吳楠, 郭慶, 仝國軍, 劉永壽

(西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院, 陜西 西安 710072)

管道作為氣液輸運與儲存的重要載體，在航空航天、能源、生物等領域得到了廣泛應用。在設計、制造、組裝、服役等全壽命周期內(nèi)，管道結構參數(shù)的不確定性大量存在，進而導致管道固有頻率的不確定性。此外，輸流管道蘊含豐富的流固耦合作用，會進一步加劇管道固有頻率的不確定性。而當固有頻率與激振力頻率接近到一定程度會引發(fā)共振失效問題。因此，對輸流管道開展防共振可靠性和重要性測度分析是很必要的。

國內(nèi)外關于工程結構面臨的防共振失效問題開展了大量的研究。Zhai等[1]采用精細響應面法對輸流管道開展了共振和動力可靠性分析，并根據(jù)結果對輸流管道結構參數(shù)進行了優(yōu)化。Guo等[2]對多跨功能梯度輸流管道進行了共振可靠性和全局靈敏度分析，并引入了主動學習Kriging模型提高計算效率。張屹尚等[3]采用Kriging模型分析了充液管道非概率共振可靠性問題。韓濤等[4]采用直曲組集方法針對復雜液壓管路實現(xiàn)了高效建模與模態(tài)分析，分析了管道布局對固有頻率的影響。Ritto等[5]建立了一種考慮建模誤差的流固耦合概率模型，并將其應用于輸流管道振動分析，通過隨機特征值分析得到了相關顫振現(xiàn)象。

為研究隨機變量對系統(tǒng)共振失效概率的影響程度，開展變量重要性測度分析是必要的。由于輸流管道涉及到多階共振失效，即需要考慮多輸出響應，需對多輸出響應整體進行變量重要性測度分析。徐立揚等[6]提出了基于譜分解加權摩爾彭羅斯馬氏距離的多輸出響應重要性測度方法。石巖等[7]采用包絡函數(shù)法將時空動態(tài)可靠性問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，實現(xiàn)了可靠性及重要性測度的高效分析。任超和李洪雙[8]采用交叉熵方法提出了一種基于失效概率的全局重要性測度分析方法。Wei等[9]提出了一對模式重要性測度指標，可有效分析各失效模式對系統(tǒng)失效概率和可靠度的影響程度。

本文將動剛度法與ALK方法相結合，采用前者進行溫度場下多跨輸流管道固有頻率的計算，再采用ALK方法計算不確定性參數(shù)影響下的多階共振失效概率，并分別計算不同流速、壓強和溫度效應下共振失效概率的大小，分析不同工況對管道共振失效概率的影響規(guī)律，為輸流管道的防共振設計提供參考。

1 輸流管道模態(tài)求解

嵌入溫度變化矩陣的多跨輸流管道模型如圖1所示。 管道長度為L1+L2,U表示流速,Ri和Ro分別代表管道內(nèi)徑和外徑。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論,內(nèi)嵌溫度變化矩陣的多跨管道的振動控制方程為[10]

圖1 嵌入溫度變化矩陣多跨輸流管道模型

(1)

式中：w是管道的橫向位移；mp是單位長度管道質(zhì)量；Nx是管道軸向力;t是時間。

(2)

式中：Q,M和KW分別是剪切力,彎矩和溫度變化剛度；(EI)是彎曲剛度；KW0是初始溫度變化剛度；a是溫度變化系數(shù)；ΔT表示溫度變化值。

Fw由離心力,科氏力和慣性力組成,即

(3)

式中,Mf是管道中單位長度流體的質(zhì)量。

式中：Nm是由內(nèi)部流體壓強造成的附加軸向力；NT是由溫度變化導致的軸向力；p和Af分別是流體壓強和流體截面積。

將方程(2)～(6)代入方程(1),振動控制方程可重寫為

(7)

采用動剛度法[11]求解管道固有頻率。假設運動微分方程的通解為

w(x,t)=W(x)eiωt

(8)

式中：W(x)表示橫向位移在頻域內(nèi)的設解；ω表示固有圓頻率；i為虛數(shù)單位。

將通解代入方程(7),得到頻域內(nèi)的振動方程

(9)

進一步地將位移在頻域內(nèi)的解設為

W(x)=ceikx

(10)

式中：c表示待定常數(shù)；k表示波數(shù)。

將方程(10)代入散射方程(9)得到

(11)

式中,α表示結構內(nèi)阻損耗因子。

根據(jù)以上方程,可知波數(shù)k有4個解,則位移在頻域內(nèi)的解可以設為

(12)

管道的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力在頻域內(nèi)的解為

多跨管道的第m跨單元節(jié)點位移如圖2所示。

節(jié)點位移和節(jié)點自由度的關系為[12]

式中：lm表示第m跨管道單元的長度；下標l和r分別表示單元的左端和右端。

為了得到第m跨單元的動剛度矩陣,單元的節(jié)點位移在局部坐標系里為

(18)

式中,λj=ikj(j=1,2,3,4)。

將(18)式寫成矩陣向量形式為

Wm=Ym(ω)wm

(19)

式中,Wm,Ym和wm分別表示位移向量、系數(shù)矩陣和系數(shù)向量。

那么,第m跨單元的節(jié)點力向量為

(20)

相應地,(20)式的矩陣向量形式為

Fm=Πm(ω)wm

(21)

式中：Πm(ω)表示系數(shù)矩陣；Fm表示節(jié)點力矩陣。

則第m跨單元的節(jié)點力向量和節(jié)點位移向量間的關系為

Fm=Km(ω)wm

(22)

式中：Km表示第m跨單元的動剛度矩陣,

Km(ω)=Πm(ω)Ym(ω)-1。

根據(jù)以上方法可以建立其他各跨的動剛度矩陣,進而參考有限元法進行單元動剛度矩陣組裝,構建多跨輸流管道在全局坐標系下的節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關系為

Kg(ω)Wg=Fg

(23)

式中，Kg,Wg和Fg分別表示全局坐標系下的動剛度矩陣、位移向量和節(jié)點力向量。

方程(23)取得非零解的充要條件為系數(shù)矩陣行列式為零,即

h(ω)=det[Kcg]=0

(24)

通過(24)式可以求出多跨輸流管道的固有頻率。

2 共振可靠性與重要性分析

假設結構固有頻率為R,激振力頻率為S,一般認為當固有頻率和激振力頻率接近到一定程度時,結構會因共振而造成破壞。首先考慮一階共振失效的情況,用Z1來表示固有頻率和激振力頻率的接近程度,則Z1的表達式為

(25)

式中：R1表示一階固有頻率；X表示隨機輸入變量；X={x1,x2,…,xn}(n為變量維數(shù))。

假設發(fā)生共振失效的閾值為q,那么一階共振可靠性的功能函數(shù)g1(X)為

g1(X)=Z1(X)-q

(26)

進一步考慮激振力頻率的寬頻特性,可能導致多階固有頻率發(fā)生共振,將g1進行推廣。假設第jj階共振可靠性的功能函數(shù)gjj(X)為

gjj(X)=Zjj(X)-q

(27)

易知,任意一階固有頻率發(fā)生共振失效均代表結構整體失效,即gjj之間是邏輯“或”的關系,因此建立多階共振失效下的系統(tǒng)功能函數(shù)g(X)為

(28)

共振失效概率Pf為

(29)

基于可靠性的變量重要性分析(variable importance analysis,VIA)方法旨在量化隨機輸入變量的不確定性對失效概率的貢獻,對于單一失效模式的結構構件,該方法得到了廣泛研究。本文將這些指標推廣到具有多種失效模式的結構體系。基于文獻[13],可以將Sobol指數(shù)衍生出的2個VIA指標,即單個輸入變量xv的主效應指標和總效應指標分別定義為

(30)

(31)

式中：x～v指包含所有除了xv的輸入變量的向量；var(·)和E(·)是方差和期望的數(shù)學運算符號。和Sobol的指標相似,以可靠性為基礎的VIA指標滿足0≤Sv≤STv≤1。

3 求解策略

3.1 主動學習Kriging模型

Kriging模型由兩部分組成,前半部分為全局近似,后半部分為局部偏差[14],具體形式如下所示

G(x)=F(x,β)+z(x)=f(x)β+z(x)

(32)

式中：G(x)表示待擬合的目標響應函數(shù)；f(x)表示變量x的多項式；β表示f(x)的系數(shù)；z(x)表示待擬合函數(shù)的隨機分布部分。

(33)

(34)

式中：1是n維單位列向量；g是n維列向量,含有每個設計點的目標響應值；rT(x)是n維列向量；R表示觀測點x與樣本點{x(1),x(2),…,x(n)}間的相關性。

相關參數(shù)θ的值通過最大似然估計求解得到,那么當相關函數(shù)是高斯相關函數(shù)時,則可轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問題

(35)

ALK模型建立都在Matlab中的DACE工具箱中完成,相關參數(shù)θk的優(yōu)化可以通過全局優(yōu)化策略的DIRECT優(yōu)化算法[15]得到。

目前較為常用的學習方程為

(36)

該U型函數(shù)由Echard等人[16]于2011年在AK-MCS方法中提出。

3.2 ALK方法的基本步驟

1) 在不確定性域中隨機抽取XΓ=(x1,Γ,x2,Γ,…,xn,Γ)(Γ=1,2,…,N)個初始樣本點,計算功能函數(shù)值,構建初始Kriging模型,此處N=20。

2) 隨機產(chǎn)生大量候選樣本點,為U型學習方程選點做準備,為使候選樣本點充滿不確定性域,取候選點數(shù)量為105。

3) 在候選點中計算Kriging模型的預測值μG(X)和U值,將U值最小的點記為X*。

4) 若U函數(shù)最小值滿足收斂條件的閾值,則轉(zhuǎn)入第6)步,本文U函數(shù)閾值大小為2。

5) 若4)中的收斂條件無法滿足,將X*加入DoE中,計算X*處的功能函數(shù)值并更新Kriging模型,返回到第3)步。

6) 基于已建立的Kriging模型,代入Monte-Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算例分析

管長L1+L2=15 m,外徑Ro,壁厚d,管道密度ρp,彈性模量E,流體密度ρf,泊松比v=0.3,K0=1×106N/m,a=5 000 N/(m×K)。外界激振力頻率為S1,S2和S3。隨機變量及其分布信息如表1所示。本文中的共振失效閾值為q=0.05。

表1 輸入變量統(tǒng)計信息

4.1 液體流速的影響

當壓強和溫度均為0時,隨著流速增大,前六階固有頻率如表2所示。可以明顯看出,隨著流速的增大,各階固有頻率均逐漸降低,且第一階固有頻率降低最快,該結果與參考文獻[2]中的結論及理論解釋吻合。該現(xiàn)象是由于流速的增長導致了管道剛度降低,進而導致固有頻率降低。

表2 不同液體流速下輸流管道前六階固有頻率

本文考慮外激勵頻率為130,330和530 Hz,考慮外激勵的不確定性及輸流管道固有頻率的不確定性,管道可能在第二、四、六階發(fā)生共振失效。因此,本文考慮三階共振問題,其功能函數(shù)為

(37)

且該系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng),系統(tǒng)功能函數(shù)為

g=min(g1,g2,g3)

(38)

本文采用Monte-Carlo(MC)方法計算得到的結果作為精確解,以此驗證ALK方法的計算精度和效率。不同流速條件下共振失效概率和函數(shù)調(diào)用次數(shù)如表3所示。

表3 不同液體流速下的失效概率

ALK方法的函數(shù)調(diào)用次數(shù)結果中，第一項為初始樣本量，第二項為通過主動學習增加的樣本量?？梢园l(fā)現(xiàn),隨著流速的增加,共振失效概率逐漸減小。這是因為隨著流速增加,各階固有頻率均在下降,即在遠離激振力頻率,所以共振失效可能性降低。此外,對比MC和ALK 2種方法的結果可以發(fā)現(xiàn),ALK方法得到的失效概率誤差很小,但功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)極大地降低。MC法需要調(diào)用3×106次功能函數(shù),而ALK僅需要調(diào)用二百多次,計算效率極大提高。

當U=10 m/s時,采用ALK法計算得到的VIA指標如圖3所示。可以發(fā)現(xiàn),SRo和SE明顯大于其他變量的主指標,說明Ro和E對系統(tǒng)共振失效概率的影響程度最大,而其他變量的主指標趨近于零,因此在管道防共振設計中可忽略其他變量的不確定性,降低問題的維度,減小計算負擔。此外,各變量的總指標的主要排序為Ro>E>ρp,總指標排序的前兩位與主指標排序的前兩位相同,說明Ro和E對系統(tǒng)共振失效概率的影響最大。同時所有變量的總指標值明顯大于主指標值,說明變量間的相互作用對系統(tǒng)共振失效概率有顯著影響。

圖3 流速為10 m/s時的變量重要性測度指標

4.2 液體壓強的影響

當U=0 m/s,ΔT=0 K時,考慮壓強的3種不同工況,即:①p=0 MPa;②p=14 MPa;③p=28 MPa。隨壓強增大,輸流管道前六階固有頻率如表4所示?？梢园l(fā)現(xiàn),管道各階固有頻率均隨壓強增大而降低,且下降趨勢十分明顯,根據(jù)振動控制方程可知,壓強p和流速U對管道影響的作用類似。

表4 不同液體壓強下輸流管道前六階固有頻率

3種壓強工況下的共振失效概率如表5所示。由結果可知,隨著壓強的增大,系統(tǒng)共振失效概率不斷減小,其原因是壓強的增大導致了固有頻率的降低,使得固有頻率逐漸遠離激振力頻率,共振失效可能性隨之降低。ALK法在保證計算精度的同時,計算效率明顯優(yōu)于MC法。

表5 不同液體壓強下的失效概率

當p=14 MPa時,采用ALK法計算得到的VIA指標如圖4所示。可以發(fā)現(xiàn),Ro和E的主指標和總指標均排在第一和第二位,其中主指標明顯大于其他變量的主指標,說明Ro和E對系統(tǒng)共振失效概率的影響程度最大,而其他變量的主指標趨近于零,因此在管道防共振設計中可忽略其他變量的不確定性。此外,各變量的總指標的主要排序為Ro>E>ρp>ρf,所有變量的總指標值明顯大于主指標值,其規(guī)律與U=10 m/s時基本相同,進一步說明了流速U和液壓p相比其他隨機變量,對共振失效的影響程度較小。

圖4 壓強為14 MPa時的變量重要性測度指標

4.3 溫度效應的影響

當U=0 m/s,p=0 MPa時,考慮溫度效應的3種不同工況,即:①ΔT=0 K;②ΔT=10 K;③ΔT=20 K。隨溫度變化值增大,輸流管道前六階固有頻率如表6所示?？梢园l(fā)現(xiàn),管道各階固有頻率均隨溫度變化值增大而降低,且下降趨勢較為明顯。

表6 不同溫度效應下輸流管道前六階固有頻率

3種溫度效應工況下的共振失效概率如表7所示。由結果可知,隨著溫度變化值的增大,系統(tǒng)共振失效概率不斷減小,其原因與流速和壓強的影響規(guī)律相同。

表7 不同溫度效應下的失效概率

當ΔT=20 K時,采用ALK法計算得到的VIA指標如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn),Ro和E的主指標和總指標均排在第一和第二位,其中主指標明顯大于其他變量的主指標,而其他變量的主指標趨近于零,各變量的總指標的主要排序為Ro>E>t,同時所有變量的總指標值明顯大于主指標值,主指標與總指標的分布規(guī)律與U=10 m/s和p=14 MPa基本相同,進一步驗證了3種變量對共振失效概率的影響程度較小。VIA指標對于管道的防共振設計具有重要參考價值。

圖5 溫度變化值為20 K時的變量重要性測度指標

5 結 論

本文基于溫度效應下的多跨輸流管道模型建立了共振可靠性和變量重要性分析方法,并用算例分析了流速、壓強和溫度效應對共振失效概率、VIA的影響。主要結論如下:

1) 流速、壓強和溫度變化值的增大均會導致管道固有頻率的降低,造成固有頻率與激振力頻率逐漸遠離,從而進一步導致系統(tǒng)共振失效概率的降低。

2) 各輸入變量中,Ro和E對系統(tǒng)失效概率的影響程度最大,在設計中應控制或降低其不確定性程度,從而降低系統(tǒng)共振失效概率。

3) ALK方法在保證計算精度的前提下,極大地提高了計算效率,有助于管道防共振可靠性分析方法的工程應用。