王小龍, 孫沖, 方群, 李琪,2, 宋碩

(1.西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.西安現(xiàn)代控制技術研究所, 陜西 西安 710065)

空間失效目標和空間碎片的增多,導致地球衛(wèi)星軌道資源日趨緊張,面向低速翻滾的空間非合作目標的抓捕具有極大的研究價值和應用前景。由于非合作目標本身故障而喪失姿態(tài)軌道調(diào)整能力導致其不可控,因此目標往往會因受到各種攝動和擾動影響而處于自由翻滾狀態(tài)。由于傳統(tǒng)的集成大型航天器系統(tǒng)體積大,靈活性差、成本高,在對空間低速翻滾的非合作目標進行抓捕時需要更大的安全冗余與更高精度的控制方法。與之相比,采用小型航天器編隊或集群協(xié)同抓捕非合作目標擁有更高的可靠性及靈活性,已經(jīng)引起了研究者的廣泛關注[1]。由于近距離階段相對運動姿軌耦合更加嚴重,且非合作目標失控翻滾以及外部干擾的存在,使得為航天器編隊設計安全可靠的控制器變得十分困難。

到目前為止,在多航天器的位置與姿態(tài)的協(xié)同控制方面已經(jīng)有了大量的研究成果。文獻[2]基于有向圖設計了一種可消除多跳變時延影響的多航天器編隊姿態(tài)跟蹤控制律,解決了在網(wǎng)絡環(huán)境中的航天器編隊在跳變時延條件下的姿態(tài)一致性問題。文獻[3]在無角速度測量和飽和輸入條件下,針對航天器編隊的姿態(tài)跟蹤問題,提出一種基于干擾觀測器的終端滑模有限時間控制律。在姿態(tài)同步的基礎上,針對多航天器編隊的重構與軌道保持問題,文獻[4]提出一種基于人工勢場方法保持共面四邊形的主從式航天器編隊的編隊保持方法,實現(xiàn)小推力航天器的長周期軌道保持。文獻[5]設計了主從式航天器的編隊飛行軌道與構型,研究了有限通信信息和變化通信拓撲條件下的航天器編隊協(xié)同保持控制方法。然而,上述文獻沒有考慮到實際任務中的安全避碰問題。

進一步,考慮到工程中可能存在的空間障礙,已經(jīng)有多種避障方法被廣泛研究,如人工勢場法[6]、模型預測控制[7]和最優(yōu)控制方法[8]等。文獻[9]研究了一種基于反步法的有限時間編隊避障控制問題,使編隊可以沿著預定軌跡移動的同時避開障礙,并最終重構為預定編隊構型。文獻[10]針對航天器編隊中的故障容錯、避障等問題,提出一種將人工勢場與自適應滑模控制律相結合的方法,使得編隊在實現(xiàn)目標追蹤和構型保持的同時,能夠具備規(guī)避障礙物的能力?？紤]到通信距離與碰撞規(guī)避約束,文獻[11]提出一種基于干擾觀測器與人工勢場方法相結合的航天器編隊分布式協(xié)同控制方法,保證編隊航天器之間的隊形保持。然而,上述控制方法大部分考慮到編隊系統(tǒng)內(nèi)部避障,但較少考慮航天器編隊與目標的避障問題。

綜上所述,本文針對抓捕空間非合作目標的多航天器協(xié)同控制問題,在考慮安全約束、推力約束以及終端狀態(tài)編隊構型約束的情況下,提出了一種基于干擾觀測器的協(xié)同避碰控制方法。本文的主要貢獻如下:

1) 與文獻[12]中用球體描述目標外形相比,本文利用超二次曲面來描述目標和抓捕航天器的外形,建立復合人工勢場,更加接近目標的幾何形狀,從而實現(xiàn)避免碰撞的控制目標;

2) 考慮到抓捕過程中存在的外部干擾,利用干擾觀測器對復合干擾進行估計并在控制律的設計中進行抵消,更加符合工程實際。

1 航天器相對運動模型及預備知識

1.1 坐標系建立

如圖1所示,為了描述多航天器之間的相對運動關系,定義如下坐標系:

1) 地心慣性坐標系Fi={Oi,xi,yi,zi}。坐標系的原點Oi固定于地球質(zhì)心,Oixi軸指向春分點,Oizi軸指向南極點,Oiyi軸、Oixi軸與Oizi軸共同構成右手坐標系。

2) 抓捕航天器本體坐標系Fc={Oc,xc,yc,zc}。坐標系的原點Oc固定于抓捕航天器的質(zhì)心,Ocxc軸指向抓捕航天器的對接軸,Ocyc軸,Oczc軸與抓捕者的其他2個轉動慣量主軸對齊,并且Ocyc軸,Oczc軸與Ocxc軸共同構成右手坐標系。

3) 目標航天器本體坐標系Ft={Ot,xt,yt,zt}。坐標系原點Ot固定于目標航天器的質(zhì)心,Otxt軸指向目標航天器主對接軸的反方向,Otyt軸,Otzt軸與抓捕者的其他2個轉動慣量主軸對齊,并且Otyt軸,Otzt軸與Otxt軸共同構成右手坐標系。

1.2 基于修正羅德里格斯參數(shù)的相對姿態(tài)運動模型

基于修正羅德里格斯參數(shù)的相對姿態(tài)運動方程為[13]

(1)

式中

(2)

式中,σe,i∈R3為修正羅德里格斯參數(shù),表示抓捕航天器i相對于目標的姿態(tài),其中i=1,2,3;ωe,i∈R3表示抓捕航天器相對于目標的角速度,其表達式為

(3)

對于任意的矢量x=[x1,x2,x3]T∈R3,S(x)∈R3×3表示一個3×3的反對稱矩陣,其表達式為

(4)

(5)

抓捕航天器相對于目標的相對姿態(tài)動力學方程為[13]

(6)

式中

式中：Jc∈R3×3表示抓捕航天器的慣量矩陣;τi∈R3和τd,i∈R3分別表示控制力矩和外界干擾力矩。

1.3 相對位置運動模型

抓捕航天器相對于目標的相對位置運動方程[13]為

(9)

(10)

式中：ve,i∈R3表示第i個抓捕航天器相對于目標的速度矢量在其本體系Fc中的投影;mc表示抓捕航天器的質(zhì)量;fi∈R3和fd,i∈R3表示控制力和外界干擾力;nt,i∈R3的表達式為

(11)

式中：ρc,i∈R3表示第i個抓捕航天器相對于慣性系的位置矢量在其本體系Fc中的投影;ρt∈R3表示目標相對于慣性系的位置矢量在其本體系Ft中的投影;μ為地球引力常數(shù);rt,i表示抓捕航天器i的期望抓捕位置;Cm,i∈R3×3的表達式為

(12)

1.4 引理與假設

為了方便后續(xù)控制律的設計,本文結合實際工程情況引入以下假設和引理:

引理1[14]對于反對稱矩陣S(·),有如下性質(zhì):對于任意的列向量y=[y1,y2,y3]T∈R3,有yTS(·)y=0。

引理2本文中使用了激活函數(shù)tanh(·)及其導數(shù)cosh-2(·),具有如下性質(zhì):

1) 對于激活函數(shù)tanh(·),其是嚴格單調(diào)遞增函數(shù),且其上下界分別為1和-1,有‖tanh(·)‖≤1。

2) 對于函數(shù)cosh(·),有‖cosh(·)‖≥1。對函數(shù)cosh-2(·),有0≤‖cosh-2(·)‖≤1,也就是說,激活函數(shù)的導數(shù)同樣是有界的。

1.5 人工勢場設計

為了防止碰撞以及獲得更大的安全接近區(qū)域,本文利用超二次曲面來描述非合作目標和抓捕航天器的外形,建立復合人工勢場。首先,本文用圓柱體約束來描述目標本體,即

(13)

其次針對抓捕航天器編隊內(nèi)部之間的避碰問題,將其描述為球形障礙,即

(14)

式中：Xi,j=[xi,j,yi,j,zi,j]T=Xc,i-Xc,j,i=1,2,3,j=1,2,3且i≠j,表示抓捕航天器i和j之間的距離;l4與r1是正常數(shù),其值影響球形路徑約束的半徑。

則勢函數(shù)可以表示為

(15)

注1本文介紹的基于超二次曲面描述航天器外形的方法相比于傳統(tǒng)的球體或是橢球體能夠更為準確地描述目標的外形,為抓捕者提供更大的安全接近區(qū)域。如(13)式所述的超二次曲面,通過調(diào)節(jié)外形參數(shù)可以用于描述各種復雜外形的航天器。如:當e1?1,e2?1時,可描述長方體外形;當e1=1,e2=1時,超二次曲面可描述橢球體外形;當e1?1,e2=1時,可描述圓柱體外形。

注2所設計的勢函數(shù)(15)式,當抓捕者的位置位于路徑約束外部時,有h>0;僅當抓捕者位于路徑約束的表面時有h=0;當抓捕者位于路徑約束的內(nèi)部時有h<0。由此可知,勢函數(shù)κ在抓捕者由勢場外部逐步向勢場表面趨近的過程中會趨于無窮大,使抓捕者不能再向勢場表面靠近,即抓捕航天器不會與目標發(fā)生碰撞。

2 基于干擾觀測器的控制器設計

2.1 相對姿態(tài)控制律設計

定義如下輔助量

S1,i=ωe,i+k1,iσe,i

(16)

式中,k1,i為正常數(shù)。

則S1,i的導數(shù)為

(17)

(17)式可以寫為如下形式

(18)

設復合干擾力矩

(19)

設計如下非線性干擾觀測器

(20)

式中,Bi=τi+Jck1,iG(σe,i)ωe,i,ks,i>1。

(21)

將(20)式代入(21)式,則有

(22)

進一步,設計如下姿態(tài)控制律

(23)

定理1針對航天器姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)(1)式和(6)式,在復合干擾力矩作用下,以假設1為條件,所設計的姿態(tài)控制器律(23)式可以使相對姿態(tài)實現(xiàn)有界穩(wěn)定,且干擾觀測器(20)式可以有效估計干擾力矩。

證明選擇Lyapunov函數(shù)

(24)

其一階導數(shù)可以寫為

(25)

將控制力(23)式代入上式,可得

(26)

根據(jù)楊氏不等式[13],有

(27)

將(27)式代入(26)式,可得

(28)

則(28)式可簡化為

(29)

對(29)式兩側同時積分,可得

(30)

(31)

證明:

在S1,i≤ΔS1,i時,選擇如下Lyapunov函數(shù)

(32)

則其導數(shù)可以寫為

(33)

將(1)式代入(33)式,則有

(34)

由此可見,相對姿態(tài)角σe,i有界,且最終收斂到以下區(qū)域

(35)

由此,姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性得證,即定理1得證。

2.2 相對位置控制律設計

定義如下輔助量

S2,i=k2,itanh(k3,ive,i)+(k4,i+κi)ρe,i

(36)

式中,ve,i=[ve1,i,ve2,i,ve3,i]T∈R3,k2,i,k3,i,k4,i為正常數(shù),且

則S2,i的導數(shù)為

(37)

式中

(37)式可以寫為如下形式

(38)

設復合干擾力

(39)

設計如下干擾觀測器

(40)

式中，Ei=k2,ik3,icosh-2(k3,ive,i)fi+((k4,i+κi)·

(41)

將(40)式代入(41)式,則有

(42)

設計如下位置控制律

(43)

定理2針對航天器位置閉環(huán)系統(tǒng)(9)式和(10)式,考慮了復合干擾力影響的情況下,以假設1為條件,所設計的相對位置控制律(43)式可以使抓捕者與目標的相對位置最終實現(xiàn)有界穩(wěn)定,并避免與目標及抓捕者編隊內(nèi)部發(fā)生碰撞。同時干擾觀測器(40)式可以有效估計復合干擾。

證明選擇如下Lyapunov函數(shù)

(44)

其一階導數(shù)可以寫為

(45)

將控制力(43)式代入(45)式,得到

(46)

根據(jù)楊氏不等式[13]

(47)

將(47)式代入(46)式,則有

(48)

則(48)式可簡化為

(49)

將(44)式代入(49)式,可得

(50)

對(50)式兩側同時積分,可得

(51)

(52)

由(52)式可知,在多航天器運動過程中,S2,i是始終有界的,另外,根據(jù)引理2可知,顯然k2,itanh(k3,ive,i)(j=1,2,3)是有界的,同時結合(36)式可得κiρe,i是有界的。根據(jù)勢函數(shù)(15)式的設計以及注2,只有航天器在與目標發(fā)生碰撞時才會有κi趨近于無窮,因此根據(jù)κiρe,i有界,可以得知κi是始終有界的,即在整個任務過程中κi不會趨近于無窮。因此,抓捕者沒有違反路徑約束,即沒有發(fā)生碰撞。

下面,將對相對位置ρe,i的有界性進行證明。

證明:

當S2,i收斂至0時,有

0=k2,itanh(k3,ive,i)+(k4,i+κi)ρe,i

(53)

選取如下Lyapunov函數(shù)

(54)

則,V4,i的導數(shù)為

(55)

根據(jù)引理1和(53)式,(55)式可以化簡為

(56)

根據(jù)引理2,有tanh(k3,ive,i)≤k3,ive,i,則(56)式可以寫為

(57)

由此可見,當S2,i收斂至0時,ρe,i是漸進收斂的。

設存在常數(shù)|W|≤ΔS2,i使得

W=k2,itanh(k3,ive,i)+(k4,i+κi)ρe,i

(58)

則根據(jù)(52)式、(57)式和(58)式,可得ρe,i將收斂至以下區(qū)域

(59)

綜上所述,定理2得證。

3 仿真驗證

為驗證所設計的航天器編隊抓捕避碰控制方法有效性,本文設計了仿真驗證試驗,仿真對象為3個編隊飛行的航天器。

假設目標為低速翻滾的失效航天器,其軌道六要素與初始參數(shù)如表1所示,初始姿態(tài)與角速度為

表1 目標航天器初始參數(shù)

σt(0)=[0,0,0]T,ωt(0)=[0.02,0.05,-0.02]Trad/s

表2 抓捕航天器初始相對狀態(tài)

表3 控制器仿真參數(shù)

外界干擾力矩和干擾力分別設為

randn(3,1)×0.02

randn(3,1)×0.1

仿真時描述路徑約束的尺寸與外形參數(shù)設定為l1=3,l2=3,l3=6,l4=1,e1=0.1,e2=1,r1=0.5,仿真結果如圖2～9所示。其中圖2～5給出了3個抓捕航天器相對運動狀態(tài)變化曲線,由其可見,本文所提出的控制策略可以使3個抓捕航天器的相對位置與相對速度在60 s內(nèi)收斂,相對姿態(tài)與相對角速度在70 s內(nèi)收斂。

圖2 抓捕航天器編隊相對位置變化曲線 圖3 抓捕航天器編隊相對速度變化曲線

圖6展示了相對姿態(tài)與相對位置干擾觀測器的觀測誤差,從圖中可以看出,觀測誤差在20 s內(nèi)收斂至零附近的極小區(qū)域,在存在白噪聲干擾的情況下也能夠估計復合擾動的真值。

圖4 抓捕航天器編隊相對姿態(tài)變化曲線 圖5 抓捕航天器編隊相對角速度變化曲線

圖6 抓捕航天器編隊觀測誤差變化曲線

圖7展示了3個抓捕航天器的控制力與力矩變化曲線?？梢钥闯?抓捕者的輸出力與力矩始終沒有超過飽和上界,但是由于時變干擾力的存在,控制力與力矩最終并未收斂至零,而且由于避障的需求,導致控制力在收斂過程中出現(xiàn)部分震蕩現(xiàn)象。圖8和圖9展示了抓捕者編隊內(nèi)路徑約束hi,j函數(shù)以及抓捕者與目標之間的路徑約束hit函數(shù)變化曲線。從圖中可以看出,h始終保持大于零,說明航天器運動過程中沒有碰撞發(fā)生。

圖7 抓捕航天器編隊控制力和控制力矩變化曲線

圖8 抓捕航天器編隊內(nèi)部hi,j函數(shù)變化曲線 圖9 抓捕航天器與目標之間hit函數(shù)變化曲線

4 結 論

本文針對近距離低速翻滾空間非合作目標抓捕問題,提出了一種基于干擾觀測器的多航天器協(xié)同避碰抓捕控制方法。首先,針對抓捕任務的安全性問題,提出一種基于超二次曲面的人工勢場,其優(yōu)勢在于,超二次曲面可以根據(jù)不同的參數(shù)選取描述各種尺寸及形狀的路徑約束,將其用于描述多個抓捕者與目標之間的路徑約束以及抓捕者內(nèi)部的路徑約束可以提高抓捕者的可接近范圍。其次針對任務中可能出現(xiàn)的復合干擾問題,設計了用于估計外界擾動的非線性干擾觀測器,并在控制律中對復合干擾進行抵消。之后設計了魯棒控制律,并在Lyapunov定義下證明了在該控制律作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性與收斂性,以及任務過程中航天器編隊對于障礙規(guī)避的有效性。數(shù)值仿真結果說明了本文所提方法的有效性與正確性。