孟 凡，柳 揚(yáng)，王 歡，閆起材

石家莊鐵道大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050043

引 言

近年來(lái)，波長(zhǎng)探測(cè)作為科學(xué)技術(shù)中的一個(gè)基本工具，已被廣泛應(yīng)用于分析化學(xué)[1-2]、生物傳感[3-4]、材料分析[5]以及光學(xué)通信[6-8]等眾多領(lǐng)域，光譜分辨率、工作帶寬和器件尺寸是衡量探測(cè)性能的三個(gè)重要指標(biāo)。傳統(tǒng)的波長(zhǎng)計(jì)是通過(guò)色散組件分離到對(duì)應(yīng)探測(cè)器位置[9-10]或不同諧振腔選擇對(duì)應(yīng)諧振分量[11-13]來(lái)進(jìn)行波長(zhǎng)標(biāo)定，直接從空間通道即可得到對(duì)應(yīng)的頻譜分量。隨著光學(xué)器件的高性能和集成化發(fā)展，基于模式干涉效應(yīng)的高性能光譜計(jì)浮出水面[14-18]。該模式干涉來(lái)源于同一波長(zhǎng)的多個(gè)傳輸模式間耦合效應(yīng)，總強(qiáng)度圖案是每個(gè)模式電磁場(chǎng)分布的矢量疊加和，傳播常數(shù)差會(huì)隨著傳輸距離增加逐漸積累，并產(chǎn)生以2π為周期的強(qiáng)弱分布。通過(guò)采用探測(cè)器收集波長(zhǎng)依賴的干涉圖案，得到每個(gè)波長(zhǎng)唯一對(duì)應(yīng)的指紋特征，最后將待測(cè)信號(hào)圖案進(jìn)行光譜重建實(shí)現(xiàn)光譜探測(cè)。這種機(jī)制通過(guò)引入更多模式(增加基模與高階模傳播常數(shù)差)來(lái)解決積累可探測(cè)相位差的問(wèn)題，在提升探測(cè)性能的同時(shí)可以極大縮小器件的物理尺寸。Redding等[16]使用無(wú)序光子晶體中依賴于波長(zhǎng)的散射干涉圖案，在半徑為25 μm尺寸實(shí)現(xiàn)了0.75 nm的分辨率和25 nm的工作帶寬，探測(cè)指標(biāo)不夠理想。Paudel等[18]提出了基于片上集成馬赫-曾德干涉儀的傅里葉變換光譜計(jì)，在達(dá)到140 MHz光譜分辨率和12 nm工作帶寬的同時(shí)，需要繁瑣的制備工藝。因此，在微納器件中同時(shí)實(shí)現(xiàn)分辨率、工作帶寬和探測(cè)效率優(yōu)異的波長(zhǎng)探測(cè)始終是人們追求的目標(biāo)。

本文設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了基于錐形多模光纖的波長(zhǎng)計(jì)，拉制多模光纖形成的錐形區(qū)域與共焦顯微系統(tǒng)和可見(jiàn)光相機(jī)相集成，后者可收集得到強(qiáng)烈依賴波長(zhǎng)變化的模式干涉圖案。在光信號(hào)波長(zhǎng)精細(xì)掃描得到的包含豐富細(xì)節(jié)圖像中，內(nèi)積相關(guān)性運(yùn)算聯(lián)合主成分分析法可以高效處理頻譜通道和空間通道構(gòu)成的龐大數(shù)據(jù)量。在400～700 nm的工作帶寬內(nèi)，計(jì)算粗略校準(zhǔn)矩陣的內(nèi)積相關(guān)性可以初步實(shí)現(xiàn)精度為1 nm的波長(zhǎng)探測(cè)；在此基礎(chǔ)上，采用主成分分析法可將分辨率提高到20 pm，波長(zhǎng)探測(cè)準(zhǔn)確率達(dá)到96.7%。該算法不僅具有較高的波長(zhǎng)探測(cè)精度，運(yùn)算效率也比傳統(tǒng)重建算法提升近50倍。該器件尺寸為π×(20 μm)2×0.5 mm，具有高性能、便攜式和低成本等優(yōu)勢(shì)，為基于光纖傳輸系統(tǒng)的波長(zhǎng)實(shí)時(shí)探測(cè)提供了可能途徑。

1 基于主成分分析法的波長(zhǎng)探測(cè)模型

1.1 理論模型

波長(zhǎng)為λ的單色光入射進(jìn)直徑為D、數(shù)值孔徑為NA的多模光纖后，將激發(fā)出具有不同傳播常數(shù)βm, n的一系列模式[15-17]，各模式電磁場(chǎng)分量滿足麥克斯韋方程組，利用邊界條件求解得到模式數(shù)目和傳播常數(shù)分別為

(1)

(2)

I(λ,x,y)=|E(λ,x,y)|2=

(3)

這里Am, n(x,y)和φm, n(x,y)分別為(x,y)處相應(yīng)(m,n)模式的初始振幅和相位，由實(shí)驗(yàn)裝置耦合及偏振條件決定。由于全反射條件的破壞，光纖錐形區(qū)域輻射的模式干涉圖案與波長(zhǎng)值強(qiáng)烈相關(guān)，為基于主成分分析算法的波長(zhǎng)探測(cè)提供了理論基礎(chǔ)。

波長(zhǎng)的探測(cè)過(guò)程共分為兩個(gè)步驟，如圖1(a)所示原理圖：在工作帶寬內(nèi)粗略掃描(步長(zhǎng)為納米量級(jí))單色光波長(zhǎng)(λc1,λc2, …,λcm)得到一系列二維光強(qiáng)分布圖像，每張圖像進(jìn)行區(qū)域截取和向量拼接成為一維行向量，再按照波長(zhǎng)順序排列成二維矩陣得到粗略校準(zhǔn)矩陣。待測(cè)信號(hào)產(chǎn)生的強(qiáng)度圖像經(jīng)過(guò)降維處理后與之進(jìn)行內(nèi)積相關(guān)性運(yùn)算，選取數(shù)值最高的波長(zhǎng)值作為預(yù)估波長(zhǎng)單元λci，大致定位到待測(cè)信號(hào)波長(zhǎng)范圍。在每個(gè)預(yù)估波長(zhǎng)單元中，采用可調(diào)諧窄帶激光器掃描(步長(zhǎng)為皮米量級(jí))波長(zhǎng)得到精細(xì)校準(zhǔn)矩陣，如圖1(b)所示，精細(xì)波長(zhǎng)λfj與空間位置構(gòu)成了龐大的數(shù)據(jù)集，蘊(yùn)含著頻譜信息到空間位置的復(fù)雜映射關(guān)系。

圖1 (a)兩步法探測(cè)波長(zhǎng)原理圖，待測(cè)信號(hào)通過(guò)內(nèi)積相關(guān)性運(yùn)算定位到粗略波長(zhǎng)單元，再經(jīng)過(guò)主成分分析算法進(jìn)一步確定精細(xì)波長(zhǎng)；(b)波長(zhǎng)探測(cè)示意圖：工作帶寬分為m個(gè)粗略波長(zhǎng)單元，每個(gè)粗略波長(zhǎng)單元進(jìn)一步分為n個(gè)精細(xì)波長(zhǎng)值

在粗略波長(zhǎng)單元中，將每個(gè)波長(zhǎng)λfj(j=1, 2, …,n)的二維強(qiáng)度分布按相同方式逐行拼接為一維特征向量Λj=[x1,x2, …,xN]，以波長(zhǎng)序號(hào)排列得到維度為n×N的精細(xì)校準(zhǔn)矩陣C，進(jìn)一步求解協(xié)方差矩陣C′=CTC/(N-1)，表征了波長(zhǎng)變化引起不同位置強(qiáng)度變化的統(tǒng)計(jì)特性。此時(shí)，求解C′特征向量得到主成分空間的一組完備正交基，即P=P1,P2, …,PN:Pi∈RN；與之對(duì)應(yīng)的本征值與具體波長(zhǎng)值相關(guān)，它決定了后面主成分的排序。任意探測(cè)波長(zhǎng)λfj形成的光強(qiáng)圖像可以表示如式(4)

Λj=c1jP1+c2jP2+…+cNjPN

(4)

考慮到主成分基向量的歸一性，系數(shù)為特征向量在相應(yīng)基向量上的投影

Cij=PiΛj

(5)

對(duì)于探測(cè)信號(hào)來(lái)說(shuō)，只有少數(shù)主成分占據(jù)主導(dǎo)地位，且選取數(shù)量與探測(cè)效率相互制約。在這里，選取三個(gè)最大主成分并定義與波長(zhǎng)λfj的歐式距離

(6)

選取與最短距離對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)值為探測(cè)波長(zhǎng)。

1.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

基于錐形多模光纖的波長(zhǎng)探測(cè)系統(tǒng)如圖2(a)所示，各種類型激光光源(包括超連續(xù)譜光源NKT SuperK Extreme+單色器Acton SP2500、<10 MHz窄帶可調(diào)諧激光器等)通過(guò)特定光纖組合(固定偏振狀態(tài)和提高信噪比)將單一模式、偏振態(tài)固定的光信號(hào)傳輸?shù)揭逊庋b的錐形多模光纖中，確保初始振幅和相位不變。該信號(hào)在多模光纖中發(fā)生模式色散和干涉效應(yīng)，而錐形區(qū)域的引入破壞了全反射條件并將干涉圖案沿徑向輻射。可見(jiàn)光CCD相機(jī)(Photometrics CoolSNAP K4，像素?cái)?shù)：2 048×2 048，像素尺寸：7.4 μm×7.4 μm)前置放大倍數(shù)為17×、數(shù)值孔徑為0.4的顯微物鏡，在充分利用探測(cè)區(qū)域的同時(shí)捕捉盡可能多的圖像細(xì)節(jié)。筆記本電腦同時(shí)控制激光光源和可見(jiàn)光相機(jī)，在不同波長(zhǎng)處收集相應(yīng)干涉強(qiáng)度圖像進(jìn)行存儲(chǔ)。三維壓電掃描臺(tái)上的錐形多模光纖通過(guò)氫氣焰流拉制多模裸光纖(型號(hào)：AFS105/125y)制備，錐形區(qū)域總長(zhǎng)度為3 mm。如圖2(b)所示為輸入不同波長(zhǎng)的單色光信號(hào)(450 nm藍(lán)光和635 nm紅光)在不同錐形區(qū)域(光纖直徑：20，50，60和90 μm)形成的干涉圖像，具有很強(qiáng)的波長(zhǎng)和尺寸依賴性。

圖2 (a)基于錐形多模光纖波長(zhǎng)探測(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖；(b)不同區(qū)域和入射波長(zhǎng)的錐形光纖輻射圖像，標(biāo)尺：100 μm；傳輸模式數(shù)關(guān)于(c)光纖直徑和(d)入射波長(zhǎng)的變化曲線

為了進(jìn)一步分析解釋強(qiáng)度干涉圖像的內(nèi)在機(jī)制，如圖2(c)和(d)所示為傳輸模式數(shù)關(guān)于光纖直徑和輸入波長(zhǎng)的變化曲線。結(jié)合式(1)可知，較大直徑波導(dǎo)和較短入射波長(zhǎng)均會(huì)引入更多模式，可以增加高階模與基模的傳播常數(shù)差，在相同器件長(zhǎng)度下，積累到更大相位差ΔΦ=ΔβL(其中Δβ為傳播常數(shù)差，L為傳輸距離)。而器件的光譜分辨性能直接由可探測(cè)相位差決定，因此傳輸模式數(shù)直接影響了光強(qiáng)干涉圖像的細(xì)節(jié)程度，也反映了錐形光纖對(duì)波長(zhǎng)變化的靈敏度。在該波長(zhǎng)范圍內(nèi)，多模光纖對(duì)于不同波長(zhǎng)值支持模式數(shù)不同，會(huì)產(chǎn)生依賴波長(zhǎng)值的模式干涉圖案。在器件參數(shù)優(yōu)化方面，直徑較大的錐形區(qū)域在短波長(zhǎng)范圍具有更好的效果，這里我們主要選取直徑為40 μm、波長(zhǎng)為635 nm的參數(shù)組合，大約有350個(gè)模式被激發(fā)并相互干涉。

2 性能指標(biāo)測(cè)量與分析

如圖3所示，當(dāng)輸入波長(zhǎng)為635 nm時(shí)，在不同錐形區(qū)域(光纖直徑分別為40，50和60 μm)沿光纖軸線提取強(qiáng)度干涉圖像，明顯觀察到類似周期性分布。與高品質(zhì)因數(shù)的諧振腔不同，該結(jié)構(gòu)可對(duì)其工作帶寬內(nèi)的波長(zhǎng)分量進(jìn)行相位差積累，并形成細(xì)節(jié)豐富的頻譜特征，包括傳導(dǎo)諧振產(chǎn)生的尖銳峰值、法布里-珀羅諧振產(chǎn)生的寬譜背景變化和法諾干涉產(chǎn)生的不規(guī)則形狀等。這種頻譜特征與尺寸參數(shù)和信號(hào)波長(zhǎng)密切相關(guān)，可以視為單色光波長(zhǎng)信號(hào)的獨(dú)特空間編碼。隨著直徑的增大，一方面參與干涉的模式數(shù)急劇增多(增長(zhǎng)率約20個(gè)·μm-1)，另一方面反射路徑變長(zhǎng)，兩者都會(huì)導(dǎo)致空間周期變短。這里通過(guò)拍長(zhǎng)Δz=2π/Δβ進(jìn)行描述：由于Δβ/β遠(yuǎn)小于1，可以用準(zhǔn)直波導(dǎo)和線性增長(zhǎng)的傳播常數(shù)進(jìn)行模型近似，得到Δz為43 μm。在實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)顯微物鏡放大倍數(shù)和相機(jī)像素尺寸進(jìn)行計(jì)算，拍長(zhǎng)為41 μm，與估計(jì)值基本一致。雖然拍長(zhǎng)在微調(diào)信號(hào)波長(zhǎng)值時(shí)變化不明顯，但局部強(qiáng)度分布仍然有所改變(閃爍現(xiàn)象)，說(shuō)明充分利用圖像細(xì)節(jié)可以得到更高分辨率，勢(shì)必引入更多空間信息帶來(lái)計(jì)算冗余度。

圖3 不同錐形區(qū)域即光纖直徑(a)40 μm，(b)50 μm和(c)60 μm下，沿軸線提取的強(qiáng)度分布圖

由于模式干涉圖案具有強(qiáng)烈波長(zhǎng)依賴性，與整個(gè)工作帶寬對(duì)應(yīng)的校準(zhǔn)矩陣可以表征該器件的內(nèi)在特性。內(nèi)積相關(guān)性反映某個(gè)波長(zhǎng)與其他波長(zhǎng)產(chǎn)生的強(qiáng)度圖像間相似程度：歸一化后值為0說(shuō)明兩張圖像完全不相同；值為1說(shuō)明圖像完全相同；而值在0～1之間說(shuō)明有一定相似性。這從另一個(gè)角度衡量了器件的波長(zhǎng)探測(cè)能力。采用超連續(xù)譜光源+單色器組合的激光光源(帶寬1 nm)獲取粗略校準(zhǔn)矩陣，進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算后可以粗略實(shí)現(xiàn)納米級(jí)別的光譜分辨率。這里，對(duì)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)組合的錐形光纖進(jìn)行測(cè)量計(jì)算：如圖4(a)所示，光纖直徑越大，激發(fā)出的干涉模式越多，對(duì)波長(zhǎng)分辨能力就更強(qiáng)(對(duì)應(yīng)半高全寬越小)；如圖4(b)所示，探測(cè)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，會(huì)包含進(jìn)更多的空間通道作為采樣點(diǎn)，波長(zhǎng)分辨能力也越強(qiáng)，從實(shí)驗(yàn)上印證了理論模型的準(zhǔn)確性。在特定參數(shù)器件中，掃描信號(hào)波長(zhǎng)形成的模式干涉圖像“閃爍”現(xiàn)象說(shuō)明空間與波長(zhǎng)通道一一映射，內(nèi)積曲線應(yīng)當(dāng)具有較高信噪比。如果選用窄帶信號(hào)光源、克服工藝不完美性和提升可見(jiàn)光相機(jī)性能(如降低像素尺寸、提高量子效率等)，通過(guò)內(nèi)積運(yùn)算即可達(dá)到最優(yōu)分辨率。綜合考慮波長(zhǎng)計(jì)各項(xiàng)性能指標(biāo)，選擇測(cè)量直徑為40 μm和長(zhǎng)度為500 μm的光纖區(qū)域。

圖4 測(cè)試波長(zhǎng)選用635 nm時(shí)，內(nèi)積曲線與錐形光纖(a)直徑和(b)長(zhǎng)度的關(guān)系

采用窄帶可調(diào)諧激光器634.80～639.40 nm進(jìn)行步長(zhǎng)為10 pm的波長(zhǎng)掃描獲得精細(xì)校準(zhǔn)矩陣。隨機(jī)選取其中兩個(gè)波長(zhǎng)并在不同功率下收集強(qiáng)度圖像，經(jīng)過(guò)主成分分析算法可以準(zhǔn)確探測(cè)出分立的單色光信號(hào)，如圖5(a)所示，探測(cè)結(jié)果與校準(zhǔn)波長(zhǎng)基本吻合。光譜分辨率是衡量光譜器件辨識(shí)鄰近波長(zhǎng)能力的重要指標(biāo)，定義為重建單色光信號(hào)的半高全寬(FWHM)。在此基礎(chǔ)上，選取兩個(gè)相鄰波長(zhǎng)的強(qiáng)度圖像并逐漸增加波長(zhǎng)間隔，圖像疊加后與精細(xì)校樣矩陣進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算得到如圖5(b)，根據(jù)瑞利判據(jù)得到分辨率為20 pm，證明該器件具有皮米量級(jí)的分辨能力。將一組待測(cè)單色光信號(hào)同時(shí)輸入該器件和商用光譜儀(Princeton Instrument SP2500, 分辨率0.26 nm)中，前者通過(guò)兩步法(內(nèi)積相關(guān)性運(yùn)算和主成分分析算法)探測(cè)波長(zhǎng)后，與后者測(cè)量結(jié)果(校準(zhǔn)波長(zhǎng))進(jìn)行比較，如圖5(c)所示：在實(shí)驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中，設(shè)置激光器632.0～638.0 nm范圍、以0.1 nm為步長(zhǎng)進(jìn)行波長(zhǎng)掃描，將波長(zhǎng)計(jì)測(cè)量結(jié)果作為探測(cè)波長(zhǎng)并與校準(zhǔn)波長(zhǎng)進(jìn)行比較，兩者吻合并保持理想的線性關(guān)系(為了清楚起見(jiàn)，62個(gè)波長(zhǎng)值中只選擇奇數(shù)序號(hào)波長(zhǎng)值進(jìn)行展示)。對(duì)于波長(zhǎng)結(jié)果的認(rèn)定，定義差值超過(guò)分辨率一半即10 pm即為探測(cè)誤差，由測(cè)量結(jié)果得到波長(zhǎng)探測(cè)準(zhǔn)確率為96.7%，如圖5(d)所示，誤差主要源于激光器中心波長(zhǎng)漂移和器件工藝缺陷。

圖5 (a)兩個(gè)分立單色光信號(hào)的探測(cè)；(b)波長(zhǎng)計(jì)分辨率為20 pm；(c)探測(cè)波長(zhǎng)與校準(zhǔn)波長(zhǎng)的關(guān)系曲線；(d)波長(zhǎng)探測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析圖

3 光譜探測(cè)應(yīng)用探討

基于錐形多模光纖波長(zhǎng)計(jì)的工作帶寬由多模光纖和CCD探測(cè)范圍共同決定。受限于激光光源種類和參數(shù)，實(shí)驗(yàn)中僅選擇630～640 nm波長(zhǎng)范圍進(jìn)行波長(zhǎng)探測(cè)。考慮到多模光纖傳輸窗口和硅材料探測(cè)曲線，采用超連續(xù)譜光源與單色器組合對(duì)該范圍進(jìn)行步長(zhǎng)為1 nm的粗略掃描，每個(gè)波長(zhǎng)值均得到單峰內(nèi)積相關(guān)性曲線，說(shuō)明在該范圍內(nèi)模式干涉圖案與波長(zhǎng)一一映射，工作帶寬達(dá)到400～1 100 nm范圍。得益于內(nèi)積相關(guān)性和主成分分析聯(lián)合算法，該錐形光纖波長(zhǎng)計(jì)不必掃描感興趣區(qū)域以外的精細(xì)波長(zhǎng)，減少了近50倍數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量和重建時(shí)間(=1 μm/20 nm)，探測(cè)效率(與波長(zhǎng)探測(cè)時(shí)間成反比)較常規(guī)重建算法提高近50倍[15-18]。與寬譜連續(xù)信號(hào)相比，分立窄帶信號(hào)僅有有限頻譜通道，重建時(shí)不易遺漏信號(hào)分量，該器件更加適合波長(zhǎng)探測(cè)的應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，器件的機(jī)械性能、溫度特性和可重復(fù)性至關(guān)重要。前兩者可以通過(guò)固定封裝和反饋控制進(jìn)行克服，而后者主要來(lái)自校準(zhǔn)光路的漂移和散焦。將1，5和12 h后掃描得到的校準(zhǔn)矩陣與初始矩陣進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，得到如圖6所示的內(nèi)積帶寬曲線。較長(zhǎng)時(shí)間后，光路未經(jīng)校準(zhǔn)的半高全寬增加0.1 nm(變化率為13.8%)，而經(jīng)校準(zhǔn)僅增加0.01 nm(2.5%)，說(shuō)明可重復(fù)性能夠通過(guò)自動(dòng)校準(zhǔn)系統(tǒng)或?qū)⒍嗄９饫w與探測(cè)器陣列相互集成得到有效改善。

圖6 內(nèi)積帶寬隨時(shí)間變化規(guī)律

4 結(jié) 論

在基于錐形多模光纖的波長(zhǎng)計(jì)中，證實(shí)了內(nèi)積相關(guān)性運(yùn)算可以初步實(shí)現(xiàn)粗略波長(zhǎng)探測(cè)，而進(jìn)一步采用主成分分析法可以實(shí)現(xiàn)20 pm的精細(xì)探測(cè)。利用搭建的顯微共焦成像系統(tǒng)，在微納尺度器件中不僅具有較高波長(zhǎng)探測(cè)精度，運(yùn)算效率也較傳統(tǒng)算法大大提升。

強(qiáng)度分布圖像中的噪聲主要包括散粒噪聲和暗噪聲兩種成分。對(duì)于散粒噪聲，假設(shè)探測(cè)信號(hào)在某波長(zhǎng)處光子數(shù)為Np，則在每個(gè)頻譜通道中光子平均數(shù)為Np/N，總散射噪聲功率為兩者乘積平方根，這與光柵光譜儀的散射功率相同；而對(duì)于暗噪聲，需要在所有空間通道進(jìn)行積累，對(duì)光譜重建作用與信號(hào)強(qiáng)弱、探測(cè)深度等因素密切相關(guān)。將基于錐形多模光纖波長(zhǎng)計(jì)的性能向極限推進(jìn)，可行的途徑有兩個(gè)：通過(guò)模式干涉圖案去相關(guān)、降低實(shí)驗(yàn)噪聲和誤差后處理等手段進(jìn)一步優(yōu)化探測(cè)算法；改善可見(jiàn)光相機(jī)性能，如降低像素尺寸和探測(cè)噪聲、提高量子探測(cè)效率等，這將是下一步研究方向。由于錐形多模光纖側(cè)面泄露的信號(hào)能量?jī)H占總?cè)肷淠芰康?0%～30%，在基于光纖連接和傳輸?shù)耐ㄐ畔到y(tǒng)中，可通過(guò)剝皮、拉錐和成像三個(gè)步驟進(jìn)行波長(zhǎng)實(shí)時(shí)探測(cè)。