馮 閱，羅立勝，布魯諾·布里斯杰拉

（1.海南大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，海南 海口 570228；2.福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建 福州 350000）

結(jié)構(gòu)優(yōu)化是工程結(jié)構(gòu)研究方面求出最優(yōu)方案的一種設(shè)計方法，其目的就是在于尋求既安全又經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)形式.伴隨著計算機(jī)技術(shù)的巨大進(jìn)步，結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)與商用結(jié)構(gòu)分析軟件的結(jié)合已在實際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，并在過去的幾十年中這種方法已被結(jié)構(gòu)設(shè)計師作為一種重要的工具，同時它也迅速成為結(jié)構(gòu)設(shè)計過程的一個組成部分［1］.結(jié)構(gòu)優(yōu)化一般可以分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化三個層次［2］.尺寸優(yōu)化是以結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)為優(yōu)化對象（如板厚、梁高等），它是在結(jié)構(gòu)類型、材料、布局和輪廓形狀一定的情況下，對各個組成構(gòu)件的截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化［3］；形狀優(yōu)化則是以結(jié)構(gòu)外形或者孔洞形狀為優(yōu)化對象，然后對其結(jié)構(gòu)的邊界曲線或內(nèi)部的幾何形狀進(jìn)行優(yōu)化；而拓?fù)鋬?yōu)化則是以材料分布為優(yōu)化對象，并在設(shè)計空間內(nèi)尋找材料分布的最佳方案［4］.在優(yōu)化過程中，尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化要求結(jié)構(gòu)的連接方式保持不變，而拓?fù)鋬?yōu)化則允許結(jié)構(gòu)產(chǎn)生新的孔洞和連接，并且可徹底改變其構(gòu)型［5］.

當(dāng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)被應(yīng)用到橋梁工程中時，通過尺寸優(yōu)化技術(shù)，可以對橋面板的厚度、主梁截面高度、梁肋厚度、拉索的截面面積以及墩臺基礎(chǔ)的截面尺寸等進(jìn)行優(yōu)化，在剛度約束下最小化結(jié)構(gòu)體積，從而減輕結(jié)構(gòu)自重和節(jié)約工程材料；通過形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，可以對橋梁結(jié)構(gòu)形態(tài)、桁架的形式、橋塔的截面形狀、拉索的布置、箱梁底板挖空的大小和位置等進(jìn)行優(yōu)化，在給定的空間范圍內(nèi)進(jìn)行橋梁整體或構(gòu)件的找型，從而得到受力合理和造型又有啟發(fā)性的結(jié)構(gòu)形式［6］.然而，在優(yōu)化過程中，設(shè)定不同的初始條件和改變體積約束等會得到不同的優(yōu)化結(jié)果，這些結(jié)果都是當(dāng)前約束條件下的最優(yōu)設(shè)計.如在體積約束下最大化剛度的拓?fù)鋬?yōu)化中，設(shè)定的體積約束，即挖空率（Volume Reduction）不同，優(yōu)化程序都能給出剩余體積內(nèi)材料的最佳分布，使得結(jié)構(gòu)剛度最大.隨著設(shè)定的體積挖空率不斷增大，結(jié)構(gòu)的剛度可能不斷變小，應(yīng)力和變形也逐漸增大，達(dá)到規(guī)范規(guī)定或材料的極限.從節(jié)省材料的角度考慮，設(shè)計師希望體積越小越好；而站在結(jié)構(gòu)受力性能的角度，如滿足抗震設(shè)計、減少內(nèi)部應(yīng)力、使應(yīng)力分布更均勻等，挖空率太大并不有利，所以如何在節(jié)省材料和結(jié)構(gòu)受力之間找到一個最優(yōu)的平衡點，這對設(shè)計師來說是一個考驗.以往最終的選擇很大程度上依賴設(shè)計師的判斷，沒有一個量化的指標(biāo).為解決這一問題，本文提出一個尋找橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化中最優(yōu)設(shè)計的評價指標(biāo)（GOI），通過所建立的數(shù)學(xué)公式，對每個優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行計算，給出具體的指標(biāo)值，這為設(shè)計師找出最優(yōu)設(shè)計提供了一個直觀有效的方法［7］.另外，由于結(jié)構(gòu)優(yōu)化在實際橋梁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用實例并不多見，因此本文介紹了幾個優(yōu)化的例子，這些例子在驗證優(yōu)化指標(biāo)有效性的同時，也為設(shè)計師進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了參考.

1評價指標(biāo)

橋梁結(jié)構(gòu)受力性能一般是通過應(yīng)力和位移來反映，因此，評價指標(biāo)首先是將優(yōu)化后的應(yīng)力和位移與優(yōu)化前的應(yīng)力和位移進(jìn)行對比，將應(yīng)力指數(shù)RI（σ）和變形指數(shù)RI（d）作為結(jié)構(gòu)受力的量化值，RI（σ）和RI（d）分別代表了橋梁的應(yīng)力變化和位移變化，它們是以百分?jǐn)?shù)來表示的：

其中，i是不同體積約束下的優(yōu)化結(jié)果；σ0和σi是優(yōu)化前后橋梁結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力或平均應(yīng)力值；d 0和d i是優(yōu)化前后橋梁的最大位移值.

體積挖空率（VR）作為材料節(jié)省率的量化值，需要將其與結(jié)構(gòu)受力聯(lián)系起來.鑒于應(yīng)力和位移隨著VR的增加而增加，因此將應(yīng)力指數(shù)和變形指數(shù)都除以VR，以此來反映兩者隨VR的增加速率.考慮到增加速率越大，則受力性能下降越明顯，因此用1減去增加速率，以此來構(gòu)造應(yīng)力和位移水平的優(yōu)化指標(biāo)OI（i）.

實際設(shè)計時決策者可能有所偏好，比如偏向結(jié)構(gòu)受力性能更好，或者希望更多地節(jié)省材料，因而引入了體積懲罰因子β.懲罰因子一般在0～3之間取值，其對優(yōu)化指標(biāo)值的影響示于圖1.從圖1中可以看出，系數(shù)1/(VR)β隨體積增大呈曲線下降，β越大，下降段越趨平緩.與β=1比較，當(dāng)β取值小于1時，下降段的值整體提升；當(dāng)β取值大于1時，下降段的值整體降低并趨于水平；而當(dāng)β=2時，曲線趨近于0.當(dāng)β=1時，優(yōu)化指標(biāo)項VR?1/(VR)β是其值為1的水平線；當(dāng)β取值小于1時，VR越大，該指標(biāo)項的值也越大；β=0.5時，其值呈指數(shù)增長.因此，懲罰因子介于0和1之間時，表示傾向于更高的材料節(jié)省率；而值大于1時，則表示傾向于更好的受力性能.

圖1 懲罰因子對優(yōu)化指標(biāo)值的影響

綜合考慮應(yīng)力和位移指標(biāo)，賦予兩者相同的權(quán)重，取平均值并對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到最終的評價指標(biāo)（GOI）：

2鋼拱橋尺寸優(yōu)化

威尼斯憲法橋是一座鋼拱人行橋，它是由建筑師主導(dǎo)的，建筑師為了追求建筑造型而致使其結(jié)構(gòu)不盡合理，因此存在爭議［7］.該橋采用了開口星形截面，剛度不足，在非對稱荷載下它可能產(chǎn)生較大的變形；此外，1/16的矢跨比亦會使其產(chǎn)生巨大的水平推力，從而導(dǎo)致基礎(chǔ)位移［8］.為了改善其結(jié)構(gòu)的受力性能，在此建立了參數(shù)化有限元模型（圖2），在橋梁截面的兩底拱中引入了預(yù)應(yīng)力鋼索（鋼索直徑為60 mm），并施加從5×10-4到15×10-4的不同初始應(yīng)變；同時，采用尺寸優(yōu)化技術(shù)，從初始點出發(fā)，以目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息（即靈敏度分析）為基礎(chǔ)構(gòu)造搜索算法，并利用導(dǎo)數(shù)信息確定搜索方向和步長，以獲得新的設(shè)計點，如此反復(fù)，直至收斂.

圖2 威尼斯憲法橋的有限元模型

本實例以全橋鋼結(jié)構(gòu)總體積為目標(biāo)函數(shù)，以截面構(gòu)件尺寸為設(shè)計變量，以橋梁最大應(yīng)力（歐洲規(guī)范S355鋼，屈服應(yīng)力355 MPa）和最大豎向位移（跨徑80.8 m，取千分之一跨徑81 mm）為約束，進(jìn)行尺寸優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果列于表1中.當(dāng)初始應(yīng)變?yōu)?×10-4時，總體積最小，材料節(jié)省率為36%，但是位移達(dá)到極限；初始應(yīng)變?yōu)?0×10-4時，總體積減小23%，應(yīng)力達(dá)到極限.采用上述評價指標(biāo)，根據(jù)最大應(yīng)力、最大位移和VR值，將其代入公式（3），可分別得到應(yīng)力和位移指標(biāo)值，通過取兩者的平均值，即可得到不同初始應(yīng)變下的優(yōu)化指標(biāo)值（GOI），從而可最終確定初始應(yīng)變（10×10-4）的最優(yōu)結(jié)果.

表1 尺寸的優(yōu)化結(jié)果

圖3 不同初始應(yīng)變的優(yōu)化指標(biāo)值

3混凝土殼人行橋的拓?fù)鋬?yōu)化

在設(shè)計混凝土殼人行橋時，殼結(jié)構(gòu)通常會被設(shè)計成面積最小的鞍形以承受雙向壓力，從而使其能充分利用混凝土的良好抗壓強度來防止結(jié)構(gòu)開裂［9］.然而，在找形過程中，由于殼的厚度、二階位移和彎曲剛度等多種原因，本不希望的彎矩和相應(yīng)的拉應(yīng)力在殼體中會不可避免地出現(xiàn)［10］；因此，為了進(jìn)一步消除殼體中的不良彎矩和拉伸應(yīng)力，從找形得到的一座混凝土殼人行橋出發(fā)，建立了ANSYS參數(shù)化模型（圖4），并進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化.考慮到加強殼體的自由邊可以減少殼體找形中出現(xiàn)的不良應(yīng)力，故在原有有限元模型的基礎(chǔ)上，每個殼體定義了三個不同的模型.

圖4 混凝土殼人行橋有限元模型

模型I：對整個殼體進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化；

模型II：對殼體邊緣0.20 m寬的殼體不進(jìn)行拓?fù)洌?/p>

模型III：對殼體邊緣0.20 m寬的殼體不進(jìn)行拓?fù)?，同時采用加筋梁單元對其進(jìn)行加筋.

給定不同的體積挖空率，即5%、10%、20%和30%，以最小化殼體的柔度為目標(biāo)函數(shù)，對殼體的形狀進(jìn)行拓?fù)?本實例是采用SIMP材料模型（帶懲罰因子的各向固體同性微結(jié)構(gòu)材料插值模型）來進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，同時假定宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計域的每一點是由微結(jié)構(gòu)材料構(gòu)成，并引入一種假想的相對密度在0～1之間的可變材料，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分布問題來進(jìn)行求解.通過識別低偽密度的殼體區(qū)域來去除這些區(qū)域的材料，以此來更新殼的幾何形狀，并對拓?fù)淝昂竽Ｐ偷撵o力性能進(jìn)行對比.隨著VR的增加，拓?fù)浣o出了不同的形狀（如圖5）.從圖5中可以看出，荷載傳遞路徑是沿著殼體邊緣從殼體的支撐點傳到基礎(chǔ)的，因此遠(yuǎn)離殼體自由邊的內(nèi)部區(qū)域被逐漸挖空，挖空區(qū)域沿著橋梁中線逐漸延伸和擴(kuò)展，當(dāng)VR達(dá)到30%時，這些區(qū)域趨向于彼此合并，并把殼體分割成兩部分；同時，殼體的拉應(yīng)力逐漸消失，壓應(yīng)力相應(yīng)增大，位移也有所增加.

圖5 混凝土殼人行橋不同VR的應(yīng)力云圖

為了確定最優(yōu)設(shè)計，采用評價指標(biāo)，繪制了不同VR下三個模型隨β值變化的優(yōu)化指標(biāo)值，如圖6所示，模型III的優(yōu)化指標(biāo)值總是比模型I和II的優(yōu)化指標(biāo)值高，這說明加強殼體的自由邊對殼體受力性能有明顯的改善.當(dāng)β=1時，模型III中VR（30%）的優(yōu)化指標(biāo)值最大，逐漸增大β值，意味著傾向于更好的受力性能；當(dāng)β=3時，VR（20%）的優(yōu)化指標(biāo)值最大.綜合考慮，VR=20%的方案更優(yōu)，其優(yōu)化指標(biāo)值在不考慮β時比VR=30%的方案的優(yōu)化指標(biāo)值稍小，但在傾向于更好的結(jié)構(gòu)受力性能時，其值最大.另外，VR=20%的方案不像VR=30%的方案那樣將殼體分割成兩部分，而是維持了殼體的完整性，模型III體積挖空率為20%的效果示于圖7.

圖6 不同VR下三個模型隨β值變化的優(yōu)化指標(biāo)值

圖7 模型III體積挖空率為20%的效果圖

4組合梁橋的拓?fù)鋬?yōu)化意大利皮亞韋橋是一座全長500 m的多跨梁橋，共5跨，每跨跨徑100 m.該橋原設(shè)計是采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，在大部分的基礎(chǔ)和橋臺已施工后，因建造經(jīng)費問題而一度停工，待其再建時卻發(fā)現(xiàn)已施工的基礎(chǔ)難以滿足新的抗震設(shè)計規(guī)范要求［11］.因此，為保留已建成的下部結(jié)構(gòu)，只有減輕橋梁的上部結(jié)構(gòu)重量［12］.新的設(shè)計是用鋼箱梁代替鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，并通過拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，將鋼箱梁的翼緣部分進(jìn)行挖空，這樣就在保證橋梁承載力與剛度的同時降低了上部結(jié)構(gòu)的自重.

采用有限元軟件ANSYS，建立參數(shù)化模型，同樣采用SIMP方法，以結(jié)構(gòu)柔度為目標(biāo)函數(shù)，在體積約束下最大化結(jié)構(gòu)的剛度.給定不同的VR，從15%逐漸增加到90%，對鋼箱梁的翼緣部分進(jìn)行拓?fù)?在優(yōu)化過程中，隨著VR的增加，呈現(xiàn)出不同的優(yōu)化結(jié)果（如圖8），從初始的兩個小橢圓孔洞逐漸擴(kuò)大至一個大橢圓孔洞，與此同時，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平不斷增大，包括最大應(yīng)力和平均應(yīng)力，撓度也在增加.

圖8 意大利皮亞韋橋不同VR下的應(yīng)力云圖

為了確定最優(yōu)設(shè)計，采用評價指標(biāo)，以獲取橋梁最大應(yīng)力、跨中最大位移和VR值，將其代入公式（3），可分別得到應(yīng)力和位移指標(biāo)值，通過取兩者的平均值而繪制了不同VR下優(yōu)化方案隨β值變化的最終指標(biāo)值（GOI），如圖9所示.該方案將單個孔洞和雙孔洞分開考慮，實線為雙孔洞方案，虛線為單孔洞方案，從中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)β值不大于1時，雙孔洞方案中VR=40%的優(yōu)化指標(biāo)值是最高的；當(dāng)β值大于1時，雙孔洞方案中VR=0的優(yōu)化指標(biāo)值是最高的.由于優(yōu)化的目的是減輕上部結(jié)構(gòu)自重，因此最終選擇了VR=40%的雙孔洞方案，所建成的實橋圖片如圖10所示.

圖9 不同VR下優(yōu)化方案隨β值變化的優(yōu)化指標(biāo)值

圖10 建成的實橋圖片

5結(jié)語

結(jié)構(gòu)優(yōu)化在橋梁工程中的應(yīng)用大多處于探討階段，應(yīng)用實例不多，關(guān)于在多個優(yōu)化結(jié)果中尋找最優(yōu)設(shè)計的實例也并不多見，真正涉及到這類問題的應(yīng)用實例僅有兩個典型的例子，即謝億民與澳大利亞BKK建筑事務(wù)所合作設(shè)計的“中空殼管人行橋”［13-15］，以及Zordan等［16］對意大利一座組合梁橋所進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計.基于作者的認(rèn)知，目前并沒有看到與評價指標(biāo)相關(guān)的研究成果被發(fā)表.然而，隨著結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)在橋梁工程中應(yīng)用的推進(jìn)，這類問題會逐漸增多起來，并會成為設(shè)計師經(jīng)常要面對的一個難題.本項目提出的優(yōu)化指標(biāo)是通過建立數(shù)學(xué)公式，對不同的優(yōu)化方案給出具體的量化值，這為設(shè)計師找出最優(yōu)設(shè)計提供了一個直觀有效的方法.所給出的三個優(yōu)化實例，在將其用于驗證指標(biāo)有效性的同時，也為我國橋梁工程師在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時提供了參考.