張 婭，李曉彬，彭 帥，施 銳

（1. 武漢理工大學(xué)交通學(xué)院，湖北 武漢 430063；2. 中國(guó)船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京，100036）

爆炸沖擊波的傳播與衰減一直是爆炸領(lǐng)域研究的重點(diǎn)問(wèn)題[1]。當(dāng)炸藥爆轟后，爆炸氣體產(chǎn)物內(nèi)部形成的稀疏波會(huì)迅速衰減爆炸高壓，其中不同方向的稀疏波會(huì)在中心匯聚，形成相互作用的稀疏波復(fù)合波區(qū)，稀疏效應(yīng)的疊加加快了爆炸高壓的衰減速率，且穿過(guò)復(fù)合波區(qū)的稀疏波會(huì)快速追趕上空氣沖擊波陣面，對(duì)該陣面的壓縮特性進(jìn)行衰減[2]。因此，在很多沖擊波問(wèn)題的研究中，為在實(shí)驗(yàn)段得到穩(wěn)定的沖擊超壓，通常會(huì)在激波管實(shí)驗(yàn)中通過(guò)加長(zhǎng)爆轟驅(qū)動(dòng)段[3]，來(lái)減緩反射稀疏波到達(dá)激波陣面的時(shí)間?？梢钥闯?，該稀疏復(fù)合波區(qū)的特性直接影響了爆炸過(guò)程的衰減特征。除稀疏復(fù)合波區(qū)外，隨著流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，爆炸區(qū)域還會(huì)形成其他類(lèi)型的相交復(fù)合波區(qū)，且每個(gè)波區(qū)的傳播和衰減特征均不同。

在平面爆轟流場(chǎng)中，該類(lèi)復(fù)合波區(qū)均可以簡(jiǎn)化為兩相向擾動(dòng)波相交作用的特性耦合。在應(yīng)用特征線(xiàn)法的爆炸理論中，已提出了兩相向擾動(dòng)波交匯后流場(chǎng)的一般解形式[4]，但由于相交特性復(fù)雜，并沒(méi)有通用的解析解，僅在假定爆炸氣體絕熱指數(shù)γ=3 時(shí)有確定的特性，即相交后兩簇波在x-t平面上的特征線(xiàn)仍均為直線(xiàn)。張守中[5]基于該γ=3 時(shí)的特殊解形式，對(duì)多個(gè)典型爆轟產(chǎn)物流場(chǎng)中稀疏復(fù)合波區(qū)的數(shù)值解進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算解代入到后續(xù)的流場(chǎng)分析?？梢钥闯觯瑢?duì)于復(fù)合波區(qū)而言，該特殊解形式簡(jiǎn)單，方便用于流場(chǎng)參數(shù)的快速估算。因此，當(dāng)對(duì)計(jì)算精度要求不高時(shí)，對(duì)高密度凝聚炸藥常近似取γ=3.0。

但是在實(shí)際過(guò)程中，爆炸氣體內(nèi)部這種從極稠密的高壓狀態(tài)變化到較稀疏的低壓狀態(tài)，過(guò)程是極其復(fù)雜的，尤其是過(guò)程中爆炸氣體的絕熱指數(shù)γ 是持續(xù)變化的。常用高密度凝聚炸藥的初始γ0測(cè)定值一般在2.2～3.50 之間[6-8]，在根據(jù)γ 律等熵狀態(tài)方程進(jìn)行膨脹衰減計(jì)算時(shí)，常采用在高壓γ0到低壓（1.1～1.4）分段取值計(jì)算的方法[9-10]，所以γ≠3 是這些復(fù)合波區(qū)的常態(tài)。

為研究γ=3 和γ≠3 不同條件下爆炸不同復(fù)合波區(qū)的特性差異，本文中基于特征線(xiàn)法和理想氣體的γ律等熵狀態(tài)方程，對(duì)一平面爆轟過(guò)程中不同復(fù)合波區(qū)的波系相交特性進(jìn)行理論規(guī)律分析。由于在一般解形式中，γ≠3 的復(fù)合波區(qū)內(nèi)相交的特征線(xiàn)為跡線(xiàn)未定的曲線(xiàn)，難以推導(dǎo)理論的位移-時(shí)間公式（即x-t解），本文中利用MATLAB 對(duì)其平面爆轟過(guò)程進(jìn)行流場(chǎng)模擬，驗(yàn)證并分析不同復(fù)合波區(qū)流場(chǎng)內(nèi)的參數(shù)變化特性。

1 平面爆轟過(guò)程中復(fù)合波區(qū)的形成

在如圖1 所示的截面積為1 m2的圓形無(wú)限長(zhǎng)管內(nèi)，T0時(shí)刻在x(-1,1)區(qū)間內(nèi)設(shè)有TNT 固體裝藥?；谒矔r(shí)爆轟模型，在炸藥原體積空間內(nèi)，爆炸氣體產(chǎn)物的密度取為固體裝藥的密度，初始?jí)毫θCJ爆壓乘以等效系數(shù)0.434 8[11]，初始質(zhì)點(diǎn)速度為零。

圖1 平面爆轟過(guò)程中復(fù)合波區(qū)的形成及相對(duì)位置（+右行，-左行）Fig. 1 Formation and relative positions of complex wave zones in plane detonation(+ showing a going-right wave, - showing a going-left wave)

利用特征波系的運(yùn)動(dòng)分析該爆炸流場(chǎng)，當(dāng)t＞0 時(shí)，階段1：空氣受壓縮形成沖擊波陣面，在內(nèi)部中心稀疏波的作用下爆炸氣體壓力迅速衰減；階段2：原爆炸氣體產(chǎn)物（③區(qū)）全部被稀疏擾動(dòng)，兩相向中心稀疏波相遇并相交作用，形成稀疏波-稀疏波復(fù)合波區(qū)（⑤區(qū)）；階段3：稀疏波波頭完全擾動(dòng)④區(qū)，繼續(xù)向前擾動(dòng)②區(qū)（擾動(dòng)后形成稀疏⑥區(qū)），在到達(dá)與空氣的交界面后，由于爆炸氣體的波阻抗大于空氣的波阻抗，會(huì)在空氣中形成透射稀疏波，并向爆炸氣體中反射一個(gè)壓縮波，該壓縮波又與原稀疏波相交作用，形成稀疏波-壓縮波復(fù)合波區(qū)（⑦區(qū)）。

為分析階段2、階段3 中生成的兩復(fù)合波區(qū)的參數(shù)特性，首先利用特征線(xiàn)法確定流場(chǎng)的初始波動(dòng)特征（階段1）。為便于分析流場(chǎng)中的能量流動(dòng)，計(jì)算中假定高壓氣體和空氣均為無(wú)黏理想氣體，滿(mǎn)足理想氣體狀態(tài)方程和γ 律等熵方程。絕熱指數(shù)γ 不同，整個(gè)流場(chǎng)的參數(shù)分布不同。

對(duì)于TNT 炸藥的pCJ爆壓測(cè)定值一般在19～21 GPa，以pCJ=21 GPa 時(shí)為例，爆熱e為4 187 kJ/kg，則γ=2.34。根據(jù)類(lèi)激波管問(wèn)題的特征線(xiàn)理論，可以得到圖1 中階段1 時(shí)段無(wú)限長(zhǎng)管內(nèi)各區(qū)域的狀態(tài)參量，見(jiàn)表1，且①區(qū)前端的沖擊波陣面速度vs=5 266.14 m/s。當(dāng)左右兩稀疏波在原點(diǎn)相遇時(shí)，階段1 結(jié)束，記此時(shí)刻為T(mén)1，此時(shí)無(wú)限長(zhǎng)管內(nèi)各區(qū)域的狀態(tài)參量分布，如圖2 所示，圖2(a)、(b)、(d)為對(duì)稱(chēng)半流場(chǎng)，圖2(d)中Ed為線(xiàn)能量密度，Ed-int、Ed-kin分別代表內(nèi)能密度、動(dòng)能密度，沿管長(zhǎng)度方向積分可得該時(shí)刻系統(tǒng)的內(nèi)能及動(dòng)能。

表1 階段1 各區(qū)域的狀態(tài)參量Table 1 Characteristic parameters of each region in stage 1

圖2 兩稀疏波在原點(diǎn)相遇時(shí)流場(chǎng)內(nèi)的特征參數(shù)分布Fig. 2 Distribution of characteristic parameters when two rarefaction waves meet at the origin

2 當(dāng)γ=3 與γ≠3 時(shí)復(fù)合波區(qū)相交特性的差異

由特征線(xiàn)理論可知，兩個(gè)相向行波相交滿(mǎn)足黎曼不變特性，即右行波的每一條C+特征線(xiàn)，沿該線(xiàn)的黎曼不變量J+為定值；左行波的每一條C-特征線(xiàn)上，沿該線(xiàn)的黎曼不變量J-為定值。對(duì)于理想氣體，其J±=u±2c/(γ-1)。由此可得任一條C+和C-特征線(xiàn)相交后，交點(diǎn)位置M的u、c參數(shù)滿(mǎn)足：

由于中心稀疏波特有的中心發(fā)散特性，其運(yùn)動(dòng)（④區(qū)）有通解方程。此時(shí)若一條C+或C-特征線(xiàn)穿過(guò)常態(tài)區(qū)與一相向中心稀疏波相遇，其跡線(xiàn)的解析方程為：

式中：xc為中心稀疏波發(fā)散中心，x0為相向特征線(xiàn)出發(fā)點(diǎn)，ccons為常態(tài)區(qū)氣體聲速。

圖3 為圖1 所示流場(chǎng)的x-t平面示意圖，圖中⑤區(qū)就是兩稀疏波特征線(xiàn)的相交區(qū)域，在交匯前各單波系的特征線(xiàn)運(yùn)動(dòng)均是直線(xiàn)。根據(jù)公式（2）可以得出⑤區(qū)邊界線(xiàn)即圖3 中左右波頭特征線(xiàn)C+0和C-0的x-t跡線(xiàn)。當(dāng)γ=3 時(shí)，式（2）變化為一直線(xiàn)形式。當(dāng)γ≠3 時(shí)，該x-t解為一明顯的多項(xiàng)式曲線(xiàn)形式，可以看出當(dāng)γ＞3 時(shí)C+0或C-0的波速是不斷減小的，曲線(xiàn)向內(nèi)凹；γ＜3 時(shí)C+0或C-0的波速是不斷增大的，曲線(xiàn)向外凹。

圖3 兩中心稀疏波相交的x-t 平面Fig. 3 x-t plane of intersection of two central rarefaction waves

而對(duì)于復(fù)合波區(qū)內(nèi)部任意兩條相交特征線(xiàn)的x-t方程，其一般解形式[2]為：

式中：F+、F-分別為與特征線(xiàn)波速u(mài)+c、u-c相關(guān)的系數(shù)。由式（1）可以看出，特征線(xiàn)相交會(huì)影響其運(yùn)動(dòng)波速，在復(fù)合波區(qū)內(nèi)一條特征線(xiàn)會(huì)受N條相向特征線(xiàn)的影響，其x-t跡線(xiàn)變?yōu)樾甭什粩嘧兓那€(xiàn)，所以式(3)很難得到直接的解析解。但由于在γ=3 條件下，dx/dt=u±c=J+(或J-)=常數(shù)，所有特征線(xiàn)均沿直線(xiàn)向前推進(jìn)，所以可以通過(guò)左右行波的初始條件確定F+、F-。

如圖3 中兩中心稀疏波相遇時(shí)，由右行稀疏波t=0 時(shí)，x=-1；左行稀疏波t=0 時(shí)，x=1；可得F+=-1，F(xiàn)-=1?？山獾脧?fù)合波⑤區(qū)任一交點(diǎn)的u、c參數(shù)：

對(duì)于理想氣體而言，該點(diǎn)的壓力、密度均可通過(guò)該氣體聲速得到（其中p3、ρ3、c3為③區(qū)參數(shù)）：

所以在γ=3 時(shí)復(fù)合波⑤區(qū)內(nèi)各處氣體的聲速c、壓力p、密度ρ 都是一個(gè)均布值，與氣體分布位置無(wú)關(guān)，僅隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化，并且隨著t增長(zhǎng)，c、p、ρ 逐漸減小，而氣體的質(zhì)點(diǎn)速度u同時(shí)受位置和時(shí)間的影響?？梢钥闯鲈撎厥饨庑问胶?jiǎn)單，且方程可解析。但當(dāng)γ≠3 時(shí)，復(fù)合波區(qū)內(nèi)的各特征線(xiàn)均為變化曲線(xiàn)，任一交點(diǎn)的u、c參數(shù)無(wú)通解。圖4 顯示了近似利用γ=3 的c值均布特性求解后原圖2 中γ=2.34 時(shí)流場(chǎng)的特性分布變化，其中E為能量，Eint為內(nèi)能，Ekin為動(dòng)能。

圖4 應(yīng)用c 值均布特性后系統(tǒng)流場(chǎng)特性變化Fig. 4 Changes of flow field characteristics after the application of c-value uniform distribution

從圖4（a）可以看出，復(fù)合波⑤區(qū)內(nèi)除氣體質(zhì)點(diǎn)速度外，內(nèi)部的其他參數(shù)都是均布狀態(tài)。圖4（b）計(jì)算了兩稀疏波從初始T0、相遇T1到④區(qū)完全被擾動(dòng)為復(fù)合波區(qū)的T2時(shí)刻過(guò)程中各區(qū)域的能量變化，可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)內(nèi)的總能量在復(fù)合波⑤區(qū)形成后逐漸減少，到T2時(shí)刻總能量已減少了37.53%。這說(shuō)明，當(dāng)γ≠3 時(shí)其復(fù)合波區(qū)的特性應(yīng)與γ=3 時(shí)有較大差異。

從波系相交特性的角度分析，如圖5 所示，當(dāng)γ≠3 時(shí)選取3 條右行C+特征線(xiàn)與左行中心稀疏波相交，C+0線(xiàn)按已有解析方程式（2）畫(huà)出。由于圖1 中③區(qū)為常態(tài)區(qū)，根據(jù)特征線(xiàn)理論，該左行波C-族線(xiàn)的右向黎曼不變量J+與C+0線(xiàn)的J+0相同，所以在C+0線(xiàn)通過(guò)后，各C-線(xiàn)的u、c不變，仍按原斜率u-c運(yùn)動(dòng)，此時(shí)左行波仍保持中心發(fā)散特性。逐一相交迭代計(jì)算。同理可推，當(dāng)γ≠3 時(shí)在圖3 中相向運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)中心稀疏波相交后，C+族線(xiàn)和C-族線(xiàn)都不再具有中心特性，變?yōu)榉侵行南∈璨?，即其波系發(fā)散特性發(fā)生了改變，因此難以確定其各特征線(xiàn)相交的具體位置。

圖5 中心稀疏波的發(fā)散特性Fig. 5 Divergence characteristics of central rarefaction waves

由上可知在x-t平面上無(wú)法直接對(duì)比其特性差異，改從能量角度分析，理想氣體的內(nèi)能與壓力p相關(guān)，動(dòng)能與密度ρ、質(zhì)點(diǎn)速度u相關(guān)，結(jié)合式（5）可知，該系統(tǒng)的能量特性主要受u、c變化的影響，所以為分析其特性差異，可以從復(fù)合波區(qū)的u-c特征進(jìn)行切入。

3 當(dāng)γ=3 時(shí)復(fù)合波區(qū)的u-c 平面特性

由特征線(xiàn)理論可知，對(duì)于每一個(gè)不變量J+/J-， 在u-c平面上必有一條曲線(xiàn) Γ+/Γ-與之對(duì)應(yīng)，且曲線(xiàn)Γ+和 Γ-的交點(diǎn)處的(u,c)值與C+和C-特征線(xiàn)相應(yīng)交點(diǎn)的（x,t）值具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于理想氣體的等熵特性，u-c平面上的 Γ+/Γ-曲線(xiàn)均為直線(xiàn)。

（1）復(fù)合波⑤區(qū)的u-c平面特性

圖6 為兩同等強(qiáng)度中心稀疏波相交的x-t平面和u-c平面。假定tk時(shí)刻，x-t平面上左行波波頭C-0與C+k線(xiàn)相交(A點(diǎn))，由對(duì)稱(chēng)可知，此時(shí)右行波波頭C+0與C-k線(xiàn)相交(B點(diǎn))，線(xiàn)AB為復(fù)合波區(qū)的長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)到u-c平面，可以找到相應(yīng)的復(fù)合波區(qū)邊界點(diǎn)A、B，當(dāng)γ=3 時(shí)，x-t平面上特征線(xiàn)為直線(xiàn)，復(fù)合波區(qū)中點(diǎn)位置為P點(diǎn)，u=0。根據(jù)式（4）已知c與分布位置無(wú)關(guān)，為均值，因此在u-c平面，AB之間的路徑為直線(xiàn)A-P-B。

圖6 兩同等強(qiáng)度稀疏波相交的平面特性Fig. 6 Plane characteristics of the intersection of two rarefaction waves with equal intensity

（2）復(fù)合波⑦區(qū)的u-c平面特性

圖1 中復(fù)合波⑦區(qū)的類(lèi)型是稀疏波和壓縮波的相互作用。為分析⑦區(qū)的特性，首先了解兩同等強(qiáng)度的壓縮波相遇的復(fù)合波特性。在圖7（a）中分別在長(zhǎng)管內(nèi)-x0、x0處設(shè)置活塞，管內(nèi)氣體靜止，初始聲速c0。利用活塞相向勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a，壓縮管內(nèi)氣體，生成兩相向等強(qiáng)度壓縮波。兩壓縮波運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)（x=0）處相遇，形成壓縮波-壓縮波的復(fù)合波區(qū)。

從式（11）可以看出cM/cB≠1 ，因此在該壓縮波復(fù)合波區(qū)的u-c平面上AB路徑并不是一條直線(xiàn)。將a、c0、tk賦值后發(fā)現(xiàn)， (t-M+t+M) 在中心P點(diǎn)最大，在兩端A、B處最小，因此cP＞cB。由于在u-c平面上壓縮波和稀疏波波頭波尾走向相反，因此該波區(qū)的u-c平面如圖7（b）所示，其AB路徑為曲線(xiàn)A-P-B。

圖7 兩同等強(qiáng)度壓縮波相交的平面特性Fig. 7 Plane characteristics of the intersection of two compression waves with equal intensity

將該分析方法延伸至圖1 復(fù)合波⑦區(qū)的類(lèi)型分析中，在長(zhǎng)管內(nèi)利用圖8（a）中活塞向左勻加速運(yùn)動(dòng)生成不同強(qiáng)度（ -a1～-a5）的壓縮波與迎面稀疏波相交，兩相向波在x-t平面上的初始位置分別為( -x0,0)、（x0,0）。當(dāng)γ=3 時(shí)結(jié)合式（4）和式（6）的分析，可以得到圖8 波區(qū)交點(diǎn)的F+、F-解為：

將F-i展開(kāi)，由此推出該波區(qū)任意時(shí)刻的聲速解c：

由式（13）可以看出，在指定a和時(shí)刻t后，該波區(qū)范圍內(nèi)c僅與各壓縮線(xiàn)的初始形成時(shí)間t-i有關(guān)，因此t時(shí)刻由壓縮波波頭到壓縮波波尾c逐漸增大。但對(duì)于單條壓縮線(xiàn)來(lái)講，在復(fù)合波區(qū)內(nèi)其c值隨t的增長(zhǎng)逐漸減小，這就是稀疏波對(duì)壓縮波稀疏效應(yīng)的體現(xiàn)。

對(duì)于該路徑上u的特性，根據(jù)稀疏波方程x=(u+c)t+F+可得：

由于在t時(shí)刻，(x+x0)/t項(xiàng)隨x增大而增大，-c值會(huì)隨x增大而減小，而c值變化速率主要受a的影響，因此該路徑上u的特性也主要受活塞加速度a的影響，即受壓縮波強(qiáng)度的影響。假定tk時(shí)刻，該復(fù)合波區(qū)邊界交點(diǎn)為A、B，改變活塞初始加速度（a1～a5），以式（13）～（14）對(duì)應(yīng)計(jì)算圖8（b）u-c平面上的AB路徑。計(jì)算得出，當(dāng)a較?。╝1～a3）時(shí)，-c項(xiàng)的影響較小，AB路徑上u基本呈單調(diào)遞增的狀態(tài)，但當(dāng)a繼續(xù)增大（a4～a5）時(shí)，-c項(xiàng)的影響開(kāi)始增大，AB路徑上u開(kāi)始有明顯的先減小后增大的趨勢(shì)，若繼續(xù)增大a，可預(yù)見(jiàn)遞減會(huì)成為主要趨勢(shì)。

圖8 不同強(qiáng)度壓縮波和稀疏波相交的平面特性Fig. 8 Plane characteristics of the intersection of a compression wave and a rarefaction wave with different intensities

綜上分析可以看出，當(dāng)γ=3 時(shí)各類(lèi)復(fù)合波區(qū)的c值均只跟時(shí)間有關(guān)，但在不同類(lèi)型復(fù)合波區(qū)中分布形式不同，而u值與x和t均相關(guān)，在同類(lèi)型波相交的復(fù)合波區(qū)內(nèi)是單調(diào)遞增的，若相交波為等強(qiáng)度波，對(duì)稱(chēng)面u=0。在不同類(lèi)型波相交中u值特性與參與波的強(qiáng)度直接相關(guān)。u、c特性的組合就是復(fù)合波區(qū)的主要特性。

4 當(dāng)γ≠3 時(shí)復(fù)合波區(qū)的u-c 平面特性

雖然γ≠3 時(shí)依據(jù)式（3）流場(chǎng)難以求解，但對(duì)于具有對(duì)稱(chēng)特性的復(fù)合波⑤區(qū)，仍可近似借鑒γ=3 時(shí)的直線(xiàn)特性，假定其特征線(xiàn)也是沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，同樣得到式（4）的c值均布特性（當(dāng)然此假定過(guò)程并不等熵），然后放在原γ≠3 的x-t和u-c平面上進(jìn)行對(duì)比和特征規(guī)律分析，如圖9 所示。

圖9 γ≠3 時(shí)兩同等強(qiáng)度稀疏波相交的平面特性示意圖Fig. 9 Plane characteristics of intersection of two rarefaction waves with equal intensity at γ≠3

在圖9 中假定tk時(shí)刻，A0-P0-B0為假定特征線(xiàn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的c值均布直線(xiàn)。而其實(shí)際情況由式（2）及圖3 可知，當(dāng)γ≠3 時(shí)，x-t平面上復(fù)合波區(qū)內(nèi)的特征線(xiàn)均為曲線(xiàn)，此時(shí)需分兩種情況：

（1）當(dāng)γ＞3 時(shí)，波頭C+0/C-0跡線(xiàn)的波速是不斷減小的，所以波頭C+0/C-0會(huì)比直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)更晚與C-k/C+k線(xiàn)相交（tk1＞tk），x-t平面上線(xiàn)A1B1為復(fù)合波區(qū)的長(zhǎng)度，中點(diǎn)位置為P1點(diǎn)，u=0。但在u-c平面上復(fù)合波區(qū)邊界點(diǎn)仍為A0、B0兩點(diǎn)，而P1點(diǎn)在x-t平面上高于P0點(diǎn)，也就是在u-c平面上其相交特征線(xiàn)的編號(hào)高于P0點(diǎn)，因此當(dāng)γ＞3 時(shí)，在u-c平面上A1B1之間的路徑為曲線(xiàn)A0-P1-B0，即此時(shí)復(fù)合波⑤區(qū)的特性參數(shù)變化規(guī)律為：c（或p、ρ）在復(fù)合波區(qū)中心處最小，向著復(fù)合波區(qū)邊界逐漸增大。u為矢量，在對(duì)稱(chēng)中心處均為0，數(shù)值上向著復(fù)合波區(qū)邊界逐漸增大。

（2）當(dāng)γ＜3 時(shí)，波頭C+0/C-0跡線(xiàn)的波速是不斷增大的，所以波頭C+0/C-0會(huì)比直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)更早與C-k/C+k線(xiàn)相交（tk2＜tk），x-t平面上線(xiàn)A2B2為復(fù)合波區(qū)的長(zhǎng)度，中點(diǎn)位置為P2點(diǎn)，u=0。但在u-c平面上復(fù)合波區(qū)邊界點(diǎn)仍為A0、B0兩點(diǎn)，而P2點(diǎn)在x-t平面上低于P0點(diǎn)，也就是在u-c平面上其相交特征線(xiàn)的編號(hào)低于P0點(diǎn)，因此當(dāng)γ＜3 時(shí)，在u-c平面上A2B2之間的路徑為曲線(xiàn)A0-P2-B0，即此時(shí)復(fù)合波⑤區(qū)的特性參數(shù)變化規(guī)律為：c（或p、ρ）在復(fù)合波區(qū)中心處最大，向著復(fù)合波區(qū)邊界逐漸減小。u為矢量，在對(duì)稱(chēng)中心處均為0，數(shù)值上向著復(fù)合波區(qū)邊界逐漸增大。

從上述分析可以看出，當(dāng)γ＞3 和γ＜3 時(shí)復(fù)合波⑤區(qū)的u-c路徑特性是相反的。

為驗(yàn)證上述結(jié)論，也為得到非對(duì)稱(chēng)復(fù)合波⑦區(qū)在γ≠3 時(shí)的u-c平面特性，本文利用MATLAB 基于特征線(xiàn)法對(duì)圖1 所示的爆轟流場(chǎng)進(jìn)行模擬，首先假定左右中心稀疏波④區(qū)各有N條特征線(xiàn)從中心發(fā)出，并在每個(gè)區(qū)域預(yù)先設(shè)置特征空矩陣，以便于下一區(qū)域直接調(diào)用上一區(qū)域的邊界作為初始條件。為保證計(jì)算精度，計(jì)算中采用盡可能多的特征線(xiàn)充滿(mǎn)流場(chǎng)，取N=10 000。

圖1 中階段3 有2 種不同的復(fù)合波形式，對(duì)于稀疏波相交的復(fù)合波⑤區(qū)，以公式（1）為迭代準(zhǔn)則，假定在每個(gè)迭代胞格內(nèi)特征線(xiàn)為直線(xiàn)，計(jì)算胞格各交點(diǎn)的（x,t）及（u,c），再推進(jìn)到下一個(gè)胞格，如圖10(a)所示；對(duì)于在介質(zhì)分界面處的復(fù)合波⑦區(qū)，其入射波、反射波和透射波的關(guān)系[12]按下式計(jì)算：

圖10 對(duì)復(fù)合波區(qū)的迭代思路Fig. 10 The iterative method for the complex wave zone

為充分討論γ≠3 的各種情況，本文中通過(guò)調(diào)節(jié)初始爆熱，得到7 組不同γ 值：3.5、3.2、2.7、2.34、2.0、1.7、1.4。由于該流場(chǎng)程序具有通用性，因此增加γ=3 工況作為對(duì)比。為驗(yàn)證該流場(chǎng)程序的合理性，以γ=2.34 時(shí)為例，MATLAB 計(jì)算生成的特征線(xiàn)流場(chǎng)如圖11 所示。每個(gè)特征線(xiàn)上節(jié)點(diǎn)位置處都包含了6 個(gè)特征參數(shù)：壓力、密度、質(zhì)點(diǎn)速度、氣體聲速、內(nèi)能密度、動(dòng)能密度。選定時(shí)刻，即可確定該時(shí)刻內(nèi)流場(chǎng)各處的參數(shù)分布。計(jì)算過(guò)程在Tn=5.93 ms 時(shí)刻報(bào)錯(cuò)，顯示⑦區(qū)N7=173 與N7=172 反射壓縮特征線(xiàn)在26.569 5 m處相交。

圖11 MATLAB 計(jì)算生成的特征線(xiàn)流場(chǎng)Fig. 11 Characteristic line flow field generated by MATLAB calculation

首先選定3 個(gè)特征時(shí)刻進(jìn)行流場(chǎng)對(duì)比：T2時(shí)刻（右行稀疏波波頭剛穿出復(fù)合波⑤區(qū)）、T3時(shí)刻（右行稀疏波波頭剛穿出②區(qū)，即到達(dá)介質(zhì)分界面）、Tn時(shí)刻（計(jì)算結(jié)束時(shí)刻）。流場(chǎng)參數(shù)分布如圖12 所示，由于特征線(xiàn)流場(chǎng)左右對(duì)稱(chēng)，只顯示右半流場(chǎng)。

由圖12（d）各區(qū)域隨時(shí)間的能量變化曲線(xiàn)可以看出，Tn時(shí)刻之前流場(chǎng)的總能量保持守恒狀態(tài)，說(shuō)明該MATLAB 迭代流場(chǎng)是合理可行的，若忽略Tn時(shí)刻報(bào)錯(cuò)繼續(xù)計(jì)算，流場(chǎng)總能量開(kāi)始增大。

圖12 T2、T3、Tn 時(shí)刻的流場(chǎng)參數(shù)分布Fig. 12 Distribution of flow field parameters at times T2, T3 and Tn

（1）復(fù)合波⑤區(qū)的u-c平面特性

從圖11 的x-t平面可以看出，中心稀疏波相交作用的復(fù)合波⑤區(qū)在T1時(shí)刻開(kāi)始形成。圖13（a）為該區(qū)與圖11（x,t）交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的u-c平面，從圖中不同時(shí)刻的u-c路徑及圖12（a）～（c）中不同時(shí)刻⑤區(qū)內(nèi)p、ρ、c的分布規(guī)律，可以看出在該波區(qū)內(nèi)c（或p、ρ）均在波區(qū)中點(diǎn)處最大，向著兩側(cè)波區(qū)邊界逐漸減小。這與上述γ＜3 時(shí)復(fù)合波⑤區(qū)的u-c特性分析是一致的。圖13（b）為γ 不同時(shí)各流場(chǎng)中復(fù)合波⑤區(qū)在各自T2時(shí)刻的u-c路徑，從對(duì)比中可以看出：不同流場(chǎng)的u值特性是一致的，均是沿著波區(qū)長(zhǎng)度方向逐漸增大；而其c值特性則隨著γ 增大，其沿波區(qū)的路徑逐漸由上凸曲線(xiàn)（γ＜3，中心c值最大）-直線(xiàn)（γ=3，c值均布）-下凹曲線(xiàn)（γ＞3，中心c值最?。┳兓译xγ=3 值越遠(yuǎn)時(shí)，曲線(xiàn)特征更明顯。當(dāng)γ 值越接近3 時(shí)，其曲線(xiàn)路徑越接近直線(xiàn)特性。

圖13 爆轟流場(chǎng)中復(fù)合波⑤區(qū)的u-c 特性Fig. 13 u-c characteristics of complex wave zone ⑤ in the post-detonation flow field

由于在爆轟流場(chǎng)中，復(fù)合波⑤區(qū)范圍最廣，且前期衰減速率及衰減跨度大，如對(duì)比γ=2.34 時(shí)流場(chǎng)中圖2 和圖12，波區(qū)中點(diǎn)p值從T1時(shí)刻9 130.8 MPa 快速衰減到了T2時(shí)刻的44.07 MPa，該時(shí)段內(nèi)中心ρ 值從1 630 kg/m3衰減到了166.8 kg/m3，因此該c值特性不同影響的p、ρ 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)能、動(dòng)能均產(chǎn)生了較大影響。

（2）復(fù)合波⑦區(qū)的u-c平面特性

對(duì)于在T3時(shí)刻開(kāi)始形成的復(fù)合波⑦區(qū)，通過(guò)圖11 中Tn時(shí)刻壓縮波特征線(xiàn)交點(diǎn)的位置可以看出，相交位置位于靠近介質(zhì)分界面，也就是靠近反射壓縮波波尾處。若將介質(zhì)分界面DL看成一個(gè)可透射的活塞，若活塞向左做均勻加速、且波前靜止的情況，間斷出現(xiàn)的位置一般在波頭上，而該⑦區(qū)流場(chǎng)中間斷率先發(fā)生在了波尾處，說(shuō)明后生成的反射壓縮線(xiàn)追趕速率不斷增大，也就是可透射的活塞DL向左加速度是不斷增大的，間斷將由波后向波前推進(jìn)。在其他7 組不同γ 的流場(chǎng)中均出現(xiàn)了類(lèi)似的間斷位置，而且隨著γ 增大間斷位置出現(xiàn)的越早。因此可以得出，該平面爆轟過(guò)程中的復(fù)合波⑦區(qū)是由右行稀疏波（其中γ≠3 時(shí)為非中心稀疏波，γ=3 時(shí)為中心稀疏波）和左行變加速反射壓縮波相交形成的。

圖14（a）為γ=2.34 時(shí)該波區(qū)與圖11（x,t）交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的u-c平面，從c值特性看，在不同時(shí)刻該波區(qū)范圍內(nèi)c值均是沿壓縮波波頭向波尾（介質(zhì)分界面）逐漸增大的，這與γ=3 時(shí)的規(guī)律特性是一致的。從u值特性看，在T7時(shí)刻前u值沿著波區(qū)主要呈遞增的趨勢(shì)，但隨著時(shí)間增長(zhǎng)，u的增幅越來(lái)越小，且結(jié)合圖12（c）中⑦區(qū)的u-x曲線(xiàn)，可以看出在Tn時(shí)刻該波區(qū)的u值出現(xiàn)了先減小后增大的變化趨勢(shì)，由此也可以看出該反射壓縮波的強(qiáng)度隨生成時(shí)間是不斷增大的。不過(guò)從整體上該波區(qū)內(nèi)各位置的u、c還是隨時(shí)間不斷衰減的。

圖14（b）為γ 不同時(shí)各流場(chǎng)中復(fù)合波⑦區(qū)在各自Tn時(shí)刻的u-c路徑，從對(duì)比中可以看出：不同流場(chǎng)的c值特性是一致的，均是沿著波區(qū)長(zhǎng)度方向逐漸增大，而其u值特性隨γ 增大逐漸由單調(diào)遞增變化為先減小后增大，該先減小的特性也間接表現(xiàn)了右行稀疏波的強(qiáng)度，說(shuō)明隨γ 增大，流場(chǎng)生成的稀疏波強(qiáng)度越大。

圖14 爆轟流場(chǎng)中復(fù)合波⑦區(qū)的u-c 特性Fig. 14 u-c characteristics of complex wave zone ⑦ in the post-detonation flow field

可以看出，在該平面爆轟過(guò)程中不同區(qū)域都有其特定的衰減特性，根據(jù)其特性可以快速了解整個(gè)流場(chǎng)的參數(shù)分布情況，如復(fù)合波⑤區(qū)的邊界點(diǎn)是流場(chǎng)壓力最低的位置。同時(shí)若將圖11 模型繼續(xù)計(jì)算，在Tn時(shí)刻之后約1 ms 的時(shí)間，⑧區(qū)的右行透射稀疏波將與沖擊波波陣面交匯，還會(huì)形成稀疏波和沖擊波的復(fù)合陣面，此時(shí)空氣超壓和沖擊波速開(kāi)始被衰減。

5 結(jié) 論

綜上分析，u、c平面特性的差異就是絕熱指數(shù)γ 不同時(shí)復(fù)合波區(qū)衰減特性不同的主要體現(xiàn)。

（1）當(dāng)γ≠3 時(shí)，中心稀疏波在受任一相向運(yùn)動(dòng)的特征線(xiàn)（其黎曼不變量與該中心稀疏波不同）影響后，不再具有中心特性；

（2）對(duì)于等強(qiáng)度中心稀疏波相交的復(fù)合波⑤區(qū)，主要表現(xiàn)在c值特性不同：當(dāng)γ=3 時(shí)，c（或p、ρ）在復(fù)合波區(qū)內(nèi)為均布值，僅與時(shí)間相關(guān)；當(dāng)γ＞3 時(shí)，c（或p、ρ）在復(fù)合波區(qū)中心處最小，向著復(fù)合波區(qū)邊界逐漸增大；當(dāng)γ＜3 時(shí)，c（或p、ρ）在復(fù)合波區(qū)中心處最大，向著復(fù)合波區(qū)邊界逐漸減??；

（3）對(duì)于稀疏波與壓縮波相交的復(fù)合波⑦區(qū)，主要表現(xiàn)在u值特性不同：沿波區(qū)長(zhǎng)度方向u值特性隨γ 增大逐漸由單調(diào)遞增變化為先減小后增大。該u值特性受增長(zhǎng)項(xiàng)和衰減項(xiàng)的共同影響，與相交波強(qiáng)度相關(guān)。

(責(zé)任編輯 張凌云)