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        有關一元二次方程中字母系數(shù)問題的求解思路

        2021-11-11 00:40:06趙默
        語數(shù)外學習·初中版 2021年8期
        關鍵詞:求根判別式一元二次方程

        趙默

        一元二次方程中字母系數(shù)的求法,涉及的知識點很多,它與一元二次方程的定義、根的定義、根的判別式等都有著緊密的聯(lián)系,是一元二次方程問題中的一個難點.為了幫助同學們提高解題效率,現(xiàn)對一元二次方程中字母系數(shù)的求解思路進行歸納說明,以供同學們參考.

        一、利用一元二次方程的定義求解

        只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程,一般形式為 (a ≠ 0). 根據(jù)一元二次方程的定義求方程中字母系數(shù)的值時,要注意以下幾點:①弄清楚誰是未知數(shù);②含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)必須是2;③最高次項的未知數(shù)的系數(shù)不為0.

        點評:此題主要考查了一元二次方程的定義,正確把握未知數(shù)的次數(shù)與系數(shù)是解題關鍵.

        二、利用一元二次方程的根的定義求解

        若 m 是關于 x 的一元二次方程 ax

        2 + bx +

        c = 0 的一個根,則可得? 的一個根,則可得 ;反之,若 ,則 m 是關于 x 的一元二次方程 的一個根.這就是一元二次方程的根的定義.當已知一元二次方程的一個根或兩個根時,將其帶入原方程,構造新的方程或方程組,解方程或方程組即可求得字母系數(shù)的值.

        點評:解答本題的關鍵是正確理解一元二次方程的根的概念:能使一元二次方程左右兩

        邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的根.

        三、利用一元二次方程的求根公式求解

        將一元二次方程 進行配方, 式稱為一元二次方程的求根公式.若題目已知一元二次方程有兩個根,可將兩個根用含有字母系數(shù)的求根公式表示出來,然后根據(jù)根的情況確定字母系數(shù)的值或取值范圍.

        例3 已知關于 x的方程

        (1)討論此方程根的情況;

        (2)若方程有兩個整數(shù)根,求正整數(shù) k的值.

        分析:(1)由于 k 的值不能確定,故應分k + 1=0 和 k + 1 ≠ 0 兩種情況進行分類討論;(2)先根據(jù)求根公式用 k 表示出 x 的值,再根據(jù)方程有兩個整數(shù)根,求出正整數(shù) k的值即可.

        解:(1)當 k= - 1 時,方程 -4x - 4=0 為一元一次方程,此方程有一個實數(shù)根;

        點評:一元二次方程的根是由系數(shù) a ,b ,c 決定的,求根公式體現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)最直接的關系,若已知根的情況就可以求出字母系數(shù)的值.

        四、利用一元二次方程的根的判別式求解

        一元二次方程 的根的判別式為 .當 時,則一元二次方程有兩個相等實根;當 時,則一元二次方程有兩個不相等實根;當 時,則一元二次方程無實根.利用根的情況求字母系數(shù)的值或范圍,一般是利用根的判別式和已知條件列出關于字母系數(shù)的方程或不等式,然后求解.要注意判別式的應用條件,即二次項系數(shù)不為0.

        例 4 已知關于 x 的一元二次方程( 有兩個不相等的實數(shù)根.

        (1)求 k 的取值范圍;

        (2)如果此方程有兩個相等實數(shù)根,請求出這個實數(shù)根.

        分析:(1)先根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根知Δ>0,據(jù)此求出 k 的范圍,再結合一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件可得答案;(2)由方程有兩個相等實數(shù)根知Δ=0,據(jù)此求出 k 的值,代入方程,再利用因式分解法求解可得.

        點評:若已知一元二次方程有實數(shù)根或無實數(shù)根,可利用判別式求得字母系數(shù)的取值范圍.若已知一元二次方程有相等實數(shù)根,可利用判別式求得字母系數(shù)的值.

        五、利用一元二次方程根與系數(shù)的關系

        一元二次方程根與系數(shù)的關系.已知方程兩根的關系求字母系數(shù)的值時,先根據(jù)根與系數(shù)的關系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積,然后將已知兩根的關系式進行變形,再將兩根的和與兩根的積整體代入,列出以字母系數(shù)為未知數(shù)的方程,進而求出字母系數(shù)的值.

        例5 關于 x的方程 是否存在負數(shù) k 使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4?若存在,求出滿足條件的 k 的值;若不存在,說明理由.

        所以存在負數(shù) k = -1,滿足條件.

        點評:運用根與系數(shù)的關系解題的前提條件是方程有實數(shù)根,即Δ≥0.在利用根與系數(shù)的關系求方程中的字母系數(shù)的值時,必須代入根的判別式中進行檢驗.

        六、構造二次函數(shù),利用函數(shù)圖象求解

        一元二次方程與二次函數(shù)是有緊密聯(lián)系的.解二次方程的實質是求二次函數(shù)的零點,反映在圖象上,就是拋物線與 x 軸交點的橫坐標值.因此,對于一元二次方程含字母系數(shù)的問題,可通過構造函數(shù),利用函數(shù)圖象的直觀性求解.

        點評:可以把一元二次方程看作是二次函數(shù)中的一種特殊情況.根據(jù)一元二次方程根的情況,再利用二次函數(shù)的圖像的性質,可以快速便捷地求出方程中字母系數(shù)的取值范圍.

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