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        n-賦范空間上的等距延拓問題

        2021-11-15 01:55:34馬玉梅
        大連民族大學(xué)學(xué)報 2021年5期
        關(guān)鍵詞:等距共線度量

        馬玉梅

        (大連民族大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 大連 116650)

        等距理論在泛函分析以及數(shù)學(xué)的其它分支和物理學(xué)研究中具有重要意義,如萬有定理(可分Banach 空間等距嵌入到C[0,1]的閉線性子空間),W.T. Gowers 和 B. Maurey 給出無條件基可以等距嵌入到不同于l1和c0的Banach 空間。Grzegorz Lewicki證明Orlicz 空間可以等距嵌入到Lp-spaces等等[1]。幾何學(xué)上基于流形的等距刻畫了黎曼對稱空間,黎曼對稱空間的分析學(xué)為Hillel Furstenberg贏得2006年Wolf 獎[2]。

        1 引言和術(shù)語

        設(shè)X和Y是度量空間,稱映射f:X→Y為等距映射,如果對任意x,y∈X有dX(x,y)=dY(f(x),f(y))。這里dX(·,·),dY(·,·)分別表示X與Y空間的度量。

        1932年賦范空間:Mazur 和 Ulam給出:“滿”等距算子必為仿射算子[3]?!胺菨M”等距延拓為線性或仿射問題一直是80多年以來研究的熱點(diǎn)。1987年J. Baker 得到嚴(yán)格凸空間的等距單映射必為仿射的[3]。

        1970年Aleksandrov[4]提出:度量空間中保持單位距離的映射是否為等距映射。

        針對這個問題的研究主要在兩類空間展開。

        (1)賦范空間。W. Benz 推廣了Aleksandrov 問題, 給出了保持兩個常數(shù)距離的映射為等距的條件[5]:

        定理1 設(shè)X與Y為兩個實線性賦范空間,Y是嚴(yán)格凸的。如果映射f:X→Y滿足

        (2) n-賦范空間。2004年起,H. Chu, C. Park, T.M. Rassias,高金梅、任衛(wèi)云、靖陽平等將Aleksandrov 問題推廣到2-賦范和n-賦范空間[6-22]; C. Park 和 T.M. Rassias 給出了n-距離下滿足n-DOPP,n-Lipschitz 以及保持m-colinear (m=2,n)等條件的映射是n-等距的。H. Gunawan 和 M. Mashadi 給出了范數(shù)降維理論,為進(jìn)一步解決n-賦范空間中維數(shù)限定問題提供了重要依據(jù)?;诖死碚擇R玉梅于2013年分別得到了n-賦范空間中保持單位距離且保持n-共線與2-線性保序的映射為弱n-等距的;n-賦范嚴(yán)格凸空間中強(qiáng)保持單位距離并且保持任意正整數(shù)的映射是n-等距的。

        2014年馬玉梅給出[18]:

        定理2 設(shè)X,Y 是兩實n-賦范線性空間,且dimX≥n,f:X→Y滿足w-n-DOPP,那么以下8個命題等價:

        (1) f 保持w-n-0-距離 (w-n-0-distance, n-colinear);

        (2) f 是w-n-Lipschitz;

        (3) f 保持2-共線(2-colinear);

        (4) f 是仿射的(affine);

        (5) f 是n-等距的(n-isometry);

        (6) f 是n-Lipschitz;

        (7) f 保持n-0-距離(n-0-distance);

        (8) f 是弱-n-等距的(w-n-isometry)。

        本文將賦范空間中的Benz定理推廣到n-賦范空間。

        2 n-賦范空間中的相關(guān)概念

        定義1[6]設(shè)X 是實線性空間,dimX≥n,函數(shù)‖·,…,·‖:Xn→R滿足:

        (1)‖x1,…,xn‖=0,當(dāng)且僅當(dāng)x1,…,xn是線性相關(guān)的;

        (3) ‖αx1,…,xn‖=|α|‖x1,…,xn‖;

        (4) ‖x+y,x2,…,xn‖≤‖x,x2,…,xn‖+‖y,x2,…,xn‖。

        注釋[6]:設(shè)X與Y是實n-賦范空間. 那么對所有x1,…,xi,…,xj,…,xn∈X。

        定義3[8]映射f:X→Y稱為w-n-等距,如果:對任意x0,x1,…,xn∈X,

        ‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖=‖x1-x0,…,xn-x0‖。

        映射f:X→Y稱為w-n-DOPP,如果:對任意x0,x1,…,xn∈X,

        ‖x1-x0,…,xn-x0‖=1 蘊(yùn)含‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖=1。

        映射f:X→Y稱為w-n-Lipschitz,如果:對任意x0,x1,…,xn∈X,

        ‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖≤‖x1-x0,…,xn-x0‖。

        映射f:X→Y稱為n-等距,如果: 對任意x1,…,xn,y1,…,yn∈X,

        ‖f(x1)-f(y1),…,f(xn)-f(yn)‖=‖x1-y1,…,xn-yn‖。

        映射f:X→Y稱為n-ρ-距離, 如果:對任意x1,…,xn,y1,…,yn∈X,

        ‖x1-y1,…,xn-yn‖=ρ蘊(yùn)含 ‖f(x1)-f(y1),…,f(xn)-f(yn)‖=ρ。

        映射f:X→Y稱為n-Lipschitz 如果: 對任意x1,…,xn,y1,…,yn∈X,

        ‖f(x1)-f(y1),…,f(xn)-f(yn)‖≤‖x1-y1,…,xn-yn‖。

        映射f:X→Y稱為保持2-共線的, 如果對于任何x,y,z∈X, 存在t∈R,滿足z-x=t(y-x) 那么就存在s∈R,使得f(z)-f(x)=s(f(y)-f(x))。 點(diǎn)集x0,x1,…,xn∈X稱為n-共線的,如果對每個i,{xj-xi:0≤j≠i≤n} 是線性相關(guān)的。映射f:X→Y稱為保持n-共線的, 如果x0,x1,…,xn是n-共線的,則f(x0),f(x1),…,f(xn) 是n-共線的,n-共線的。

        注釋:映射f:X→Y保持n-共線意味f保持w-0-距離(‖x1-x0,…,xn-x0‖=0,蘊(yùn)含‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖=0)。

        3 n-范空間中的Benz定理

        證明任取x1,…,xn,y1,…,yn∈X滿足‖x1-y1,…,xn-yn‖=0,也即:x1-y1,…,xn-yn是線性相關(guān)的。 假設(shè) {xm+1-ym+1,…,xn-yn} 是{x1-y1,…,xn-yn}的最大線性無關(guān)組(m

        max{‖(ν1-x1)+(x1-y1),x2-y2,…,xn-yn‖,‖x1-y1,x2-y2,…,xn-yn‖}=

        ‖(ν1-x1)+(x1-y1),x2-y2,…,xn-yn||≤‖ν1-x1,x2-y2,…,xn-yn‖。我們得到:

        xi-νi=ωi-xi,νi-yi=(xi-ωi)+(xi-yi),i∈{2,3,…,m}。 由于xi-yi,xm+1-ym+1,…,xn-yn是線性相關(guān)的,我們有‖…,xi-yi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖=0,‖…,xi-ωi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖≤

        max{‖…,(xi-ωi)+(xi-yi),…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖,‖…,xi-yi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖}≤

        max{‖…,xi-ωi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖,‖…,xi-yi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖},

        ‖ν1-y1,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖=‖ν1-x1,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖。

        由于f保持ρ/(k)距離 (k∈), 那么‖f(x1)-f(y1),f(x2)-f(y2),f(x3)-f(y3),…,f(xn)-f(yn)‖≤

        max{‖f(x1)-f(ν1),f(x2)-f(ν2),…,f(xm-1)-f(νm-1),f(xm)-f(νm),f(xm+1)-f(ym+1),…,f(xn)-f(yn)‖,‖f(x1)-f(ν1),f(x2)-f(ν2),…,

        由k是任意正整數(shù),有

        ‖f(x1)-f(y1),f(x2)-f(y2),…,f(xn)-f(yn)‖=0,這蘊(yùn)含f保持0-距離。

        用引理1和定理2顯然可得:

        根據(jù)推論1,f是仿射n-等距。

        推論2 如果X與Y為實n-賦范空間滿足dimX≥n,Y是n-嚴(yán)格凸的。如果f:X→Y,保持ρ和2ρ(ρ>0), 那么f是仿射n-等距。

        定理3 設(shè)X與Y為兩個實線性n-賦范空間,Y是n-嚴(yán)格凸的. 如果映射f:X→Y滿足

        (1)‖y1-x1,...,yn-xn‖=ρ蘊(yùn)含‖f(y1)-f(x1),...,f(yn)-f(xn)‖≤ρ;

        (2) ‖y1-x1,...,yn-xn‖=2ρ蘊(yùn)含‖f(y1)-f(x1),...,f(yn)-f(xn)‖≥2ρ,對任何x1,...,xn,y1,...,yn∈X和ρ>0 以及某個整數(shù)N成立。那么f是一個仿射n-等距。

        證明(a)首先我們證明f保持w-ρ-距離,令:‖y1-x0…,yn-x0‖=ρ,以及pi=x0+i(y1-x0),i=0,1,2,那么p1=y1,p0=x0,pi-x0=i(y1-x0),pi-pi-1=y1-x0=p1-x0, 和‖pi-pi-1,y2-x0,...,yn-x0‖=‖y1-x0,...,yn-x0‖=ρ。

        由條件 (1),得到‖f(pi)-f(pi-1),f(y2)-f(x0),...,f(yn)-f(x0)‖≤ρ。

        (c) 第三證明f保持w-n-2ρ-距離。根據(jù) (a) 與(b)假定N≥3。令:

        根據(jù) (a) 和 (b)有 ‖f(pi)-f(pi-1),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖≤ρ,

        Nρ=‖f(pN)-f(x),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖≤

        ‖f(p2)-f(p0),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖=‖f(p2)-f(p1),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖+‖f(p1)-f(p0),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖=2ρ。這樣,

        ‖f(y)-f(x),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖=2ρ。

        (d)最后根據(jù)Y是n-嚴(yán)格凸的,那么存在t滿足f(p2)-f(p1)=t(f(p1)-f(p0))。

        根據(jù)引理2,得知f是一個仿射n-等距。

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