韓克禎，許貞珂，張?jiān)娊?，柳春林，韓運(yùn)奧，秦華

(山東理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

激光諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如腔鏡的曲率半徑、各腔鏡之間的距離、腔鏡折疊角度等對(duì)激光器的穩(wěn)定性以及腔內(nèi)振蕩光斑的大小有直接影響，因此諧振腔參數(shù)的選取是激光技術(shù)中的重要環(huán)節(jié)。對(duì)于參數(shù)較少的兩鏡腔，通過(guò)簡(jiǎn)單的嘗試即可以獲得滿意的腔參數(shù)。而對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多參數(shù)諧振腔，如超快技術(shù)中的全固態(tài)鎖模激光器，由于參數(shù)較多，人們一般會(huì)參考已有的腔型結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行試探性改動(dòng)，以期獲得所需要的諧振腔結(jié)構(gòu)參數(shù)。當(dāng)需要改動(dòng)的參數(shù)較多時(shí)，靠人工嘗試法尋找一組合適的諧振腔參數(shù)變得非常困難。因此,將計(jì)算機(jī)智能優(yōu)化算法引入激光諧振腔設(shè)計(jì)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

在眾多的優(yōu)化算法中，仿生群體算法是一種有趣而高效的全局優(yōu)化算法，如螞蟻群算法、粒子群算法等。根據(jù)其優(yōu)化機(jī)理，螞蟻群算法特別適合求解離散空間的優(yōu)化問(wèn)題，如旅行商路徑規(guī)劃問(wèn)題[1]；而諧振腔參數(shù)是連續(xù)變化的，其優(yōu)化過(guò)程與粒子群算法的機(jī)制更為契合。我們已經(jīng)嘗試?yán)昧Ｗ尤核惴ㄟM(jìn)行諧振腔的設(shè)計(jì)，并證明了該算法在多參數(shù)諧振腔設(shè)計(jì)中的有效性[2]。但是粒子群算法每次迭代都需要計(jì)算大量粒子的適應(yīng)度函數(shù)值，并且要在大量粒子之間進(jìn)行信息交換和對(duì)比，計(jì)算量較大、程序運(yùn)行速度慢。2017年，中國(guó)學(xué)者提出一種新的仿生算法—天牛須搜索算法，其最典型的特點(diǎn)就是優(yōu)化過(guò)程中只需要一個(gè)搜索個(gè)體，計(jì)算量大大減小，尋優(yōu)速度快，并且程序的編寫和調(diào)制非常簡(jiǎn)單[3-4]。該算法自提出之后就在眾多領(lǐng)域取得應(yīng)用，如微網(wǎng)格能量管理[5]、風(fēng)暴潮災(zāi)害預(yù)測(cè)[6]、電液位置伺服控制系統(tǒng)PID控制器優(yōu)化[7]、艦艇防撞預(yù)警[8-9]、機(jī)器人路徑規(guī)劃[10]、室內(nèi)環(huán)境定位[11]等，但目前還沒(méi)有將其用于激光諧振腔設(shè)計(jì)的報(bào)導(dǎo)。因此，利用天牛須搜索算法進(jìn)行多參數(shù)復(fù)雜激光諧振腔的設(shè)計(jì)是很有意義的嘗試和探索。

1 天牛須搜索算法簡(jiǎn)介

天牛須搜索算法是受到天牛覓食的啟發(fā)而提出來(lái)的智能仿生算法。其仿生原理為[3-4]: 天牛有兩只長(zhǎng)長(zhǎng)的觸角，在其外出覓食時(shí)，如果左邊觸角接收的氣味強(qiáng)度比右邊大， 那下一步天牛就會(huì)向左邊移動(dòng)， 反之天牛會(huì)向右邊移動(dòng)。通過(guò)不斷的探測(cè)、比較和移動(dòng)，天牛最終能夠找到食物最豐富的地方。與其他仿生智能算法如螞蟻群算法、粒子群算法相比，天牛須算法中的搜索個(gè)體僅有一個(gè)，程序的計(jì)算量小，代碼編寫簡(jiǎn)單，尋優(yōu)速度較快。

2 天牛須算法用于諧振腔設(shè)計(jì)

2.1 天牛須算法優(yōu)化諧振腔的步驟

利用天牛須搜索算法智能化設(shè)計(jì)全固態(tài)諧振腔的步驟描述如下：

1)將待優(yōu)化的諧振腔參數(shù)，包括腔鏡反射面的曲率半徑R1，R2，…，RM(M為待優(yōu)化腔鏡個(gè)數(shù))，相鄰光學(xué)元件距離l1，l2，…，lN(N為待優(yōu)化距離參數(shù)個(gè)數(shù))，以及腔鏡折疊角度θ1，θ2，…，θQ(Q為待優(yōu)化的折疊角度個(gè)數(shù))的組合作為天牛須搜索算法中天牛所在的初始化隨機(jī)位置矢量X0= [R1,R2, …,RM,l1,l2, …,lN,θ1,θ2, …,θQ]，其中每一個(gè)參數(shù)的數(shù)值在各自的待搜索范圍內(nèi)隨機(jī)取值；記錄該初始位置X0為當(dāng)前最佳位置posBest，記錄該初始位置對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)的值F(X0)為當(dāng)前最佳值fBest。

適應(yīng)度函數(shù)F(X0)的計(jì)算過(guò)程如下：

對(duì)于駐波腔，根據(jù)ABCD傳輸矩陣法計(jì)算諧振腔內(nèi)各點(diǎn)在弦切面和弧矢面內(nèi)的往返矩陣，對(duì)于行波腔，計(jì)算對(duì)應(yīng)的單程傳輸矩陣，然后計(jì)算諧振腔在弦切面和弧矢面內(nèi)的穩(wěn)定性判據(jù)因子和待考察點(diǎn)的本征振蕩光斑大小，最后根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)確定搜索算法的適應(yīng)度函數(shù)為：

(1)

式(1)中的下標(biāo)tan和sag分別表示弦切面和弧矢面，A和D表示最終傳輸矩陣中的第1個(gè)和第4個(gè)矩陣元素，ωi和ωi,goal表示第i個(gè)考察位置處的本征振蕩光斑與設(shè)計(jì)目標(biāo)的半徑大小，求和公式中的N表示考察位置的總個(gè)數(shù)。

2)生成一個(gè)方向隨機(jī)的單位向量b0作為天牛的兩條須的搜索方向，該單位向量的維度跟上一步(1)中X的維度相同。

3)確定天牛須初始須長(zhǎng)d0，則天牛的左右兩須頂點(diǎn)的位置為：

Xleft=X0-d0·b0

Xright=X0+d0·b0

(2)

需要指出的是，上式中單位向量b0的方向是隨機(jī)的，并且d0的數(shù)值盡量大一些，目的是增加搜索的隨機(jī)性和從局部極小值的躍出能力。

4)比較左右兩須頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)F的大小關(guān)系，并決定下一步天牛的前進(jìn)位置：

X1=X0+step0·b0·sign(F(Xright)-F(Xleft))

(3)

其中step0是天牛的初始移動(dòng)步長(zhǎng)，該數(shù)值取值盡可能大一些。sign是數(shù)學(xué)中的符號(hào)函數(shù)。

比較F(X0)與F(X1)，如果F(X0)

5) 假設(shè)算法進(jìn)行到第k步(k≥1), 此時(shí)天牛的位置、兩須搜索隨機(jī)單位方向、左右兩須的位置和移動(dòng)步長(zhǎng)分別為Xk，bk，Xleft k，Xright k和stepk，那么在k+1步時(shí)，天牛的位置更新為：

Xk+1=Xk+stepk·bk·sign(F(Xright k)-

F(Xleft k))

(4)

比較F(Xk+1)與F(Xk)，如果F(Xk+1)

為了保證搜索過(guò)程早期能夠跳出局部最優(yōu)而后期又能夠收斂于符合目標(biāo)的全局最優(yōu)，天牛的須長(zhǎng)和步長(zhǎng)均隨迭代次數(shù)k而變化，具體迭代公式為：

(5)

其中Iter表示程序設(shè)定的總迭代次數(shù)，dIter表示在最后一次迭代時(shí)天牛的觸須長(zhǎng)度。迭代公式(5)表明，搜索初期天牛的位置變化步長(zhǎng)較大，容易從局部最優(yōu)值跳出；搜索后期步長(zhǎng)變小，實(shí)現(xiàn)精細(xì)搜索，可以收斂于全局最優(yōu)值。

6)如果程序達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)或者適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，則天牛須搜索過(guò)程終止，posBest即為搜索得到的諧振腔參數(shù)組合。

2.2 天牛須算法設(shè)計(jì)諧振腔實(shí)例

以激光鎖模技術(shù)中常用的五鏡W型諧振腔的設(shè)計(jì)為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。待設(shè)計(jì)腔型結(jié)構(gòu)如圖1所示。腔參數(shù)有：五個(gè)鏡片的曲率半徑R1～R5，激光晶體長(zhǎng)度lg，腔鏡之間、腔鏡與晶體之間的距離l1,l21,l22,l3,l4,以及腔鏡之間折疊角2θ2、2θ3、2θ4等。一般地，輸出耦合鏡M1采用平面，即R1=；腔鏡M5為反射式可飽和吸收體Sesam，一般也是平面，R5=；為了不影響泵浦激光的會(huì)聚效果，腔鏡M3通常取為平面，R3=；激光晶體Nd:YVO4的尺寸為336 mm3，其Nd3+摻雜原子濃度為0.3%，切割方向?yàn)閍軸，振蕩激光波長(zhǎng)1 064 nm，則其折射率為n=2.168[2]。設(shè)計(jì)穩(wěn)定工作的泵浦功率為20 W，實(shí)驗(yàn)測(cè)定該功率下激光晶體的熱透鏡焦距為f=200 mm。為了保證腔內(nèi)光線不被晶體和腔鏡遮擋，設(shè)定圖2中的三個(gè)折疊角度分別為θ2=5°，θ3=10°，θ4=5°。

諧振腔的設(shè)計(jì)目標(biāo)為：弦切面和弧矢面內(nèi)的穩(wěn)定性因子均為0；考慮泵浦光與振蕩光斑大小匹配，激光晶體中心處，設(shè)置振蕩光斑目標(biāo)大小為300 μm；考慮到可飽和吸收體的飽和光強(qiáng)，設(shè)置Sesam處目標(biāo)光斑為100 μm。

綜上，該諧振腔的待優(yōu)化參數(shù)見(jiàn)表1。其中大部分參數(shù)的搜索范圍設(shè)置得很大，是為了體現(xiàn)天牛須算法的全局搜索能力；但是l22設(shè)置的較小，這是因?yàn)閳D1中泵浦LD的耦合系統(tǒng)(CS)焦距有限。

圖1 待優(yōu)化W型鎖模諧振腔結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The configuration of W-shape mode locking laser resonator

經(jīng)天牛須搜索算法15 000次迭代搜索，獲得接近0的適應(yīng)度函數(shù)值。從圖2可以發(fā)現(xiàn)，在大約1 500次迭代后，已經(jīng)獲得較小的適應(yīng)度函數(shù)值；繼續(xù)迭代到15 000次，圖2中的插圖(a)表明在前500次迭代內(nèi)，優(yōu)化速度很快，插圖(b)表明搜索算法還能獲得細(xì)致的局部?jī)?yōu)化。

圖2 適應(yīng)度函數(shù)隨迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.2 The fitness value versus iteration times

表1 待優(yōu)化參數(shù)及其搜索范圍Tab.1 The parameters to be optimized and their search range

得到優(yōu)化的諧振腔參數(shù)見(jiàn)表2。采用優(yōu)化后參數(shù)的諧振腔內(nèi)的本征振蕩光斑大小分布如圖3所示。可以發(fā)現(xiàn)，弦切面和弧矢面內(nèi)的光斑分布基本一致，說(shuō)明像散極小，并且光斑變化平緩。表3列出了諧振腔穩(wěn)定性因子和兩個(gè)考察點(diǎn)(晶體中心處和腔鏡M5處)的光斑大小的目標(biāo)值和優(yōu)化結(jié)果值的對(duì)比。諧振腔弦切面和弧矢面內(nèi)的穩(wěn)定性因子分別為0.12和-0.003 9，跟目標(biāo)0比較接近；晶體中心處的光斑為300μm和293μm，基本符合預(yù)期的300μm；Sesam處的光斑為103μm和100μm，也基本滿足了100μm的設(shè)計(jì)目標(biāo)。結(jié)果表明，在本例7個(gè)參數(shù)、6個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的復(fù)雜情況下，天牛須算法完全能夠勝任設(shè)計(jì)任務(wù)。由此可見(jiàn)天牛須搜索算法可以實(shí)現(xiàn)人工試錯(cuò)法無(wú)法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜多參數(shù)諧振腔的多目標(biāo)設(shè)計(jì)任務(wù)。

表2 天牛須尋優(yōu)得到的參數(shù)值Tab.2 The parameters found by BAS optimization

圖3 天牛須算法優(yōu)化得到的諧振腔本征模式 在弦切面和弧矢面內(nèi)的半徑大小分布Fig.3 The eigen-mode radius distribution in tangential and sagittal plane in the BAS optimized resonator

表3 優(yōu)化后的諧振腔模結(jié)果Tab.3 The resonator mode distribution after optimizaiton

3 結(jié)論

1) 實(shí)例表明，天牛須搜索算法可以輕松實(shí)現(xiàn)7個(gè)參數(shù)、6個(gè)目標(biāo)的復(fù)雜多參數(shù)全固態(tài)諧振腔的智能化設(shè)計(jì)。

2) 諧振腔的穩(wěn)定性因子在弦切面和弧矢面內(nèi)的優(yōu)化結(jié)果跟目標(biāo)值的誤差分別在12%和0.39%；晶體中心處光斑大小的誤差在兩個(gè)面內(nèi)分別為0和2.3%；Sesam處的光斑大小在兩個(gè)面內(nèi)的誤差分別為3%和0。

3) 要進(jìn)一步提高天牛須算法的搜索能力，可以從兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：采取更合理的步長(zhǎng)變化策略；或者將天牛須算法與粒子群算法結(jié)合，構(gòu)建在不同尋優(yōu)個(gè)體之間分享信息的天牛群算法。

本文首次將天牛須搜索算法應(yīng)用于多參數(shù)激光諧振腔的多目標(biāo)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)結(jié)果表明了天牛須搜索算法的簡(jiǎn)單和有效。本研究一方面豐富了天牛須搜索算法的應(yīng)用， 另一方面也提高了多參數(shù)復(fù)雜諧振腔設(shè)計(jì)的智能化。我們相信通過(guò)對(duì)天牛須搜索算法的繼續(xù)研究和改進(jìn)，其在復(fù)雜激光諧振腔的多目標(biāo)優(yōu)化中的性能會(huì)進(jìn)一步提升。