鄭明晅, 趙惠玲, 李楚薇

(西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院, 陜西 西安 710072)

在微波通信、雷達(dá)探測(cè)、飛行器隱身等領(lǐng)域中,常涉及到有限周期陣列[1]的設(shè)計(jì)和仿真。在使用矩量法(method of moments,MoM)[2]對(duì)這種問(wèn)題進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí),由于陣列電尺寸通常很大,使用多層快速多極子法[3](multilevel fast multipole algorithm,MLFMA),IE-FFT[4-5](integral equation fast Fourier transformation)以及自適應(yīng)積分法[6-7](adaptive integral method,AIM)等加速算法來(lái)提升求解效率。與MLFMA和IE-FFT相比,基于等效源的AIM精度更高并且非常適合于求解這種相對(duì)平坦的“準(zhǔn)平面”問(wèn)題。對(duì)于未知量為N的問(wèn)題,AIM可以將時(shí)間復(fù)雜度和內(nèi)存復(fù)雜度從O(N2)和O(N2)分別減少到O(NlogN)和O(N)。

然而,利用AIM分析大型周期陣列的電磁特性時(shí),存在著2個(gè)不足。第一個(gè)是求解區(qū)域中存在大量的冗余柵格點(diǎn)[8-9],這些柵格點(diǎn)對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)互阻抗的計(jì)算并沒(méi)有任何實(shí)質(zhì)上的貢獻(xiàn),反而會(huì)消耗大量計(jì)算資源,從而墮化算法的真實(shí)效率。第二個(gè)則是,隨著未知量的增加,近場(chǎng)矩陣的填充和矯正步驟也會(huì)占用大量時(shí)間,這是因?yàn)锳IM本質(zhì)上并沒(méi)有將遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)計(jì)算徹底分離。

為了克服上述2個(gè)問(wèn)題,本文提出了一種陣列自適應(yīng)積分法。該方法共包括4個(gè)關(guān)鍵性技術(shù),分別為冗余點(diǎn)消除技術(shù)、零值屏蔽技術(shù)、塊狀對(duì)角預(yù)處理以及快速遠(yuǎn)場(chǎng)后處理技術(shù),它們分別從矩陣填充、近場(chǎng)矯正、迭代求解以及后處理4個(gè)方面來(lái)提升算法的計(jì)算效率。數(shù)值仿真結(jié)果表明,本文提出的方法能有效降低內(nèi)存需求量并提高總求解速度。此外,該方法不僅適合于有限周期陣列,還可以處理大型稀疏陣列。

1 算法原理

1.1 傳統(tǒng)自適應(yīng)積分法

傳統(tǒng)AIM是一種基于矩量法的快速算法,它將稠密的阻抗矩陣Z根據(jù)近場(chǎng)門(mén)限劃分為近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)2個(gè)部分

式中：Znear和Zfar分別表示近場(chǎng)稀疏矩陣和遠(yuǎn)場(chǎng)壓縮矩陣；ZMoM和ZAIM分別表示使用矩量法計(jì)算得到的準(zhǔn)確近場(chǎng)矩陣和由離散格點(diǎn)產(chǎn)生的不準(zhǔn)確近場(chǎng)矩陣。(1)式中的Zfar又可以進(jìn)一步寫(xiě)成多個(gè)稀疏矩陣相乘的形式

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1.2 冗余柵格點(diǎn)消除技術(shù)和零值屏蔽技術(shù)

盡管AIM的性能優(yōu)于矩量法,但在求解大型周期陣列問(wèn)題時(shí),為了保證精度,往往需要大量柵格點(diǎn)對(duì)整個(gè)求解區(qū)域進(jìn)行離散。在這些柵格點(diǎn)中只有一部分柵格點(diǎn)參與了遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算,其余的柵格點(diǎn)則由于沒(méi)有基函數(shù)在其上展開(kāi)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算沒(méi)有任何貢獻(xiàn),它們被稱(chēng)作冗余柵格點(diǎn)。

如圖1所示的3×3平面陣列,灰色橢圓代表實(shí)際的陣元,每個(gè)陣元都可以看作是整個(gè)陣列的1個(gè)子區(qū)域。當(dāng)使用矩形柵格點(diǎn)籠罩住整個(gè)陣列后,只有子域中的柵格點(diǎn)(圖中空心點(diǎn))上定義了展開(kāi)系數(shù),而陣元之間中心帶叉柵格點(diǎn)則全部屬于冗余柵格點(diǎn)。

圖1 冗余柵格點(diǎn)與子域柵格點(diǎn)

為了消除陣元間的冗余柵格點(diǎn),可以首先將整個(gè)陣列的阻抗矩陣Z劃分為大小相等的M2個(gè)子矩陣塊Zmn(m,n∈{1,2,…,M}),這里M代表陣元的個(gè)數(shù),當(dāng)m≠n時(shí),Zmn表示不同陣元間的互耦項(xiàng)。由于大型陣列中,陣元間距一般都可以滿(mǎn)足AIM的遠(yuǎn)場(chǎng)條件,因此可以使用與(3)式類(lèi)似的遠(yuǎn)場(chǎng)近似式來(lái)計(jì)算這些互耦項(xiàng)

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與(3)式相比,G由3層變成5層Toeplitz矩陣,它不僅最大限度地保留了子域柵格點(diǎn),而且剔除了陣元間的冗余柵格點(diǎn),此時(shí)整個(gè)陣列的阻抗矩陣Z就可以寫(xiě)作

(7)

接下來(lái),為了解決大型陣列中近場(chǎng)矯正耗時(shí)長(zhǎng)的問(wèn)題,本文使用了一種零值屏蔽技術(shù)來(lái)直接消除近場(chǎng)矯正步驟。它的原理是將G中與陣元自耦項(xiàng)有關(guān)的格林函數(shù)Gmm全部置零,從而徹底阻隔遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算對(duì)近場(chǎng)區(qū)域的干擾。

僅考慮包含3個(gè)陣元的線(xiàn)陣,若將格林函數(shù)G的對(duì)角矩陣塊全部置零,此時(shí)其遠(yuǎn)場(chǎng)近似矩陣可以寫(xiě)作

(8)

在實(shí)際計(jì)算中,如圖1所示可以通過(guò)對(duì)格林函數(shù)添加約束條件來(lái)實(shí)現(xiàn)置零操作,即

(9)

式中：r=rlocal+rv+ru代表場(chǎng)源點(diǎn)間的位矢；rlocal表示子域柵格點(diǎn)間的位矢；ru,rv則代表陣元間沿著u,v2個(gè)方向的位置矢量。將(8)式代入(7)式并改寫(xiě)可得

Z=Zself+Zarray=diag(Zl)+Zarray

(10)

(11)

式中,I(m)表示迭代向量Ii展開(kāi)后的第m個(gè)子向量。從(11)式仍舊可以看出Λp,l和Zl被多次復(fù)用,這極大地降低了陣列自適應(yīng)積分法的內(nèi)存需求量。此外,若陣列的某些區(qū)域并不存在陣元,等同于該區(qū)域的Λp,l和Zl為0,在公式(11)中就表現(xiàn)為跳過(guò)這些區(qū)域的計(jì)算。這一特性使得本文提出的陣列AIM不僅適用于有限周期陣列,還能在一定程度上處理稀疏陣列。

1.3 塊狀雅克比預(yù)處理和快速遠(yuǎn)場(chǎng)后處理

為了進(jìn)一步提升迭代求解時(shí)的收斂速度,根據(jù)有限周期陣列的結(jié)構(gòu)特性,本文采用穩(wěn)健的塊狀雅克比預(yù)處理。由(10)式可知,近場(chǎng)矩陣Zself屬于塊狀對(duì)角矩陣,因此可以直接對(duì)該矩陣求逆得到預(yù)處理矩陣,同時(shí)對(duì)(11)式兩端乘以這個(gè)預(yù)處理矩陣可得

(12)

幸運(yùn)的是,這一問(wèn)題可以通過(guò)補(bǔ)償陣元間的波程差來(lái)輕松解決。首先,令En(θ,φ)代表參考陣元上第n個(gè)基函數(shù)在(θ,φ)方向的散射場(chǎng),并將它視作元因子。其次,陣列在(θ,φ)方向的散射總場(chǎng)可以寫(xiě)作

(13)

式中，Sn(θ,φ)可以理解為陣因子,它表示為

(14)

dm=-(ΔNumducosφ+ΔNvmdvsinφ)sinθ

(15)

式中：dm表示第m個(gè)陣元與參考單元在(θ,φ)方向的波程差；du,dv分別表示陣元沿著u,v方向的間距,而ΔNum,ΔNvm表示第m個(gè)陣元與參考陣元在u,v方向的序號(hào)差；In+(m-1)Nl則表示不同陣元上第n個(gè)基函數(shù)的電流項(xiàng)系數(shù)。從(13)～(15)式可知,陣因子Sn(θ,φ)只包括求解后得到的電流項(xiàng)激勵(lì)和相位因子,它們都是與基函數(shù)無(wú)關(guān)的參量,而元因子En(θ,φ)只與參考陣元有關(guān)。

綜上所述,一旦得到求解后的電流激勵(lì)I(lǐng),就可以利用(13)～(15)式快速計(jì)算任意方向的散射電場(chǎng)。為了更好地理解陣列AIM,圖2給出了該算法的計(jì)算流程圖。

圖2 陣列AIM算法流程圖

2 仿真與分析

為了驗(yàn)證陣列AIM的算法精度和效率,本文先計(jì)算了有限周期陣列和稀疏陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)雷達(dá)散射截面(radar cross section, RCS),并與MLFMA和傳統(tǒng)AIM的計(jì)算結(jié)果作對(duì)比。隨后針對(duì)稀疏陣列,比較了陣列AIM和傳統(tǒng)AIM在不同陣列尺寸條件下的性能參數(shù),以此來(lái)驗(yàn)證本文算法的高效性。本節(jié)所有算例均使用電場(chǎng)積分方程,陣列平面位于xoy面,入射平面波Ei沿-z軸方向傳播,極化方向沿x軸,頻率為300 MHz。算例的仿真平臺(tái)為Intel Core i7 4790 3.6GHz 臺(tái)式機(jī),內(nèi)存為32 GB。

2.1 算法精度驗(yàn)證

第一個(gè)算例為4×4的金屬球陣列。如圖3所示,球半徑為0.6 m,陣列尺寸lu×lv=5.7 m×5.7 m,陣元間距du=dv=1.5 m。經(jīng)過(guò)剖分后,每個(gè)陣元未知量為1 287,從而整個(gè)陣列的未知量為20 592。圖4給出了由陣列AIM,傳統(tǒng)AIM以及MLFMA計(jì)算的得到的φ=0,π/2時(shí)俯仰面雙站RCS,3種方法計(jì)算得到遠(yuǎn)場(chǎng)RCS曲線(xiàn)基本一致。以MLFMA的計(jì)算結(jié)果為參考,陣列AIM在φ=0和φ=π/2平面的相對(duì)均方根誤差分別為0.88%和0.94%,這表明陣列AIM在處理這種密集的有限周期陣列時(shí)具有較好的精度。

圖3 陣元為金屬球的4×4平面陣列模型圖

圖4 陣元為金屬球的4×4平面陣列俯仰面雙站RCS曲線(xiàn)

第二個(gè)算例是8×8圓錐稀疏陣列。圖5中，陣元間距du=dv=0.7 m,陣列尺寸lu×lv=5.15 m×5.15 m。金屬圓錐底面直徑為0.25 m,高度為0.5 m。與第一個(gè)算例不同,陣列一共只有40個(gè)陣元,在整個(gè)陣面呈現(xiàn)出稀疏分布,其稀疏度為37.5%。

圖5 陣元為圓錐的8×8稀疏陣列模型圖

圖6給出了陣列AIM計(jì)算得到的俯仰面雙站RCS曲線(xiàn),并與MLFMA和傳統(tǒng)AIM作對(duì)比。從圖6中可以看出,3種方法得到的雙站RCS能良好吻合。經(jīng)過(guò)計(jì)算,陣列AIM在φ=0和φ=π/2平面的相對(duì)均方根誤差分別為1.24%和1.96%,這表明陣列AIM也能有效處理稀疏陣列的散射問(wèn)題。

圖6 陣元為圓錐的8×8稀疏陣列俯仰面雙站RCS曲線(xiàn)

2.2 稀疏陣列尺寸對(duì)陣列AIM性能影響分析

本節(jié)將主要分析稀疏陣列尺寸對(duì)陣列AIM性能的影響,算例模型與圖5一致,陣列的稀疏度為37.5%。共選取了3組不同的陣列尺寸,分別為8×8,16×16和24×24,其對(duì)應(yīng)的未知量分別為24 120,96 480和217 080,其余參數(shù)與2.1節(jié)一致。

從表1中可以清晰的看出,與傳統(tǒng)AIM相比,陣列AIM可以減少96%的內(nèi)存消耗。并且陣列AIM的近場(chǎng)矩陣填充時(shí)間不會(huì)隨著陣列尺寸的增大而發(fā)生變化,尤其是陣列尺寸為24×24的情況下,填充速度比傳統(tǒng)AIM快3 300倍。這些因素使得陣列AIM的總時(shí)間要遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)AIM。

表1 不同陣列尺寸下陣列AIM和傳統(tǒng)AIM性能對(duì)比

綜上所述,本文提出的陣列AIM不僅具有很好的計(jì)算精度,而且在處理稀疏陣列時(shí)也具有較好的性能。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)于大型有限周期陣列的特性,提出了一種稱(chēng)作陣列AIM的方法。該方法使用5層Toeplitz矩陣和零值屏蔽技術(shù)解決了傳統(tǒng)AIM中存在的冗余柵格點(diǎn)和遠(yuǎn)近場(chǎng)耦合問(wèn)題。同時(shí)使用塊狀Jacobi預(yù)處理技術(shù)提升迭代求解的收斂速率,并基于波程差補(bǔ)償技術(shù)進(jìn)行快速后處理。數(shù)值結(jié)果表明,該方法具有良好的計(jì)算精度,不僅適用于密集陣列,也同樣適用于稀疏陣列。其次,在稀疏度相同時(shí),隨著陣列尺寸的增加,該方法的近場(chǎng)矩陣填充時(shí)間不發(fā)生變化且小于傳統(tǒng)AIM,特別地,當(dāng)陣列尺寸為24×24時(shí),近場(chǎng)填充速度可以提高3 300倍。此外陣列AIM的內(nèi)存需求量也低于傳統(tǒng)AIM。這充分說(shuō)明了陣列AIM在仿真計(jì)算稀疏和非稀疏陣列上的高效性。