肖冉 安新磊 祁慧敏

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070）

引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)中最基本的結(jié)構(gòu)和功能單位，通過(guò)復(fù)雜的放電活動(dòng)，承擔(dān)著接受刺激、傳遞信息等重要職責(zé)，且神經(jīng)元的放電活動(dòng)具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特征[1]，因而研究神經(jīng)元放電活動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為有著十分重要的意義.上個(gè)世紀(jì)50年代，Hodgkin和Huxley通過(guò)對(duì)烏賊軸突觸的電壓鉗位實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了HH神經(jīng)元模型[2].這是歷史上首個(gè)神經(jīng)元放電活動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.上個(gè)世紀(jì)80年代，Hindmarsh和Rose通過(guò)對(duì)丘腦神經(jīng)元進(jìn)行研究，建立了HR神經(jīng)元模型[3，4].近些年來(lái)，大量的實(shí)驗(yàn)與研究表明，電磁輻射會(huì)對(duì)神經(jīng)元放電活動(dòng)產(chǎn)生影響，且這一影響不可忽略.文獻(xiàn)[5]通過(guò)非線性動(dòng)力學(xué)理論，分析了HH神經(jīng)元模型單個(gè)及耦合神經(jīng)元受電磁輻射影響下的放電行為.文獻(xiàn)[6]利用非線性動(dòng)力學(xué)理論及數(shù)值仿真方法，分析了磁通e-HR神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)特性，并施加Washout濾波器實(shí)現(xiàn)了對(duì)磁通e-HR神經(jīng)元模型的隱藏放電控制.文獻(xiàn)[7]通過(guò)引用磁通變量描述電磁感應(yīng)下的改進(jìn)四變量神經(jīng)元模型，研究了相位同步逼近問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元間的磁通耦合可以產(chǎn)生完美的相位同步.文獻(xiàn)[8]研究了電磁刺激對(duì)單個(gè)神經(jīng)元以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為有著顯著的調(diào)控能力.文獻(xiàn)[9]利用磁通變量描述電磁感應(yīng)的影響，并利用憶阻器耦合實(shí)現(xiàn)了磁通對(duì)膜電位的調(diào)制.更進(jìn)一步地，通過(guò)對(duì)神經(jīng)元施加加性相位噪聲，檢測(cè)了神經(jīng)元在模態(tài)中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和相變，并觀察到雙相干共振行為.此外，各個(gè)離子通道也會(huì)對(duì)神經(jīng)元膜電壓產(chǎn)生影響，即通過(guò)改變細(xì)胞膜內(nèi)外各離子的濃度，進(jìn)而改變膜電壓大小.文獻(xiàn)[10]認(rèn)為外電場(chǎng)對(duì)細(xì)胞膜內(nèi)外各離子通道的傳遞有影響，從而改變膜電壓，并通過(guò)引入電場(chǎng)變量，建立了外電場(chǎng)作用下的FHN神經(jīng)元模型，進(jìn)一步分析了該模型放電活動(dòng)動(dòng)力學(xué)特征.但是，上述文獻(xiàn)中建立的神經(jīng)元模型未能同時(shí)考慮電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)神經(jīng)元模型的影響，有必要在考慮電磁場(chǎng)的情況下再進(jìn)一步研究.

研究表明，在很多神經(jīng)元模型的放電活動(dòng)中也會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，因此研究神經(jīng)元模型里的混沌控制與同步是十分有必要的.文獻(xiàn)[11]利用滑模控制和Mittag-Leffler函數(shù)方法，使分?jǐn)?shù)階慣性神經(jīng)元主從系統(tǒng)達(dá)到混沌同步.文獻(xiàn)[12]通過(guò)磁控憶阻器建立了一個(gè)e-HR神經(jīng)元模型，并通過(guò)自適應(yīng)同步控制方法，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)混沌態(tài)放電到周期簇放電態(tài)的同步控制.文獻(xiàn)[13]通過(guò)建立全局耦合的抑制性和興奮性神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)耦合強(qiáng)度足夠大時(shí)能夠誘導(dǎo)抑制性和興奮性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到幾乎完全同步的狀態(tài).在一般的混沌控制與同步里，參數(shù)都是已知的.但實(shí)際混沌系統(tǒng)的參數(shù)往往難以確定，如混沌系統(tǒng)的參數(shù)本身部分未知或全部未知，工作過(guò)程中系統(tǒng)參數(shù)受到擾動(dòng)，神經(jīng)元系統(tǒng)可能會(huì)因?yàn)橥饨绱碳る娏鞯母淖?，使得多個(gè)系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)發(fā)生變化.因此，參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題是神經(jīng)元?jiǎng)恿W(xué)分析中的重要一環(huán).基于Lyapunov穩(wěn)定性原理的自適應(yīng)同步方法是目前參數(shù)辨識(shí)常用的方法[14，15].文獻(xiàn)[16]通過(guò)增加控制器個(gè)數(shù)以及取恰當(dāng)大小的增益系數(shù)，保證了HR神經(jīng)元模型中一組差異過(guò)大的未知參數(shù)的準(zhǔn)確識(shí)別，并縮短了識(shí)別的暫態(tài)過(guò)程.

受上述研究啟發(fā)，本文考慮到磁場(chǎng)以及外電場(chǎng)兩方面都對(duì)神經(jīng)元產(chǎn)生影響，同時(shí)引入磁通變量和電場(chǎng)變量，構(gòu)建了一個(gè)改進(jìn)的五維HR神經(jīng)元系統(tǒng).運(yùn)用Matlab軟件做出該系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔圖，可以看到該系統(tǒng)具有豐富的放電行為及分岔現(xiàn)象，然后對(duì)雙參數(shù)分岔圖里的一條黑線做峰峰間期（ISI）分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“鋸齒狀”的混沌結(jié)構(gòu).考慮到放電過(guò)程中系統(tǒng)可能多個(gè)參數(shù)同時(shí)發(fā)生變化，取定一組參數(shù)，使系統(tǒng)為混沌態(tài)，以其中五個(gè)參數(shù)為未知參數(shù)，利用Lyapunov穩(wěn)定性原理和自適應(yīng)同步方法，選擇合適的控制器，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)成同步，同時(shí)辨識(shí)出未知參數(shù)的值.

1 模型描述

基于三維Hindmarsh-Rose（HR）神經(jīng)元模型，文獻(xiàn)[17]考慮到電磁輻射對(duì)膜電位的影響，通過(guò)加入磁通變量來(lái)模擬這一影響，改進(jìn)成一個(gè)四維的Hindmarsh-Rose（HR）神經(jīng)元模型，再對(duì)該四維系統(tǒng)做雙參數(shù)分岔分析，并通過(guò)Washout控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)亞臨界Hopf分岔穩(wěn)定性控制，從而消除了隱藏放電現(xiàn)象.Ma J等[9]考慮到外電場(chǎng)參與細(xì)胞內(nèi)各離子的傳遞，引起膜電壓的變化，引入了電場(chǎng)變量.受上述啟發(fā)，本文同時(shí)引入磁通變量和電場(chǎng)變量，建立磁場(chǎng)電場(chǎng)共同作用下的五維HR神經(jīng)元?jiǎng)恿ο到y(tǒng)，系統(tǒng)的微分方程如下所示：

其中，五個(gè)狀態(tài)變量分別表示膜電位、快電流、自適應(yīng)慢電流、模擬細(xì)胞周?chē)艌?chǎng)的磁通變量以及外電場(chǎng)，I為外界的刺激電流，a，b，c，d，r，s，χ0是重要的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，Ie是磁場(chǎng)產(chǎn)生的電磁感應(yīng)電流，表達(dá)式為-k0(α+3βφ2)x，α和β是與系統(tǒng)相關(guān)的確定參數(shù)，k2，k3也是確定系數(shù)，為磁通反饋增益.因?yàn)榭祀娏鱵對(duì)外電場(chǎng)的變化非常敏感，所以對(duì)變量y施加一項(xiàng)k1E來(lái)表示外電場(chǎng)對(duì)變量y的影響.在本文中，各參數(shù)參考值取為：a=1.0，b=3.0，c=1.0，d=5.0，s=4.0，r=0.006，χ0=-1.61，α=0.2，β=0.03，I=3，k0=0.1k1=0.1，k2=0.3，k3=0.5，k4=0.2，k5=0.3.

2 雙參數(shù)分岔分析

神經(jīng)元模型往往會(huì)受到外界刺激，從而使神經(jīng)元的放電行為發(fā)生變化.系統(tǒng)（1）中膜電壓x的放電行為與系統(tǒng)參數(shù)取值有關(guān)，其余各參數(shù)取參考值時(shí)，系統(tǒng)膜電壓x隨外界刺激電流I變化的峰峰間期（ISI）分岔圖如圖1所示.從圖中我們可以看到：當(dāng)外界刺激電流I逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)（1）首先由靜息態(tài)進(jìn)入周期1尖峰放電態(tài)，隨后經(jīng)過(guò)加周期分岔進(jìn)入周期2，3，4，5...10簇放電態(tài)，再通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài)放電，混沌態(tài)放電結(jié)束后進(jìn)入周期11的周期簇放電態(tài)，再次通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài)放電，最后通過(guò)逆倍周期分岔進(jìn)入周期1尖峰放電態(tài).但在實(shí)際情況中，外界刺激電流I改變時(shí)，系統(tǒng)（1）的其他幾個(gè)參數(shù)可能也同時(shí)發(fā)生改變.因此研究系統(tǒng)（1）的雙參數(shù)同時(shí)改變時(shí)，膜電壓x的變化更具有實(shí)際意義.

圖1 關(guān)于參數(shù)I的ISI分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of ISI with respect to parameter I

取I和r這兩個(gè)參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)（1）做雙參數(shù)分岔分析，其余參數(shù)取參考值.系統(tǒng)（1）的雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.圖中不同顏色對(duì)應(yīng)著不同的神經(jīng)元膜電壓放電狀態(tài)，右邊顏色欄的數(shù)值表示對(duì)應(yīng)的周期簇放電狀態(tài).（如數(shù)字1表示周期1尖峰放電態(tài)，數(shù)字2表示周期2簇放電態(tài)，數(shù)字8表示周期8簇放電態(tài)，白色區(qū)域代表周期大于或等于20的周期簇放電狀態(tài)或混沌態(tài)）.

圖2 參數(shù)I和r的雙參數(shù)分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram with two parameters I and r

對(duì)圖2做分析可知，當(dāng)參數(shù)I∈ [2.85，3.85]，r∈ [0.002，0.027]時(shí)，系統(tǒng)（1）表現(xiàn)出非常豐富的周期簇放電狀態(tài)和“鋸齒狀”混沌狀態(tài).沿圖2中的黑線左上到右下方向，可以看到膜電壓x經(jīng)歷的放電過(guò)程是：先從混沌放電態(tài)進(jìn)入到周期3簇放電，再由倍周期分岔進(jìn)入周期6，12，24...簇放電直到混沌放電態(tài)，混沌放電態(tài)結(jié)束后出現(xiàn)周期4窗口，同樣經(jīng)過(guò)倍周期分岔進(jìn)入周期8，16，32...直到進(jìn)入混沌放電態(tài).一直反復(fù)下去.看到系統(tǒng)（1）每經(jīng)歷一次混沌放電，放電的周期數(shù)比混沌放電前的周期數(shù)大一，這個(gè)過(guò)程就是伴有混沌的加周期分岔模式.由此可以觀察到，隨著黑線的走勢(shì)，周期數(shù)不斷加大，相應(yīng)的周期顏色帶面積不斷減小，且混沌的窗口也不斷減小.此外，從I∈[2.85，3.05]，r∈[0.002，0.007]這個(gè)參數(shù)區(qū)間可以看到，此時(shí)系統(tǒng)（1）的分岔結(jié)構(gòu)不包含混沌區(qū)域的周期層，且相鄰周期窗口周期數(shù)大一，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為無(wú)混沌的加周期分岔模式.

當(dāng)以參數(shù)r為變量時(shí)，其余參數(shù)取參考值.沿圖2中的黑線從右下到左上方向，可以做出系統(tǒng)（1）膜電壓x的峰峰間期（ISI）分岔圖如圖3（a）所示，圖3（b）是圖3（a）所對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖.從圖3（a）可以更直觀地看出，隨著參數(shù)r的不斷減小，系統(tǒng)的膜電壓x放電模式從混沌態(tài)放電結(jié)束后進(jìn)入周期3簇放電態(tài)，再通過(guò)倍周期分岔再次通向混沌態(tài)放電，然后進(jìn)入周期4簇放電態(tài)，進(jìn)一步通過(guò)倍周期分岔轉(zhuǎn)向混沌后再進(jìn)入周期5簇放電態(tài)，以此反復(fù)下去，最后從高周期簇放電態(tài)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌后，通過(guò)一次逆倍周期分岔進(jìn)入周期1尖峰放電態(tài).

圖3 系統(tǒng)（1）的ISI分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 The bifurcation diagram of ISI and maximum Lyapunov exponent diagram of system（1）

根據(jù)上述分析，外界刺激可以導(dǎo)致神經(jīng)元的放電活動(dòng)發(fā)生變化，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)可能也會(huì)隨之改變.這樣在多個(gè)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，如何辨識(shí)出變化后的未知參數(shù)就有著十分重要的意義.

3 改進(jìn)五維HR神經(jīng)元系統(tǒng)的自適應(yīng)同步及參數(shù)辨識(shí)

4 數(shù)值仿真

在具體的數(shù)值仿真中，令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中狀態(tài)變量初值取 (-0.1，-0.2，-0.3，-0.4，-0.5)，響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量初值取(0.1，0.2，0.3，0.4，0.5)，未知參數(shù)取為a1=1，b1=3，c1=1，d1=5，r1=0.027，此時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為混沌態(tài)，將響應(yīng)系統(tǒng)初始參數(shù)取為a2=1.2，b2=4，c2=1.5，d=6.2，r=0.003.通 過(guò) Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，得到響應(yīng)系統(tǒng)（3）的參數(shù)辨識(shí)曲線以及同步誤差e隨時(shí)間t的變化如圖4所示.可以觀察到，經(jīng)過(guò)一定的暫態(tài)過(guò)程后，同步誤差隨時(shí)間逐漸趨于零附近.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)成同步.且由數(shù)值仿真可以得出，在t=1000時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)值a2=c2=0.999，b2=3，d2=4.999，r2=0.027，基本趨近于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未知參數(shù)值，即辨識(shí)出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未知參數(shù).

圖4 系統(tǒng)（3）的參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.4 Parameter identification curve of system（3）

可以看到，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)同步方法辨識(shí)出了五維HR神經(jīng)元系統(tǒng)的未知參數(shù)值，且從仿真結(jié)果可以看到同步誤差很快趨近于零，辨識(shí)結(jié)果也較為準(zhǔn)確，說(shuō)明基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)同步方法的參數(shù)辨識(shí)是成功的.

5 結(jié)論

本文首先基于三維HR神經(jīng)元模型，通過(guò)引入磁通變量和電場(chǎng)變量，構(gòu)建了一個(gè)改進(jìn)的五維神經(jīng)元系統(tǒng)（1）；其次，利用Matlab軟件進(jìn)行雙參數(shù)分岔分析，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其具有豐富且復(fù)雜的分岔模式.如沿著圖2黑線從左上到右下方向，系統(tǒng)有著常見(jiàn)的倍周期分岔、加周期分岔的分岔模式，混沌結(jié)構(gòu)呈“鋸齒狀”；然后，取一種混沌狀態(tài)的情況單獨(dú)分析，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)同步方法，以該混沌神經(jīng)元系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)建一個(gè)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了使兩個(gè)系統(tǒng)同步的控制器，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)成完全同步，從而混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)得到了識(shí)別，理論證明了控制器的可行性；最后，通過(guò)數(shù)值仿真得到了五個(gè)狀態(tài)變量的誤差圖以及參數(shù)辨識(shí)曲線.從圖中可以看到兩系統(tǒng)較快地達(dá)到完全同步，且未知參數(shù)得到識(shí)別.本文的研究結(jié)果在生物學(xué)與醫(yī)學(xué)電磁場(chǎng)下神經(jīng)元模型的建立中有著一定的參考價(jià)值.

圖5 系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（3）同步誤差圖Fig.5 Synchronization error diagram of system（2）and system（3）