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        一道三元分式函數(shù)值域問題的反思及推廣

        2021-11-10 06:17:46廣州大學(xué)附屬中學(xué)510006朱驚濤
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510006) 朱驚濤

        廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (510006) 蔡 飄

        該問題相當(dāng)于求函數(shù)f(x,y,z)的值域,其標(biāo)準(zhǔn)答案如下:

        反思該答案,比較難以理解的是求極限過程中為何要令z=1,筆者經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn),其實(shí)不一定要令z=1,令z等于任何一個(gè)常數(shù)都是可以的,其思想方法就是固定z,然后分別讓x、y趨向兩邊,從而得到f(x,y,z)取值的一種極限狀態(tài).考慮到用降元法解決多元問題的數(shù)學(xué)思想,筆者給出該問題的另一種解法:

        結(jié)論1 令min{a,b,c}表示a,b,c中的最小值,max{a+b,a+c,b+c}表示a+b,a+c,b+c中的最大值,則函數(shù)f(x,y,z)的值域?yàn)?min{a,b,c},max{a+b,a+c,b+c}).

        ①當(dāng)t1→0,t2→0時(shí),g(t1,t2)→a+b;

        ②當(dāng)t1→+∞,t2→+∞時(shí),g(t1,t2)→c;

        ⑥當(dāng)t1→+∞,t2→0時(shí),可令t1t2→0,此時(shí)g(t1,t2)→b;

        ⑦當(dāng)t1→+∞,t2→0時(shí),可令t1t2→+∞,此時(shí)g(t1,t2)→b+c;

        該結(jié)論還可以推廣到n元的情形,即:

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