袁守義

(江蘇省常州市第一中學(xué) 213003)

1 基本情況

1.1 授課背景及授課對(duì)象

隨著高考第二輪復(fù)習(xí)的不斷深入，學(xué)生的訓(xùn)練量和訓(xùn)練的難度、綜合度在不斷加大，使得試卷(包括作業(yè))講評(píng)幾乎成了每天必做的事．我校高三數(shù)學(xué)組倡導(dǎo)教師相互聽(tīng)課學(xué)習(xí)、共同研討，以求將試卷評(píng)講課的效益最大化.筆者受同事要求，在2021年5月初上了這節(jié)隨堂課．這堂課中，筆者以一道本校的周末作業(yè)題為材料展開(kāi)教學(xué)．授課班級(jí)是四星級(jí)高中校高三“物化生”組合的普通班，基礎(chǔ)較好，部分學(xué)生分析能力和運(yùn)算素養(yǎng)較強(qiáng)，但水平參差不齊．

1.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過(guò)點(diǎn)名提問(wèn)、對(duì)話交流和分組討論等手段，暴露思維過(guò)程，學(xué)生親歷審題分析、選擇方法和設(shè)計(jì)程序等解題過(guò)程；

(2)通過(guò)對(duì)題目的分析、求解和回顧反思，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和運(yùn)算素養(yǎng)，同時(shí)感受探索的樂(lè)趣，體驗(yàn)成功的快樂(lè)．

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

2.1 投石問(wèn)路——認(rèn)清目標(biāo)，明確方向

(1)求橢圓的方程.

圖1

師：這是一個(gè)探索性的問(wèn)題，結(jié)論未知．處理這類(lèi)問(wèn)題的常用手段有哪些？

生1：一是直接設(shè)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)恒等式解出Q；二是先根據(jù)特殊情況，找出點(diǎn)Q(或大概位置)，再證明一般情況(或進(jìn)一步根據(jù)恒等式探求)．

師：本題中，你是如何處理的？

師：非常正確！那么，問(wèn)題至此解決了嗎？

2.2 三思而行——設(shè)計(jì)程序，選擇方法

師：可以，按照這樣的思路，如何證明這個(gè)等式？大家可以說(shuō)說(shuō)自己的做法．

生3：設(shè)直線AB為y=k(x-1)(k≠0)，則(*)式等價(jià)于2x1x2-5(x1+x2)+8=0，再結(jié)合韋達(dá)定理證明這個(gè)等式．

師：兩種方法沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，但生2的審題分析很有必要．“謀定而后動(dòng)，知止而有得”，對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)算問(wèn)題，如何選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方案才能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，是值得我們思考的．還有其他不同的想法嗎？

圖2

接下來(lái)教師投影準(zhǔn)備好的兩種方法(生2和生5的解法)的詳細(xì)解答過(guò)程并作點(diǎn)評(píng)(略)．

2.3 登高望遠(yuǎn)——回顧反思，深化拓展

師：大家有沒(méi)有注意到，生6沒(méi)有先找出Q的具體坐標(biāo)再證明，而是根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)Q(t,0)，然后利用恒等式解出t.這也是常規(guī)方法，值得重視．他的過(guò)程近乎完美，特別是在得到pt=4后，能分類(lèi)討論，難能可貴！但還有一點(diǎn)小瑕疵，有誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了嗎？

師：好的，這下就更嚴(yán)謹(jǐn)了．這樣，通過(guò)解題后的反思，我們將原題進(jìn)行了拓展，對(duì)題目的認(rèn)識(shí)更加深刻了．當(dāng)然，我們還可以繼續(xù)研究，比如：將定點(diǎn)P放到橢圓的短軸上是否有相應(yīng)的結(jié)論？放到整個(gè)x軸或y軸上，又會(huì)怎樣？這些就不在課堂上分析了，有興趣的同學(xué)可以在課后研究．下面，我再提一個(gè)問(wèn)題供大家思考：這個(gè)問(wèn)題可逆嗎？也就是將Q(4,0)作為已知點(diǎn)，P(1,0)作為要探求的點(diǎn)，你能否編出一個(gè)題目供大家欣賞呢？請(qǐng)繼續(xù)討論．

圖3

師：條理清楚，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，而且給出了圖形，這樣就不會(huì)混淆A,B,C,D的位置順序．不過(guò)，此題看不出與原題有多少關(guān)系啊，大家試試如何解答．

師：我有點(diǎn)疑問(wèn)，如果你首次遇到此題，你是怎么知道直線AD一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(1,0)的？

生9：我們可以先讓點(diǎn)C和D分別與橢圓的上、下頂點(diǎn)重合，這樣能求出A的坐標(biāo)．根據(jù)對(duì)稱性，若存在定點(diǎn)，則定點(diǎn)一定是AD與x軸的交點(diǎn)，就是P(1,0)．但由于是證明題，這個(gè)過(guò)程可以不出現(xiàn)在解答中．

師：好！生8的題目雖然看上去已“面目全非”了，但和原來(lái)的題目本質(zhì)上還是一致的．大家一定還有類(lèi)似的命題，由于時(shí)間關(guān)系，我們不能一一交流了．我想，通過(guò)嘗試，我們體驗(yàn)了命題人的心路歷程，這會(huì)有助于我們更好地揣摩命題人的心理，把握問(wèn)題的來(lái)龍去脈．

師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了這道作業(yè)題的幾種常規(guī)解法，同時(shí)，從這道題的解答來(lái)看，確立運(yùn)算對(duì)象、探求運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法是解決運(yùn)算問(wèn)題的重要幾步．另外，我們也應(yīng)注意解題后的反思，如能經(jīng)常進(jìn)行這樣的回顧反思，養(yǎng)成解后反思的良好習(xí)慣，我們就可能“做一題，通一遍”，也才可能真正從“題海”中跳出來(lái)．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

(1)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是高考考查的一個(gè)重要內(nèi)容．本節(jié)課中，筆者以一道解析幾何題為載體，著力引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目所給的信息，明確運(yùn)算方向，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果．

(2)高考第二輪復(fù)習(xí)常有這樣一個(gè)問(wèn)題，就是每天的試卷講評(píng)會(huì)沖擊專(zhuān)題復(fù)習(xí)的有序進(jìn)行．能否將試卷講評(píng)和專(zhuān)題復(fù)習(xí)有機(jī)結(jié)合，發(fā)揮試卷講評(píng)的復(fù)習(xí)功能？本節(jié)試卷講評(píng)中，通過(guò)對(duì)原題及變式進(jìn)行的深入分析和研究，讓學(xué)生能舉一反三、觸類(lèi)旁通．這樣，不僅復(fù)習(xí)了一類(lèi)問(wèn)題所涉及的基本知識(shí)和基本方法，還培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探索熱情和良好的解題習(xí)慣，從而將試卷講評(píng)課的綜合效益最大化．

3.2 教學(xué)后的反思

亮點(diǎn)：課堂因“生”動(dòng)而生動(dòng)．在試卷講評(píng)課中，由于想多講幾個(gè)題目或多講幾種解法，教師往往不舍得將課堂還給學(xué)生，教師講學(xué)生聽(tīng)，教師寫(xiě)學(xué)生記，這樣的課堂就是一潭死水，毫無(wú)生氣．本節(jié)課中，筆者先根據(jù)閱卷時(shí)了解的情況，或點(diǎn)名提問(wèn)，或舉手發(fā)言，或討論交流，真正讓學(xué)生成為課堂的主人．課堂中充分暴露學(xué)生的思維，展示學(xué)生的審題分析、設(shè)計(jì)方案、選擇方法和正確運(yùn)算的解題過(guò)程．由于筆者的精心設(shè)計(jì)和臨場(chǎng)調(diào)節(jié)，學(xué)生參與課堂的信心和熱情高漲，學(xué)生的探索興趣濃烈，課堂自然生成豐富，課堂教學(xué)生機(jī)盎然．

不足：“繁榮”還有虛假之嫌．看上去只講了一道題，但由于方法選擇和變式拓展較多，實(shí)際上課堂容量不小．筆者在課堂上留給學(xué)生分析、運(yùn)算和領(lǐng)悟的時(shí)間還顯不足，學(xué)生交流、展示的面還不是很廣，甚至個(gè)別學(xué)生還有“看戲”嫌疑．特別是在“回顧反思，深化拓展”環(huán)節(jié)，若能讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，并充分展示他們的討論成果，課堂生成一定更加豐富，課堂教學(xué)也會(huì)更加生動(dòng)．