崔冬玲

摘 要： 柯西積分定理與柯西積分公式是計(jì)算復(fù)積分的理論基礎(chǔ)，也是聯(lián)系復(fù)積分與留數(shù)相關(guān)知識(shí)的紐帶，在復(fù)變函數(shù)論中占有十分重要的地位。首先從應(yīng)用條件及結(jié)論上說(shuō)明兩者間的聯(lián)系，再通過(guò)實(shí)際例子論述兩者之間的不同，以期在計(jì)算復(fù)積分時(shí)提供便捷。

關(guān)鍵詞：復(fù)積分;柯西積分定理;柯西積分公式

柯西積分定理和柯西積分公式與復(fù)積分的關(guān)系密切。而復(fù)積分無(wú)論從定義的角度看還是從計(jì)算的角度看，它均離不開(kāi)實(shí)函數(shù)中的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分。因此，對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分非常成功地滲透到了復(fù)積分的計(jì)算中去，而此類(lèi)積分的兩個(gè)標(biāo)志性的特點(diǎn)——格林公式、積分與路徑無(wú)關(guān)等相關(guān)內(nèi)容在復(fù)積分中也體現(xiàn)得淋漓盡致。特別是積分與路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題，映射到復(fù)積分中即為柯西積分定理?？挛鞣e分公式是為一類(lèi)閉曲線(xiàn)上的復(fù)積分提供一種比較便捷的算法，它較利用積分與路徑無(wú)關(guān)以及復(fù)積分的基本算法有很大的優(yōu)越性。但柯西積分定理與柯西積分公式在名稱(chēng)、應(yīng)用條件和結(jié)論等方面既有相似之處，又各有特色。下面針對(duì)以上問(wèn)題展開(kāi)討論，以免在應(yīng)用兩者時(shí)產(chǎn)生混淆，進(jìn)而加深對(duì)柯西積分定理與柯西積分公式的理解。

一、柯西積分定理與柯西積分公式理論上的聯(lián)系

柯西積分定理與柯西積分公式在名稱(chēng)上只差兩個(gè)字，它們均與復(fù)積分的計(jì)算有關(guān)，更確切地說(shuō)，它們的結(jié)論都是以復(fù)積分的形式體現(xiàn)的。它們都是既適合單連通區(qū)域又適合復(fù)連通區(qū)域。從某種意義上講，柯西積分公式中包含了柯西積分定理的一些思想，具體體現(xiàn)在復(fù)連通區(qū)域的情形，即定理4中有定理2的影子。

從兩者的使用條件上看，柯西積分定理要求在積分曲線(xiàn)及其內(nèi)部解析，而柯西積分公式的條件略有降低，它只需在曲線(xiàn)所圍區(qū)域內(nèi)解析，在曲線(xiàn)及所圍區(qū)域上連續(xù)即可，因此，柯西積分公式的結(jié)論比柯西積分定理的結(jié)論在形式上要復(fù)雜。

從兩者的結(jié)論表達(dá)方式上看，柯西積分定理是被積函數(shù)在積分曲線(xiàn)所圍的區(qū)域內(nèi)解析，其積分值為零;而柯西積分公式中被積函數(shù)是一個(gè)分式，其在積分曲線(xiàn)所圍的區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)，將作為分母，分子在積分曲線(xiàn)所圍的區(qū)域內(nèi)解析，整個(gè)的積分值等于。在具體的做題過(guò)程中，如何找到所謂的是關(guān)鍵所在。

總之，柯西積分定理與柯西積分公式在理論上既有相同之處，又有內(nèi)在的聯(lián)系，在具體應(yīng)用的過(guò)程中要仔細(xì)甄別，以達(dá)到事半功倍的效果。

二、柯西積分定理與柯西積分公式應(yīng)用上的不同

柯西積分定理是解決解析函數(shù)的復(fù)積分問(wèn)題，而柯西積分公式是解決被積函數(shù)是分式的復(fù)積分問(wèn)題。下面以實(shí)際的例子來(lái)說(shuō)明二者在應(yīng)用時(shí)的相異性，以及在計(jì)算復(fù)積分時(shí)所體現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)越性。

例1? 計(jì)算下列積分值

（1）（2）

解：（1）根據(jù)柯西積分定理：

（2）根據(jù)柯西積分定理：

注：這兩道題的被積函數(shù)的奇點(diǎn)均不在積分曲線(xiàn)內(nèi)，即被積函數(shù)在積分曲線(xiàn)所圍的區(qū)域內(nèi)是解析的，完全符合柯西積分定理的條件，直接得出結(jié)果實(shí)0。

例2? 計(jì)算

解：是被積函數(shù)的奇點(diǎn)，且都在曲線(xiàn)內(nèi)部。

注：該題主要體現(xiàn)的是柯西積分公式的應(yīng)用，它的特點(diǎn)在于：一方面是復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分公式，另一方面是在整理被積函數(shù)的過(guò)程中，要將產(chǎn)生奇點(diǎn)的因式的系數(shù)化為1。具體體現(xiàn)在這個(gè)式子中，它不可以寫(xiě)成，因?yàn)榭挛鞣e分公式里被積函數(shù)的分母是，的系數(shù)是1。同樣注意到兩條曲線(xiàn)與是互不相交且完全含于曲線(xiàn)的，而且類(lèi)似這樣的曲線(xiàn)表達(dá)方式不唯一，只要滿(mǎn)足互不相交且完全含于整個(gè)的積分曲線(xiàn)內(nèi)即可，這個(gè)可以畫(huà)圖說(shuō)明，也可以定量的寫(xiě)出，只要滿(mǎn)足條件即可。

例3? 計(jì)算，其中是包含0與2的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。

解：

注：該方法是柯西積分定理與柯西積分公式的一個(gè)結(jié)合。首先利用復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分定理，這里注意兩條曲線(xiàn)與是互不相交且完全含于曲線(xiàn)的，而且類(lèi)似這樣的曲線(xiàn)表達(dá)方式不唯一，只要滿(mǎn)足互不相交且完全含于整個(gè)的積分曲線(xiàn)內(nèi)即可，這個(gè)可以畫(huà)圖說(shuō)明，也可以定量的寫(xiě)出，只要滿(mǎn)足條件即可。然后利用復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分公式，在用該公式的時(shí)候，先要弄清楚被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)，讓產(chǎn)生奇點(diǎn)的因式作為分母，且的系數(shù)為1，其他的部分都作為分子，再利用公式，在分子代數(shù)值時(shí)要注意，誰(shuí)是奇點(diǎn)就代誰(shuí)的值，最后算出結(jié)果。

總之，柯西積分定理與柯西積分公式確實(shí)在理論和實(shí)際應(yīng)用中存在差異，但它們都是為計(jì)算曲線(xiàn)積分而服務(wù)的。在具體應(yīng)用的過(guò)程中也體現(xiàn)出二者相結(jié)合的現(xiàn)象。由于柯西積分定理的條件較強(qiáng)，而柯西積分公式的條件相對(duì)較弱，所以柯西積分公式的應(yīng)用更加廣泛。從實(shí)例中可以看出，兩者在計(jì)算復(fù)積分時(shí)體現(xiàn)了比基本計(jì)算方法更便捷。特別是遇到用定性的方式描述積分曲線(xiàn)，或者是積分曲線(xiàn)不容易用參數(shù)方程表示的時(shí)候，柯西積分定理與柯西積分公式便體現(xiàn)出其優(yōu)越性。

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