李偉 柯濤

（中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所 揚(yáng)州 225002）

1 引言

相比于機(jī)械掃描雷達(dá)通過伺服轉(zhuǎn)動(dòng)控制雷達(dá)波束指向的變化，相控陣?yán)走_(dá)通過控制多個(gè)天線單元的相位變化進(jìn)行空域合成，實(shí)現(xiàn)波束的空域掃描。雷達(dá)天線一般要求具有強(qiáng)方向性、窄波束和高增益特點(diǎn)。但在某些特殊應(yīng)用場(chǎng)合，要求雷達(dá)天線具有寬波束進(jìn)行空間廣域目標(biāo)搜索［1～3］。

在相控陣天線中，可以改變陣元數(shù)、陣元空間位置、激勵(lì)幅度和激勵(lì)相位四個(gè)參數(shù)獲得期望波束方向圖。在天線設(shè)計(jì)中，陣元空間位置一經(jīng)選定固定不變。為了通過改變陣元數(shù)以達(dá)到改變波束主瓣寬度的目的，文獻(xiàn)［4］通過設(shè)計(jì)開關(guān)矩陣對(duì)不同的發(fā)射陣元進(jìn)行通斷，從而改變了陣元數(shù)，同時(shí)相對(duì)的陣元空間位置也發(fā)生了改變。然而開關(guān)矩陣的使用存在以下四個(gè)缺點(diǎn)：1）大型射頻開關(guān)矩陣體積大，工程實(shí)現(xiàn)難度大，可靠性低；2）開關(guān)矩陣的使用降低了陣元的利用率，導(dǎo)致天線發(fā)射增益下降；3）不能任意倍數(shù)展寬波束；4）增加了系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，也增加了系統(tǒng)插損。通過幅度加權(quán)的方式實(shí)現(xiàn)波束展寬，需要雷達(dá)發(fā)射機(jī)的功率放大器工作在線性區(qū)，導(dǎo)致發(fā)射效率低。因此，發(fā)射波束通常僅進(jìn)行相位加權(quán)而幅度采用均勻加權(quán)（即不進(jìn)行幅度加權(quán)）。傳統(tǒng)的僅相位加權(quán)波束展寬方法，利用平方、立方相位差展寬波束主瓣，存在主瓣內(nèi)凹口、副瓣電平惡化嚴(yán)重等缺點(diǎn)。為解決以上問題，可采用智能優(yōu)化算法如遺傳算法［1～2］、粒子群優(yōu)化算法［5］、差分進(jìn)化算法［6～7］等，缺點(diǎn)是計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)和/或收斂到非最優(yōu)解。文獻(xiàn)［8］基于級(jí)數(shù)展開的方法減少了優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)，但是仍然需要遺傳算法等智能優(yōu)化算法求解最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)。

為解決僅相位加權(quán)波束展寬問題，本文提出了一種恒模約束下的方向圖逼近算法。由于陣列波束主瓣寬度與陣列孔徑成反比，改變陣元間距能夠獲得任意倍數(shù)的展寬波束。本文在相同陣元數(shù)條件下構(gòu)建具有展寬波束寬度的均勻加權(quán)理想波束方向圖，通過方向圖逼近方法獲得待優(yōu)化的波束方向圖，通過施加旁瓣約束可獲得低旁瓣特性。由于優(yōu)化問題的非凸性，重構(gòu)待優(yōu)化參數(shù)，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為恒模約束下的二次規(guī)劃問題，然后利用半正定松弛法求解，得到了僅相位加權(quán)的發(fā)射展寬波束，驗(yàn)證了本文所提算法的有效性和正確性。

2 幅相加權(quán)波束展寬方法

均勻線性陣列的導(dǎo)向矢量可以寫為

其中，θ0表示波束指向與陣列法線方向之間的夾角，d表示陣元間距，λ表示電磁波的波長(zhǎng)，N表示陣元數(shù)，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。均勻線陣半功率波束寬度近似為［9］

根據(jù)優(yōu)化問題解的等價(jià)性，式（3）的無約束優(yōu)化問題可等價(jià)為

等式約束下的優(yōu)化問題可通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，采用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。引進(jìn)拉格朗日乘子ζ，構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)如下所示：

其中，0表示N×1維的全0列向量。通過求解上式可得最優(yōu)權(quán)系數(shù)向量為

將wopt代入約束條件可解得ζ為

代入式（7），得波束展寬的最優(yōu)權(quán)為

3 僅相位加權(quán)波束展寬方法

為了采用僅相位加權(quán)展寬波束，應(yīng)滿足約束條件：

其中，t＞0，t∈R。因此，恒模約束下的最小二乘波束展寬數(shù)學(xué)描述為

由于式（10）約束條件的非凸性，上述優(yōu)化問題不能夠直接使用凸優(yōu)化方法進(jìn)行求解。將目標(biāo)函數(shù)寫成矩陣相乘的形式，即

則式（11）等價(jià)為

表1 隨機(jī)化方法

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證算法的有效性和正確性，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置為32單元的等間距均勻線性陣列，陣元間距設(shè)置為最小波長(zhǎng)的一半，波束指向?yàn)?°，即陣列法線方向，則理想均勻加權(quán)波束主瓣3dB波束寬度為3.175°。假設(shè)波束展寬1.5倍，以下分別分析幅相加權(quán)和僅相位加權(quán)方法波束性能，權(quán)重因子α取0.1。

4.1 幅相加權(quán)波束展寬

圖1（a）給出了紅色實(shí)線表示的通過幅相加權(quán)波束展寬方法獲得的展寬波束方向圖。作為對(duì)比，圖中也給出了黑色虛線表示的均勻加權(quán)波束方向圖、藍(lán)色點(diǎn)虛線表示的理想展寬波束方向圖和黑色點(diǎn)線表示的文獻(xiàn)［4］方法獲得的展寬波束方向圖。圖1（b）是其細(xì)節(jié)示意圖。由于展寬倍數(shù)不能被陣元數(shù)整除，文獻(xiàn)［4］方法不能夠獲得嚴(yán)格一致的期望展寬波束主瓣。從圖中可以看出，幅相加權(quán)展寬波束主瓣和理想展寬波束主瓣近似重合，表明該方法能夠獲得期望的展寬波束，同時(shí)具有較低的旁瓣電平，在-18dB以下。但是，所獲得的陣元加權(quán)系數(shù)幅度變化范圍大，如圖2所示，在發(fā)射機(jī)中需要線性功率放大器，導(dǎo)致發(fā)射效率低。

圖1 幅相加權(quán)波束展寬

圖2 陣元幅度分布

4.2 僅相位加權(quán)波束展寬

圖3（a）、（b）、（c）和（d）分別給出了采用本文僅相位加權(quán)方法獲得的展寬倍數(shù)為1.2、1.5、1.8和2的波束方向圖，如圖中藍(lán)色點(diǎn)虛線所示。作為對(duì)比，圖中也給出了紅色實(shí)線表示的理想展寬波束和黑色虛線表示的均勻加權(quán)波束。從圖中可以看出，僅相位加權(quán)方法獲得的波束方向圖具有良好的主瓣展寬性能，滿足實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要求。

圖3 僅相位加權(quán)波束展寬

然而，從圖中可以看出，僅相位加權(quán)展寬波束方向圖最大旁瓣電平較高，分別為-11dB、-7dB、-3dB和-1dB，大大限制了實(shí)際應(yīng)用。為解決以上問題，增大主瓣約束范圍，將最大旁瓣電平向端射方向平移，通過陣列天線單元本身的低旁瓣性能進(jìn)行抑制。波束方向圖如圖4所示，-25°～25°范圍內(nèi)的旁瓣電平在-10dB以下。

圖4 僅相位加權(quán)波束展寬（寬主瓣約束）

5 結(jié)語

本文提出了一種恒模約束下的方向圖逼近算法解決僅相位加權(quán)波束展寬問題。在相同陣元數(shù)條件下構(gòu)建具有展寬波束寬度的均勻加權(quán)理想波束方向圖，通過方向圖逼近方法獲得待優(yōu)化的波束方向圖，通過施加旁瓣約束可獲得低旁瓣特性。通過數(shù)值仿真驗(yàn)證，僅相位加權(quán)波束方向圖具有良好的主瓣展寬性能，但最大旁瓣電平較高。為了滿足實(shí)際應(yīng)用要求，通過增大主瓣約束范圍，在-25°～25°范圍內(nèi)獲得了-10dB以下的旁瓣電平。本文方法適合發(fā)射波束僅相位加權(quán)的實(shí)際應(yīng)用。