胡先智，梁 艷，呂 丹，胡 鋼

基于GIMT和弧長(zhǎng)參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并

胡先智1，梁 艷2,3，呂 丹4，胡 鋼4

(1. 西安理工大學(xué)信息化管理處，陜西 西安 710048；2. 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710049；3. 西安思源學(xué)院理工學(xué)院，陜西 西安 710038；4. 西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710054)

曲線近似合并作為CAGD中復(fù)雜曲線設(shè)計(jì)的一種有效技術(shù)，一直備受學(xué)者們的關(guān)注，并在CAD/CAM領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。針對(duì)現(xiàn)有帶形狀參數(shù)的廣義Ball曲線難以合并的問題，提出了一種基于廣義逆矩陣?yán)碚?GIMT)和弧長(zhǎng)參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并方法。首先，利用曲線近似弧長(zhǎng)參數(shù)化算法計(jì)算出QG-Ball曲線弧長(zhǎng)等分對(duì)應(yīng)的配置點(diǎn)列(亦稱等分點(diǎn))和配置點(diǎn)參數(shù)值；其次，基于所得等弧長(zhǎng)配置點(diǎn)列及其參數(shù)值，再結(jié)合廣義逆矩陣?yán)碚摵颓€擬合方法，便可以直接得到計(jì)算合并后QG-Ball曲線控制頂點(diǎn)的一個(gè)顯式表達(dá)式；最后，利用連續(xù)函數(shù)的L2范數(shù)定義了一個(gè)度量曲線合并效果的誤差計(jì)算公式，并給出了一些具有代表性的數(shù)值算例及其合并誤差。實(shí)例結(jié)果表明，所提出的方法可以高效地實(shí)現(xiàn)QG-Ball曲線的近似合并，不僅易于操作、誤差計(jì)算簡(jiǎn)單，而且能方便地推廣到其他曲線的近似合并。

QG-Ball曲線；形狀參數(shù)；近似合并；廣義逆矩陣；弧長(zhǎng)參數(shù)化

Ball曲線曲面是由Ball基函數(shù)構(gòu)造的自由型參數(shù)曲線曲面，由于具有獨(dú)特、優(yōu)良的性質(zhì)使其成為了CAD中表示曲線和曲面的最重要方法之一。1974年，英國(guó)數(shù)學(xué)家BALL[1]首次構(gòu)造一種有理三次Ball曲線，并將其作為CONSU RF機(jī)身CAD造型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。Ball曲線有著與Bézier曲線類似的性質(zhì)，如對(duì)稱性、凸包性、端點(diǎn)插值性、幾何不變性等。此外，相比Bézier曲線而言，廣義Ball曲線還具有如下優(yōu)點(diǎn)[2]：①在曲線遞歸求值以及升降階的計(jì)算速度方面，明顯優(yōu)于Bézier曲線；②比Bézier曲線更適合曲線次數(shù)的提高；③Ball曲線退化為低一階曲線的條件比Bézier曲線要簡(jiǎn)單、易判斷。因此，Ball曲線曲面具有比Bézier曲線曲面更為廣泛地應(yīng)用價(jià)值，并受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-8]。

Ball模型在給定其控制頂點(diǎn)(或控制網(wǎng)格)后，其形狀就被唯一確定了，若要修改自身形狀則必須調(diào)整其控制頂點(diǎn)(或網(wǎng)格)。有理Ball方法通過引入權(quán)因子，不改變控制頂點(diǎn)(或控制網(wǎng)格)，由權(quán)因子可調(diào)整曲線曲面形狀。但是，有理Ball曲線曲面同樣存在缺陷，如權(quán)因子如何選取、求導(dǎo)次數(shù)增加、求積分不方便等[9]。為了增強(qiáng)Ball方法的形狀可調(diào)性和逼近性，文獻(xiàn)[10-15]研究了推廣的Ball曲線曲面，分別提出了含形狀參數(shù)的廣義Ball曲線曲面。其中，文獻(xiàn)[15]構(gòu)造的四次廣義Ball曲線作為一種新穎的Ball曲線模型，其含有2個(gè)形狀控制參數(shù)，具有較好的形狀可調(diào)性。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[16-17]分別研究了文獻(xiàn)[15]中四次廣義Ball曲線和曲面的分割算法。

然而，在CAD/CAM的系統(tǒng)中曲線的近似合并是經(jīng)常遇到的棘手問題[18]。近似合并能夠有效減少產(chǎn)品設(shè)計(jì)與開發(fā)中的數(shù)據(jù)傳輸量，使得數(shù)據(jù)傳輸與交換可以在不同的CAD/CAM系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。曲線的近似合并作為CAGD領(lǐng)域一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，多年來備受國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注，并在Bézier和B樣條曲線曲面近似合并方面取得了一些研究成果[19-23]。令人遺憾的是，關(guān)于帶形狀參數(shù)的廣義Ball曲線的近似合并問題卻一直未被解決。為此，本文結(jié)合廣義逆矩陣?yán)碚?、近似弧長(zhǎng)參數(shù)化及曲線擬合方法，研究了文獻(xiàn)[15]中四次廣義Ball曲線的近似合并問題，提出了該曲線的一種有效合并方法。

1 QG-Ball曲線的定義

定義1.給定4個(gè)平面或空間控制頂點(diǎn)向量(=0,1,2,3)，對(duì)?[0,1]和,?[-2,4]，定義的曲線稱為帶形狀參數(shù),的四次廣義Ball (quartic generalized Ball，QG-Ball)曲線[1]，(簡(jiǎn)稱為QG-Ball曲線)為

其中，四次廣義Ball基函數(shù)b,3(;,) (=0,1,2,3)的定義為

顯然，當(dāng)==0時(shí)，四次廣義Ball基函數(shù)退化為三次Ball基函數(shù)，QG-Ball曲線退化為傳統(tǒng)三次Ball曲線。根據(jù)式(1)和(2)，可以推出QG-Ball曲線具有與三次Ball曲線類似的優(yōu)良幾何性質(zhì)，如凸包性、對(duì)稱性、仿射不變性及變差縮減性等。

2 等弧長(zhǎng)求解配置點(diǎn)

假設(shè)QG-Ball曲線的參數(shù)方程為(;,)= {(),()}，則該曲線自身弧長(zhǎng)的計(jì)算式為

采用文獻(xiàn)[24]中近似弧長(zhǎng)參數(shù)化方法對(duì)QG-Ball曲線弧長(zhǎng)進(jìn)行均勻劃分，計(jì)算出曲線上等弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的一系列配置點(diǎn)(即等分點(diǎn))及其配置點(diǎn)參數(shù)值。近似弧長(zhǎng)參數(shù)化方法的基本步驟為：

步驟1. 根據(jù)式(3)計(jì)算QG-Ball曲線在區(qū)間[0,1]上的總弧長(zhǎng)，選取弧長(zhǎng)等分?jǐn)?shù)，則每一小段曲線弧長(zhǎng)為=/。

步驟2. 假設(shè)QG-Ball曲線弧長(zhǎng)等份后的配置點(diǎn)為0=0,1,···,-1,=，其對(duì)應(yīng)的配置點(diǎn)參數(shù)值為0=0,1,···,t-1,t=1。

步驟3. 構(gòu)造如下-1個(gè)非線性方程

綜上，運(yùn)用上述弧長(zhǎng)參數(shù)化方法，任意取定等分?jǐn)?shù)，便可計(jì)算出QG-Ball曲線等弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的配置點(diǎn)列和配置點(diǎn)參數(shù)值。

圖1給出了QG-Ball曲線等弧長(zhǎng)求解配置點(diǎn)的數(shù)值例子。并對(duì)帶不同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線弧長(zhǎng)進(jìn)行了4等分，利用上述等弧長(zhǎng)參數(shù)化方法簡(jiǎn)單高效地計(jì)算出其配置點(diǎn)列及配置點(diǎn)參數(shù)值，圖中標(biāo)記的黑點(diǎn)為離散出的配置點(diǎn)。表1給出了圖1中所有曲線弧長(zhǎng)4等分對(duì)應(yīng)的配置點(diǎn)參數(shù)值。圖2分別給出了QG-Ball曲線弧長(zhǎng)5等份和8等份時(shí)求配置點(diǎn)和配置點(diǎn)參數(shù)值的例子。圖中，曲線弧長(zhǎng)5等分和8等份對(duì)應(yīng)的配置點(diǎn)參數(shù)值分別見表2和3，QG-Ball曲線的形狀參數(shù)取值為==0,1,2,3 (自下而上)。

圖1 QG-Ball曲線弧長(zhǎng)4等分求解配置點(diǎn)

表1 圖1中QG-Ball曲線弧長(zhǎng)4等分時(shí)配置點(diǎn)參數(shù)取值

圖2 QG-Ball曲線弧長(zhǎng)5等分和8等分求解配置點(diǎn)

表2 圖2(a)中QG-Ball曲線弧長(zhǎng)5等分時(shí)配置點(diǎn)參數(shù)取值

表3 圖2(b)中QG-Ball曲線弧長(zhǎng)8等分時(shí)配置點(diǎn)參數(shù)取值

3 相鄰QG-Ball曲線的近似合并

3.1 不保端點(diǎn)的近似合并

設(shè)以0,1,2,3,和0,1,2,3,為控制頂點(diǎn)的相鄰QG-Ball曲線分別為(;1,1)和(;2,2)，擬近似合并成另一條QG-Ball曲線，即

其中，=1+(1-t)2,=1+(1-t)2；(=0,1,2,3)為合并后曲線的控制頂點(diǎn)。本文求解合并曲線的算法步驟如下：

步驟1. 基于上述等弧長(zhǎng)參數(shù)化方法，將曲線(;1,1)在區(qū)間[0,1]的弧長(zhǎng)上進(jìn)行1等分，并計(jì)算出相應(yīng)的配置點(diǎn)參數(shù)值u(=0,1,···,1)；類似地，計(jì)算出曲線(;2,2)當(dāng)其曲線弧長(zhǎng)2等分時(shí)對(duì)應(yīng)的配置點(diǎn)參數(shù)值(=0,1,···,2)，這里1與2均為大于或等于3的正整數(shù)。從而，得到待合并曲線(;1,1)上的1+1個(gè)點(diǎn)(u) (=0,1,···,1)和曲線(;2,2)上的2+1個(gè)點(diǎn)(v) (=0,1,···,2)。

假設(shè)

并令合并后的QG-Ball曲線(;,) (其控制頂點(diǎn)待求)滿足

步驟3.將式(8)轉(zhuǎn)化成矩陣乘積的形式，即

其中，=1+2+1。

因?yàn)?i>b,3(;,)(=0,1,2,3)為一組線性無關(guān)的四次廣義Ball基，同時(shí)參數(shù)t(=0,1,···,1+2+1)中至少有4個(gè)參數(shù)取值不同，所以矩陣是一個(gè)列滿秩矩陣，且根據(jù)文獻(xiàn)[25]中的廣義逆矩陣?yán)碚?general inverse matrix theory，GIMT)可得向量超定方程組式(9)的最小二乘解為

式(10)給出了計(jì)算合并曲線(;,)控制頂點(diǎn)的一個(gè)顯式表達(dá)式。

步驟4.將上述步驟所得合并曲線的形狀參數(shù),和控制頂點(diǎn)(=0,1,2,3)代入曲線方程式(1)即可得合并曲線(;,)。

3.2 保端點(diǎn)的近似合并

基于3.1節(jié)方法，本節(jié)進(jìn)一步研究QG-Ball曲線保端點(diǎn)插值的近似合并。在不保端點(diǎn)插值情形下，待合并曲線(;1,1)的左端點(diǎn)和曲線(;2,2)的右端點(diǎn)與合并曲線(;,)的兩端點(diǎn)并沒有重合。在曲線外形設(shè)計(jì)時(shí)，有時(shí)需要合并后QG-Ball曲線(;,)分別插值于曲線(;1,1)的左端點(diǎn)和曲線(;2,2)的右端點(diǎn)，該合并方式稱為保端點(diǎn)插值的近似合并。為了滿足曲線保端點(diǎn)插值近似合并的需求，結(jié)合QG-Ball曲線的端點(diǎn)性質(zhì)

將式(11)代入式(8)中，可將式(8)重新寫成矩陣乘積形式，即

從而計(jì)算出保端點(diǎn)插值條件下合并曲線的控制頂點(diǎn)1和2，結(jié)合式(11)即可得到合并曲線(;,)的所有控制頂點(diǎn)。

4 實(shí)例與結(jié)果分析

4.1 數(shù)值實(shí)例

實(shí)例1.假設(shè)0(0,0)，1(0.2,0.35)，2(0.4,0.45)和3(0.6,0.38)為待合并曲線(;1,1)的控制頂點(diǎn)，而待合并曲線(;2,2)的控制頂點(diǎn)為0(0.6,0.38)，1(0.8,0.3)，2(0.85,0.25)和3(0.95,0)。本例中，待合并曲線(;1,1)和(;2,2)分別用紅色與綠色實(shí)曲線表示，相應(yīng)的控制多邊形采用虛折線表示。合并后的曲線(;,)用黑色虛線表示，其控制多邊形用黑色實(shí)線表示。

利用不保端點(diǎn)合并方法將2相鄰曲線合并成另一條QG-Ball曲線(;,)，這里細(xì)分參數(shù)由式(7)來確定。圖3～4分別給出了當(dāng)形狀參數(shù)相同和不同時(shí)相鄰曲線的合并實(shí)例。從圖3～4中的近似合并結(jié)果來看，本文中的不保端點(diǎn)近似合并方法取得了很好的合并效果。表4給出了圖3～4中合并曲線的控制頂點(diǎn)。

實(shí)例2.假設(shè)曲線(;1,1)的控制頂點(diǎn)為0(0,0.1)，1(0.10,0.50)，2(0.25,0.48)，3(0.5,0.38)，而另一條待合并曲線(;2,2)的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)為0(0.5,0.38)，1(0.72,0.28)，2(0.9,0.3)，3(1,0.5)。圖5～6分別給出了當(dāng)形狀參數(shù)相同和不同時(shí)相鄰QG-Ball曲線的保端點(diǎn)插值合并實(shí)例。在圖5～6中，待合并曲線(;1,1)和(;2,2)分別用紅色與綠色實(shí)曲線表示，其控制多邊形則分別采用與曲線顏色相同的虛折線表示；近似合并后的曲線(;,)用黑色虛線表示，其控制多邊形為黑色實(shí)線。表5給出了圖5～6中合并曲線(;,)的控制頂點(diǎn)。從圖5～6的合并結(jié)果來看，本文保端點(diǎn)插值情形下的近似合并方法同樣取得了不錯(cuò)的合并效果。

實(shí)例3.假設(shè)待合并曲線(;1,1)的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)為0(0.05,0.70)，1(0.13,0.76)，2(0.20,0.77)和3(0.32,0.73)，而曲線(;2,2)的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0.32,0.73)，1(0.56,0.65)，2(0.62,0.15)和3(1.00,0.10)。圖7給出了當(dāng)形狀參數(shù)相同時(shí)QG-Ball曲線保端點(diǎn)插值近似合并的實(shí)例，在圖7中，2相鄰待合并曲線在合并點(diǎn)處滿足1光滑連續(xù)。圖8則給出了當(dāng)形狀參數(shù)不同時(shí)QG-Ball曲線的保端點(diǎn)插值合并實(shí)例，圖8中相鄰待合并曲線在合并點(diǎn)處滿足C1連續(xù)。

圖3 帶相同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線的不保端點(diǎn)近似合并，待合并曲線滿足C0連續(xù)

圖4 帶不同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線不保端點(diǎn)合并，待合并曲線滿足C0連續(xù)

表4 圖3～4中不保端點(diǎn)插值時(shí)合并曲線的控制頂點(diǎn)

圖5 帶相同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線保端點(diǎn)插值的近似合并，待合并曲線滿足C0連續(xù)

在圖7～8中，待合并曲線(;1,1) (M型曲線)和(;2,2) (S型曲線)分別用紅色與綠色實(shí)曲線表示，其控制多邊形則分別采用與曲線顏色相同的虛折線表示；近似合并后的曲線(;,)用黑色虛線表示，其控制多邊形為黑色實(shí)線。表6給出了圖7～8中合并曲線(;,)的控制頂點(diǎn)。從圖7～8中的合并效果來看，當(dāng)合并曲線形狀相差比較大時(shí)本文保端點(diǎn)插值情形下的近似合并方法也能取得不錯(cuò)的合并效果。

4.2 誤差分析

為了驗(yàn)證文中所提出方法的近似合并效果，本文定義一種與文獻(xiàn)[20]類似的近似合并誤差公式。如前所述，式(7)中定義的細(xì)分參數(shù)為開區(qū)間(0,1)中的一個(gè)常數(shù)，分割點(diǎn)(;,)可將合并曲線(;,)分割為左右2段子曲線，且分別記為left(;,)和right(;,)，則有

其中，?[0,1]。通常，連續(xù)函數(shù)的2范數(shù)被用來測(cè)量不同參數(shù)曲線之間的距離[26]，為此利用2范數(shù)定義如下的誤差公式來度量或評(píng)價(jià)合并曲線(;,)與待合并曲線(;1,1)和(;2,2)之間的合并效果，即

顯然，通過積分換元可將誤差公式轉(zhuǎn)化為

其中，運(yùn)算符為向量函數(shù)的L2范數(shù)。式(15)和(16)的幾何意義為：合并曲線與2相鄰待合并曲線之間的“距離”(注：該距離是由向量函數(shù)的L2范數(shù)來度量的)被用來定義其之間的合并誤差。顯然，式(15)和(16)中的合并誤差公式可以較好地評(píng)價(jià)本文方法近似合并的效果。

表5 圖5～6中保端點(diǎn)插值時(shí)合并曲線的控制頂點(diǎn)

圖7 帶相同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線保端點(diǎn)插值的近似合并，待合并曲線滿足G1連續(xù)

圖8 帶不同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線保端點(diǎn)插值的近似合并，待合并曲線滿足C1連續(xù)

表6 圖7～8中保端點(diǎn)插值時(shí)合并曲線的控制頂點(diǎn)

表7給出了圖3～8中數(shù)值實(shí)例的近似合并誤差。顯然，本文方法在不保端點(diǎn)和保端點(diǎn)插值的情形下均可獲得較小的近似合并誤差，結(jié)果和主觀視覺評(píng)價(jià)是一致的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文方法可以有效地實(shí)現(xiàn)QG-Ball曲線的合并逼近。

表7 圖3～8中實(shí)例的近似合并誤差

5 結(jié) 論

基于QG-Ball曲線基本理論，針對(duì)該曲線難以合并的問題，提出了一種基于廣義逆矩陣?yán)碚摵突￠L(zhǎng)參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并方法。本文方法不僅可以直接得到計(jì)算合并曲線控制頂點(diǎn)的一個(gè)顯式表達(dá)式，還給出了合并誤差的具體計(jì)算公式。數(shù)值算例結(jié)果表明，本文方法可以高效地實(shí)現(xiàn)QG-Ball曲線的近似合并，不僅易于操作且誤差計(jì)算簡(jiǎn)單，并方便推廣到其他類型曲線的合并，如文獻(xiàn)[27-28]中的高次帶參SG-Bézier曲線的近似合并。另外，如何選擇最優(yōu)細(xì)分參數(shù)以及實(shí)現(xiàn)QG-Ball曲面的近似合并等，是值得今后進(jìn)一步研究的課題。

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Approximate merging of QG-Ball curves using GIMT and arc-length parameterization

HU Xian-zhi1, LIANG Yan2,3, LYU Dan4, HU Gang4

(1. Division of Informationize Management, Xi’an University of Technology, Xi’an Shaanxi 710048, China; 2. School of Electronics and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi 710049, China; 3. School of Technology, Xi’an Siyuan University, Xi’an Shaanxi 710038, China; 4. School of Science, Xi’an University of Technology, Xi’an Shaanxi 710054, China)

As an effective technique for the design of complex curve, approximate merging has generated much attention from scholars and been in wide use in CAD/CAM. To address the difficulty in merging generalized Ball curves with parameters, this paper proposed a new method for the approximate merging of QG-Ball curves based on generalized inverse matrix theory (GIMT) and arc-length parameterization. Given two QG-Ball curves, we first calculate a sequence of equal arc-length parameters of the QG-Ball curves by using approximate arc-length parameterization algorithm; Based on the sequence of parameters GIMT, and curve fitting algorithm, an explicit expression was presented to calculate the control points of approximate merged QG-Ball curve. To verify the effectiveness of the method, numerical examples were provided and the merging errors were discussed. The experimental results show that the proposed method not only can efficiently realize the approximate merging of QG-Ball curves, which is of high operability and easy for error calculation, but also can be extended to other curves conveniently.

quartic generalized Ball curves; shape parameter; approximate merging; general inverse matrix; arc-length parameterization

TP 391.4

10.11996/JG.j.2095-302X.2021050790

A

2095-302X(2021)05-0790-11

2021-02-23；

2021-04-02

23 February，2021；

2 April，2021

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51875454)；陜西省教育廳專項(xiàng)科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(19JK0686)

National Natural Science Foundation of China (51875454); Special Scientific Research Project of Shaanxi Provincial Department of Education (19JK0686)

胡先智(1978–)，男，湖北麻城人，工程師，碩士。主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘、圖形圖像處理。E-mail：huxianzhi@xaut.edu.cn

HU Xian-zhi (1978-), male, engineer, master. His main research interests cover data mining and graphics. E-mail：huxianzhi@xaut.edu.cn