陳蘇浩， 劉小洋， 謝春麗， 王書芹

(江蘇師范大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模仿生物大腦神經(jīng)特征而模擬出來的一種算法模型，它具有自適應(yīng)、自組織等特點，被廣泛應(yīng)用于圖像識別、信息安全、語音處理以及生物研究等領(lǐng)域.其中，耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步作為網(wǎng)絡(luò)群集行為的一種重要表現(xiàn)，受到了廣泛的關(guān)注，已成為當(dāng)前學(xué)術(shù)界研究的熱點.目前，常見的同步有完全同步、漸進同步及指數(shù)同步等[1].

值得注意的是XU C.等[1]所討論的同步是當(dāng)時間趨于無窮大時系統(tǒng)才能趨于同步，其在實際應(yīng)用中具有一定的局限性.人們通常希望同步目標(biāo)能夠在有限的時間內(nèi)達到.例如，LIU X. Y.等[2]研究了具有連續(xù)或非連續(xù)激活函數(shù)的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題，在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之下，借助有限時間穩(wěn)定性理論，獲得了當(dāng)激活函數(shù)與控制器都不連續(xù)情形下的有限時間同步判據(jù).

有限時間同步同樣存在一定的局限性，即系統(tǒng)達到同步狀態(tài)的時間值依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，這大大限制了其使用范圍.尤其是對眾多大型的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其初始狀態(tài)往往很難測量或獲得.因此如何確定收斂時間的上界，讓網(wǎng)絡(luò)同步的時間控制在給定的范圍內(nèi)便成為了一個比較重要且現(xiàn)實的問題.后來人們提出了固定時間同步的概念[3].例如，WANG L. M.等[4]研究了時滯非連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局固定時間同步.CAO J. D.等[5]研究了時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時間同步,在Lyapunov穩(wěn)定性理論的框架下，獲得了主從憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時間同步的充分性條件，并估計出了收斂時間的具體上界.

另一方面，在實際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間既可能存在合作關(guān)系，也可能存在競爭關(guān)系，這樣的網(wǎng)絡(luò)被稱為符號網(wǎng)絡(luò)，對應(yīng)的同步稱為二分同步.目前對二分網(wǎng)絡(luò)的同步研究已經(jīng)取得一些成果.ZHAI S. D.等[6]研究了具有競爭關(guān)系及切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合非線性系統(tǒng)二分同步.LIU F.等[7]研究了耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間與固定時間二分同步.

文中將考慮激活函數(shù)為非連續(xù)的耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在外部干擾下的固定時間二分同步問題.基于固定時間穩(wěn)定性理論，獲得這類網(wǎng)絡(luò)二分同步的充分性條件，并給出相應(yīng)的仿真例子，模擬驗證所得理論結(jié)果的正確性和有效性.

1 網(wǎng)絡(luò)模型與預(yù)備知識

1.1 符號圖

對于符號圖G,如果存在2個集合Q1和Q2滿足Q1∩Q2=?,Q1∪Q2=Q,?qi,qj∈Qk,k∈{1,2},aij≥0并且?qi∈Qk,qj∈Ql,k≠l(k,l∈{1,2}),有aij≤0,那么稱G為結(jié)構(gòu)平衡圖，否則稱之為結(jié)構(gòu)非平衡圖.

引理1[8]對于結(jié)構(gòu)平衡圖,存在對角矩陣W=diag{w1,w2,…,wN}(wi∈{1,-1},?i∈IN),使得矩陣WAW中的所有元素非負(fù).

1.2 集值李導(dǎo)數(shù)

對于系統(tǒng)dx/dt=g(x),如果g(·)是非連續(xù)函數(shù),那么g的Filippov集值映射定義為F(g(x))=∩δ>0∩μ(Ω)K[g(B(x,δ)Ω]，其中K(Φ)是集合Φ的凸包，并且B(x,δ)={y:‖y-x‖≤δ},μ(Ω)是集合Ω?Rn的Lebesgue測度.

令ΞU?Rn表示函數(shù)U(x)所有不可導(dǎo)的點的集合，則函數(shù)U的廣義梯度?U(x):Rn→B(Rn)定義為?U(x)=co{limi→∞?U(xi):xi→x,xi?M∪ΞU}, 其中M?Rn是零測度集，co(·)表示凸包.

函數(shù)U(x)關(guān)于g在x處的集值李導(dǎo)數(shù)定義為LgU(x)={l∈R|?φ∈F(g(x)),φTφ=l,?φ∈?U(x)}.

1.3 模型介紹

考慮一類由N個節(jié)點耦合而成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其第i個節(jié)點(i=1,2,…,N)的動力學(xué)方程如下:

(1)

式中：xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T是t時刻第i個節(jié)點的狀態(tài)向量；C=diag{c1,c2,…,cn}是n階正定對角矩陣；H,B是n×n維的常數(shù)矩陣；f(xi(t))=(f(xi1(t)),f(xi2(t)),…,f(xin(t)))T,g(xi(t-τ))=(g(xi1(t-τ)),g(xi2(t-τ)),…,g(xin(t-τ)))T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)，τ為網(wǎng)絡(luò)時滯；J是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入；σ是節(jié)點間的耦合強度；aij是節(jié)點i與節(jié)點j之間的連邊，d(t)為有界外部干擾,滿足‖d(t)‖≤d,d為正常數(shù),ui(t)是待設(shè)計的控制協(xié)議.

耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的同步目標(biāo)為

(2)

式中：s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T∈Rn為同步目標(biāo)軌道.

假設(shè)1函數(shù)f滿足以下條件:

1) ?x∈Rn,f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x);

2) 對于任意g(x)∈F[f(x)],g(y)∈F[f(y)],有sup‖g(x)-g(y)‖≤h1‖x-y‖+h2,其中h1,h2為正常數(shù).

2 主要結(jié)論

本節(jié)將在結(jié)構(gòu)平衡圖與結(jié)構(gòu)非平衡圖下，分別討論耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的固定時間二分同步問題.

首先，考慮在結(jié)構(gòu)平衡圖下，耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)固定時間同步到目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)(2).由引理1可知，存在對角矩陣W=diag{w1,w2,…,wN}(wi∈{-1,1}),使得WAW>0,且wiwjaij=|aij|,wiwj=sgn(aij),?i,j∈IN.此時，耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)實現(xiàn)固定時間二分同步是指存在給定時間T，使得當(dāng)t→T時有xi(t)→wis(t), 且當(dāng)t≥T時，xi(t)=wis(t).

令ei(t)=wixi(t)-s(t), 針對系統(tǒng)(1),文中設(shè)計控制器如下：

ui(t)=-k1sgn[wiei(t)]-k2sgnα[wiei(t)]-

k3[wiei(t-τ)],

(3)

式中：k1>0,k2>0,k3>0為控制增益；sgnα(x)=(sgnx)|x|α；α>1為冪參數(shù).對?i∈IN,令ηi(t)=wif(xi(t))-f(s(t)),ξi(t-τ)=wig(xi(t-τ))-g(s(t-τ)).

將控制器(3)代入網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)和(2),可得誤差系統(tǒng)：

k1sgn[ei(t)]-k2sgnα[ei(t)]-k3ei(t-τ).

(4)

證明對于結(jié)構(gòu)平衡圖G, 由引理1可得

(5)

LδV1(t)=[?V1(t)]·F[δ(t)]?

(6)

(7)

基于假設(shè)1, 可得

(8)

類似地, 有

(9)

將式(7)-(9)代入式(6)可得

(10)

進一步可得

(11)

下面對于φ正負(fù)性進行分類討論.

情形1如果φ≥0，則

(12)

基于引理3及α>1,系統(tǒng)(1)在固定時間內(nèi)達到二分同步，其收斂時間上界估計如下：

情形2如果φ<0，則

(13)

基于引理4，系統(tǒng)(1)可以在固定時間內(nèi)達到二分同步，其收斂時間上界估計如下：

接下來,討論結(jié)構(gòu)非平衡圖的情形,此時wi=0,即xi(t)→wis(t)=0.二分同步問題便退化為常規(guī)的穩(wěn)定性問題.對此，設(shè)計如下控制器:

ui(t)=-k1sgn[xi(t)]-k2sgnα[xi(t)]-

k3[xi(t-τ)].

(14)

定理2若耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)在結(jié)構(gòu)非平衡圖下滿足定理1的條件,則該網(wǎng)絡(luò)在控制器(14)下達到固定時間穩(wěn)定.

(15)

對于結(jié)構(gòu)非平衡圖，可知:

(sgnaij)xi(t)]=

(sgnaij)xi(t)]SIGN[xj(t)-(sgnaij)xi(t)]=

(sgnaij)xi(t)]SIGN[xj(t)-(sgnaij)xi(t)]=

(16)

將式(16)代入式(15)可得

(17)

(18)

類似于定理1，下面根據(jù)φ的正負(fù)性進行討論.

情形1如果φ≥0，則

基于引理4及α>1,系統(tǒng)(1)將在固定時間內(nèi)達到穩(wěn)定，其收斂時間上界估計如下：

由引理4可知，系統(tǒng)(1)將在固定時間內(nèi)達到穩(wěn)定，其收斂時間上界估計如下：

需要指出的是：文獻[7]考慮了耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二分同步問題，文中則將文獻[7]中的連續(xù)激活函數(shù)推廣至非連續(xù)的情形，并進一步考慮了耦合網(wǎng)絡(luò)在外部干擾下的固定時間同步問題，結(jié)論更具有一般性.

3 數(shù)值仿真

圖1 結(jié)構(gòu)平衡圖

圖2 結(jié)構(gòu)平衡圖下的固定時間二分同步

例2考慮耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)在結(jié)構(gòu)非平衡圖(見圖3)下的固定時間穩(wěn)定問題，節(jié)點初始狀態(tài)為x(0)=(4,3,5,4,-3,-2,-1,0,-6,-5,9,8)T,其他條件與例1相同.由定理2可知，耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)在結(jié)構(gòu)非平衡圖下達到固定時間穩(wěn)定,其收斂時間上界T2=0.239，仿真結(jié)果如圖4所示.

圖3 結(jié)構(gòu)非平衡圖

圖4 結(jié)構(gòu)非平衡圖下的固定時間穩(wěn)定

4 結(jié) 論

文中主要研究了具有外部干擾的耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時間二分同步問題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，通過設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂茀f(xié)議確保了具有非連續(xù)激活函數(shù)的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)平衡圖與結(jié)構(gòu)非平衡圖下均能夠?qū)崿F(xiàn)固定時間內(nèi)達到二分同步，并分別給出了相應(yīng)的收斂時間上界.最后通過一些仿真實例驗證了所設(shè)計算法的有效性及理論結(jié)果的正確性.