響解題的長(zhǎng)度與效度．在整體研究思路和知識(shí)結(jié)構(gòu)的引領(lǐng)下，組織學(xué)生自主探究、交流、展示．

點(diǎn)評(píng)本方法是學(xué)生常用的方法，也是通性通法.直觀想象、邏輯推理屬于層次一考查要求，但數(shù)學(xué)運(yùn)算屬于層次二，對(duì)運(yùn)算提出較高要求.使用該方法的大部分學(xué)生用時(shí)過(guò)長(zhǎng)，或者半途而廢．請(qǐng)學(xué)生反思運(yùn)算過(guò)程，看看能否優(yōu)化？

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用整體運(yùn)算使運(yùn)算量大大降低，運(yùn)用整體思維避免無(wú)效運(yùn)算,達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)．還有值得優(yōu)化的嗎？

點(diǎn)評(píng)向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁．運(yùn)用向量可避開(kāi)距離，以簡(jiǎn)化運(yùn)算，以簡(jiǎn)馭繁．

生D(特殊化策略)：由于T是直線上任意一點(diǎn)，當(dāng)T在直線與x軸交點(diǎn)處時(shí)，觀察出結(jié)論k1+k2=0，再用代數(shù)法證明．

點(diǎn)評(píng)考場(chǎng)上大部分學(xué)生為何想不到該解法？一方面是對(duì)直線參數(shù)方程理解不到位，另一方面暴露其直觀想象素養(yǎng)不高，不能依據(jù)問(wèn)題的幾何特征建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建問(wèn)題解決的直觀模型，找到解決問(wèn)題的思路．本解法的直觀想象素養(yǎng)達(dá)到水平二要求，但運(yùn)算量大大降低，充分體現(xiàn)了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”．

點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提出了較高的要求.第一次抽象揭示問(wèn)題的本質(zhì)，從幾何視角理解四點(diǎn)共圓，用圖形來(lái)探索解決問(wèn)題的思路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；第二次抽象是對(duì)函數(shù)與方程的深度理解，從代數(shù)視角解決四點(diǎn)共圓問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷了四點(diǎn)共圓的數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，數(shù)學(xué)抽象達(dá)到水平二要求，而運(yùn)算素養(yǎng)要求大大降低.本題指向問(wèn)題本質(zhì)，可以將命題進(jìn)一步推廣．

2.4 拓展推廣，把握問(wèn)題本質(zhì)

從前面的探究過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}的本質(zhì)是TA·TB=TP·TQ?四邊形對(duì)角互補(bǔ)?四點(diǎn)共圓?k1+k2=0?AB與CD的傾斜角互補(bǔ)．對(duì)于一般橢圓同樣成立．

類比橢圓研究過(guò)程，對(duì)于一般雙曲線有下面結(jié)論：

采用由Rudolph Technologies公司生產(chǎn)的AXI? Series-Axi940/EB-30缺陷檢測(cè)儀檢測(cè)銅晶圓CMP后的表面缺陷(包括刮傷、腐蝕、顆粒玷污等狀況)，該儀器能形成整個(gè)晶圓的表面缺陷圖并統(tǒng)計(jì)缺陷數(shù)量，當(dāng)超過(guò)30 000個(gè)缺陷時(shí)，系統(tǒng)將無(wú)法繼續(xù)對(duì)晶圓掃描而終止檢測(cè)，只能顯示區(qū)域性紅色標(biāo)志。

類比橢圓研究過(guò)程，在拋物線中有如下結(jié)論：

命題3 已知拋物線y2=2px(p>0)上有四個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,D，若直線AB和CD的斜率分別為k1,k2，且有公共點(diǎn)，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是k1+k2=0．

2.5 鏈接應(yīng)用，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

通過(guò)前面的分析，學(xué)生獲得了關(guān)于四點(diǎn)共圓的完整認(rèn)識(shí)，利用獲得的知識(shí)、思想和方法遷移到新的情境中解決挑戰(zhàn)性問(wèn)題，是積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵．

應(yīng)用1(2005年湖北高考題)設(shè)A,B是橢圓3x2+y2=λ(λ>0)上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C,D兩點(diǎn)．(1)確定λ的取值范圍；(2)試判斷是否存在這樣的λ，使A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上？

3 教學(xué)反思

3.1 遴選典型例題，衍生一串問(wèn)題

皮亞杰說(shuō),“學(xué)習(xí)過(guò)程并不是個(gè)體獲得越來(lái)越多的外部信息的過(guò)程，而是能動(dòng)地構(gòu)建新的認(rèn)知圖式，不斷完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程”．高三復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)是通過(guò)有限的復(fù)習(xí)使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、方法體系化，促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展.那么要達(dá)成理想教學(xué)目標(biāo)，就離不開(kāi)精選好的典型例題．本題以距離積為情境，從距離、向量、參數(shù)方程、四點(diǎn)共圓四個(gè)視角構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，組織學(xué)生討論，多角度優(yōu)化運(yùn)算，體會(huì)數(shù)形結(jié)合及坐標(biāo)法，依據(jù)問(wèn)題本質(zhì)將結(jié)論推廣到雙曲線、拋物線，形成解決一類問(wèn)題的方法．這體現(xiàn)了“一題一課”選題原則：?jiǎn)栴}要深入淺出，凸顯知識(shí)關(guān)聯(lián)，涉及多種數(shù)學(xué)方法，利于發(fā)展學(xué)生思維；問(wèn)題具有層次性，可以讓不同能力的學(xué)生得到不同的發(fā)展；問(wèn)題具有開(kāi)放性，讓不同層次的學(xué)生都能積極參與；問(wèn)題具有廣延性，方便學(xué)生對(duì)問(wèn)題作探究與推廣．

3.2 課標(biāo)導(dǎo)航，規(guī)劃研究主線

課標(biāo)是教材編寫、教師教學(xué)和考試評(píng)價(jià)的依據(jù)，其每個(gè)模塊有內(nèi)容要求、教學(xué)提示、學(xué)業(yè)要求，特別是教學(xué)提示、學(xué)業(yè)要求從宏觀上規(guī)劃本模塊研究路徑和方法，這是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的重要依據(jù)．本題從課標(biāo)中提煉出解析幾何問(wèn)題的研究主線，并且將研究主線貫穿于整節(jié)課始終，讓學(xué)生不斷體悟解析幾何解決問(wèn)題的基本過(guò)程．

3.3 教材尋根，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

奧蘇伯爾說(shuō)：“在呈現(xiàn)具體學(xué)習(xí)內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)的引導(dǎo)性材料——先行組織者．其作用是：構(gòu)建知識(shí)框架，引導(dǎo)思維方向，增強(qiáng)思維的邏輯性、條理性.”基于這樣的認(rèn)識(shí)，在“一題一課”教學(xué)中，依據(jù)問(wèn)題情境，從學(xué)情出發(fā)，針對(duì)學(xué)生知識(shí)痛點(diǎn)、方法難點(diǎn)，在教材中找到生長(zhǎng)點(diǎn)，將教材中相關(guān)重要結(jié)論、例題、習(xí)題重新組合設(shè)計(jì)成層層遞進(jìn)的問(wèn)題鋪墊，建構(gòu)完整的知識(shí)體系．如本題設(shè)計(jì)成三個(gè)問(wèn)題鋪墊，問(wèn)題鋪墊一解決學(xué)生知識(shí)上薄弱點(diǎn)，問(wèn)題鋪墊二建構(gòu)研究方法，問(wèn)題鋪墊三提供了完整的知識(shí)框架，幫助學(xué)生找到有意義的問(wèn)題解決的方向，起到了“導(dǎo)游圖”的作用．

3.4 解法探究，建構(gòu)方法體系

史寧中教授說(shuō),“學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，本質(zhì)上不是靠教師‘教’出來(lái)的，而是靠學(xué)生‘悟’出來(lái)的．這意味著核心素養(yǎng)的培育需要給學(xué)生‘悟’的時(shí)機(jī)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，體悟數(shù)學(xué)基本思想”．在教學(xué)中設(shè)計(jì)交流、互動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在合作探究中觸發(fā)思考．本例設(shè)計(jì)了6個(gè)探究互動(dòng)環(huán)節(jié)：最基本的距離方法，組織學(xué)生討論優(yōu)化運(yùn)算，得出從整體、向量、特殊化優(yōu)化運(yùn)算途徑，引導(dǎo)從參數(shù)方程、四點(diǎn)共圓視角研究問(wèn)題，從而構(gòu)建完整的方法體系，反復(fù)體會(huì)數(shù)形結(jié)合、解析法思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

3.5 拓展推廣，把握問(wèn)題本質(zhì)

數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，他們都是成堆地生長(zhǎng)的，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找.”本題抓住問(wèn)題的本質(zhì)，將特殊橢圓成立的結(jié)論推廣到一般橢圓，推廣到雙曲線、拋物線，形成解決一類四點(diǎn)共圓的問(wèn)題的策略，促進(jìn)知識(shí)深度理解．

3.6 鏈接應(yīng)用，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

高三復(fù)習(xí)教學(xué)的目的不僅是學(xué)習(xí)知識(shí)，其最重要的目的是運(yùn)用習(xí)得的知識(shí)遷移到新情境中去，使學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地解決問(wèn)題．本案例應(yīng)用1、應(yīng)用2是四點(diǎn)共圓在橢圓、拋物線中的應(yīng)用，學(xué)生在新情境中靈活應(yīng)用四點(diǎn)共圓知識(shí)，體會(huì)命題背景，探究解題思路，提煉出解題模型，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在拓展學(xué)生視野中提升學(xué)生的素養(yǎng)．

整體教學(xué)觀下“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)是基于對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解，實(shí)施“整體(規(guī)劃研究主線)—部分(研究?jī)?nèi)容：知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法體系；研究路徑：解法探究、拓展推廣)—整體(在應(yīng)用中完善知識(shí)結(jié)構(gòu))”教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的問(wèn)題研究過(guò)程，積累研究經(jīng)驗(yàn)，并將積累的經(jīng)驗(yàn)遷移到新的問(wèn)題情境中以解決挑戰(zhàn)性問(wèn)題．