褚鑫磊，隋國榮

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093）

引言

雙目立體視覺測量是一種非接觸、實時、高精度的三維測量技術(shù)，在非接觸測量、機器人導(dǎo)航、在線監(jiān)測等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。利用視覺方案對不同尺寸的目標進行非接觸的高精度測量是光學(xué)工程領(lǐng)域的研究方向之一。攝像機的光學(xué)參數(shù)標定在光學(xué)測量和計算機視覺等許多應(yīng)用中都起著重要的作用。

光學(xué)標定的任務(wù)是確定圖像點的二維坐標與物體的三維世界坐標之間的關(guān)系。攝像機標定方法主要有：傳統(tǒng)標定方法[5]、自標定方法[6]和主動視覺標定方法[7]。雙目圖像采集類型分為3 類：雙攝像機模型[8]、單攝像機動態(tài)模型[9]、單攝像機鏡像模型[10]。

通常，雙目立體視覺系統(tǒng)需要通過采集不同角度的圖像才能進行標定，然而，在現(xiàn)實中很難找到內(nèi)參完全一樣的兩個攝像機，攝像機的內(nèi)參數(shù)不同將影響系統(tǒng)的測量精度。2019 年，Chai 等[11]提出了一種單攝像機鏡像雙目視覺系統(tǒng)的標定方法，但該方法標定精度會受到景深變化的影響。2019 年，殷晨暉等[9]使用單攝像機和高精度的電動平移臺構(gòu)建了三維視覺系統(tǒng)，減少了相機內(nèi)參不同對標定精度的影響。

雙目立體視覺測量系統(tǒng)的關(guān)鍵指標是精度，而光學(xué)標定的精度對測量系統(tǒng)的精度影響最大。2001 年，張正友提出了一種靈活的標定方法[5]，所有參數(shù)的最終值是經(jīng)過非線性優(yōu)化后得到的，其目的是最小化平均重投影誤差。這些標定算法是通過一個超定線性方程組來估計一個初始的封閉解，主要區(qū)別在于對初始解的估計和非線性優(yōu)化過程。通常，目標是最小化像素坐標的誤差。例如，經(jīng)典方法中廣泛使用均值重投影誤差[12]，它表示的是真實圖像坐標與根據(jù)標定結(jié)果計算得到的重投影圖像坐標之間的誤差。目前雙目標定的優(yōu)化方法幾乎都是基于二維圖像平面進行的，而實際的視覺測量是在三維世界坐標系中進行，優(yōu)化和測量之間不同的參考坐標可能會導(dǎo)致標定精度下降。

2014 年，Cui 等[13]提出了雙目視覺系統(tǒng)的精確標定方法，該方法在三維世界坐標系下，通過最小化重建點與真值之間的誤差，并結(jié)合極線約束對參數(shù)進行優(yōu)化。2015 年，Jia 等[14]提出了一種基于主動視覺和垂直度補償?shù)膬?nèi)參校正方法。該方法消除了攝像機運動不垂直對標定精度的影響。2016 年，Poulin-Girard 等[15]研究了不同標定條件對重構(gòu)質(zhì)量的影響，結(jié)果表明，平均重投影誤差不應(yīng)該總是被用來評估標定過程的性能，低質(zhì)量的特征檢測并不一定導(dǎo)致高平均重建誤差。2018 年，Gai 等[16]提出一種基于重構(gòu)誤差的標定方法，在耦合程度較小的情況下，計算了攝像機之間的相對位置關(guān)系，計算出精確的三維坐標，利用重建結(jié)果的平均誤差對參數(shù)進行評估和優(yōu)化。Liu 等[17]致力于減小三維重建特征點與真值之間的誤差，基于重投影誤差、共線約束等多種約束提出了一種高精度、魯棒性強的雙目攝像機標定方法。

本文構(gòu)建了一種基于單攝像機的平行雙目視覺系統(tǒng)。通過控制高精度位移平臺移動單攝像機，從而實現(xiàn)立體視覺；計算左、右攝像機位的初始參數(shù)，引入質(zhì)心坐標法計算兩攝像機間的旋轉(zhuǎn)平移矩陣；利用三角剖分重構(gòu)標定點的三維坐標，計算重構(gòu)坐標與真值間的重構(gòu)誤差；通過最小化重構(gòu)誤差來優(yōu)化標定參數(shù)。與傳統(tǒng)方法相比，本方法在精度和魯棒性上得到了明顯提高。

1 系統(tǒng)原理與結(jié)構(gòu)

1.1 攝像機成像模型

攝像機的成像透鏡將三維點投影到二維像平面上，這種投影可以用攝像機模型的圖像變換來描述。采用常用的針孔模型對攝像機進行建模[5]，世界坐標系上的物點Pw=(Xw,Yw,Zw)T到左、右攝像機的圖像投影點pl=(ul,vl)T和pr=(ur,vr)T（l、r 分別代表左、右）之間的坐標變換關(guān)系如下：

式中：sl、sr分別為左、右相機的尺度因子；Al、Ar分別是左、右相機的內(nèi)參矩陣；Rl、Rr和Tl、Tr分別表示左、右相機的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣。式（1）中Al、Ar又可表示如下：

式中：fxl、fyl和fxr、fyr分別為左、右相機在x、y方向上的焦距；(u0l,v0l)、(u0r,v0r)分別為左、右相機的主點坐標。

由于相機透鏡自身特殊的球形形狀以及相機裝配誤差、制造上的缺陷，導(dǎo)致相機產(chǎn)生畸變誤差。使用畸變模型來處理透鏡的畸變效應(yīng)，只考慮徑向畸變的前兩項，則關(guān)系如下：

式中：pld和prd分 別為pl和pr畸 變后對應(yīng)的像點；rl和rr是無畸變像點pl和pr到各自主點坐標的距離；k1l、k2l和k1r、k2r分別是左右相機徑向畸變系數(shù)的前兩項。

1.2 雙攝像頭系統(tǒng)模型

兩個攝像機可以用常用的針孔模型進行建模，對于三維世界坐標系中的物點Pw，存在左相機系統(tǒng)坐標Pcl=(Xcl,Ycl,Zcl)T和右相機系統(tǒng)坐標Pcr=(Xcr,Ycr,Zcr)T，世界坐標與相機坐標之間的關(guān)系如下：

式中，旋轉(zhuǎn)矩陣Rl和平移矩陣Tl將世界坐標系與左相機坐標系聯(lián)系起來，根據(jù)式（4），可以得到關(guān)系如下：

式中：R=RrRl?1為旋轉(zhuǎn)矩陣；T=Tr?RrRl?1Tl為平移矩陣，表示左右相機坐標系之間的關(guān)系。在不失一般性的前提下，可以將物體三維坐標統(tǒng)一到左相機坐標系中，可以得到關(guān)系如下：

式中：I為一個3×3 的單位矩陣，0 為一個3×1的全0 矩陣。

通過張氏標定法[5]計算出兩個相機的初始參數(shù)，建立兩攝像機重投影誤差之和的目標函數(shù)，該目標函數(shù)表達式如下：

式中：m為標定板上有m個特征點；n為左、右攝像機在n個不同的位置獲得的n對標定板圖像；為利用標定參數(shù)計算的重投影圖像坐標。該參數(shù)優(yōu)化方法是基于二維圖像平面和通過合并兩個單目系統(tǒng)的平均重投影誤差目標函數(shù)來進行優(yōu)化。

表示的是第j個標定板上第i個特征點的世界坐標，分別表示第j對圖像所對應(yīng)的左、右相機的外部參數(shù)，在左、右相機坐標系下對應(yīng)的坐標分別為。因此，將這些參數(shù)代入式（4）和式（5）可以得到如下關(guān)系式：

根據(jù)式（8），建立兩攝像機之間位置關(guān)系的目標函數(shù)，其表達式如下：

通過最小化式（9）所示的目標函數(shù)可以估計R和T。

由于目標函數(shù)有6 個變量，并且在優(yōu)化過程中很容易得到局部極小值，因此，涉及的計算過程很復(fù)雜。為了簡化計算過程，本文提出了一種基于質(zhì)心的計算方法。

1.3 基于質(zhì)心的雙目標定模型

首先分別計算左、右相機所有特征點對應(yīng)的質(zhì)心，然后將坐標系的原點平移到質(zhì)心。和的質(zhì)心坐標分別用和表示，關(guān)系如下：

將每個坐標系的原點轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的質(zhì)心，此時新的坐標可以轉(zhuǎn)換為，關(guān)系如下：

此時，各像點之間的關(guān)系如下：

目標函數(shù)可以簡化為如下:

旋轉(zhuǎn)矩陣R可以通過最小化目標函數(shù)f(R)得到，然后由下式：

得到平移矩陣T。

1.4 基于三維空間坐標的雙目標定模型

得到左、右兩個圖像坐標系統(tǒng)中的圖像坐標后，需要得到三維重建的特征點。為此，利用最優(yōu)三角剖分法[18]，對圖像坐標pl和pr重建三維標定點，并計算特征點的空間坐標。利用式（6），將圖像坐標pl和pr在左相機坐標系中重構(gòu)，重構(gòu)后的坐標用表示，然后將左相機坐標系的重構(gòu)點轉(zhuǎn)換為世界坐標。根據(jù)式（8），可得到Pw與Pclr之間的關(guān)系，其表達式如下：

將重構(gòu)誤差最小化，得到所有參數(shù)的最終值。為了更直觀地表示標定方法的有效性，對三維重構(gòu)誤差進行了研究。利用平均重構(gòu)誤差Ew來描述標定結(jié)果的準確性，其表達式如下：

式中，Ew表示真實三維坐標與重建得到的三維坐標之間的平均誤差大小。

1.5 雙目立體視覺的實現(xiàn)

對圖像坐標pl和pr重建三維標定點，將圖像坐標pl和pr在左相機坐標系中重構(gòu)并用Pclr表示。在重構(gòu)過程中，如果兩個攝像機間的內(nèi)差數(shù)差別較大，會導(dǎo)致重建誤差的增大。因此，利用單攝像機配合高精度機械結(jié)構(gòu)，并通過平移或旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)立體視覺，使得左右攝像機參數(shù)一致，以提高標定精度。本文使用單目攝像機和電控位移平臺實現(xiàn)雙攝像機系統(tǒng)，這種模型是雙目模型中的一種特殊情況，如圖1 所示。這是一種左、右攝像機兩光軸平行的平行雙目系統(tǒng)，保證了左、右攝像機參數(shù)一致性并降低了實驗的復(fù)雜度。

圖1 單目攝像機實現(xiàn)雙目立體視覺Fig.1 Monocular camera to achieve binocular stereo vision

2 實驗設(shè)計與驗證

2.1 實驗系統(tǒng)設(shè)計

為了驗證本文方法的有效性，建立了一個由單目攝像機和一維電控位移臺組成的雙攝像機系統(tǒng)。本文使用的攝像機分辨率為1 600×1 200，變焦范圍為12～36 mm，像元尺寸為4.4 μm×4.4 μm，使用的標定板外形尺寸為400 mm×300 mm×5 mm，棋盤格尺寸為30 mm×30 mm，高精密一維電控位移臺的分辨率為3.125 μm（8 細分下），實驗裝置如圖2 所示。在圖2 中，位置1 為左機位，位置2 為右機位，分別表示同一水平線上單目攝像機的不同位置。利用一維電控位移臺，使單目攝像機在左機位與右機位間移動，從而實現(xiàn)雙目系統(tǒng)。

圖2 實驗裝置Fig.2 Experimental equipment

實驗步驟如下：

（1）將單目攝像機固定于一維電控位移臺上，在12～36 mm 焦距范圍內(nèi)隨機選取一組焦距值，保持標定板位置不動。一維電控位移臺的往返步數(shù)設(shè)置為20 000 步，平移的理論距離為62.500 mm。

（2）在左、右機位分別采集左、右位置的標定板圖像。改變標定板位姿，再采集左、右位置的標定板圖像，得到左、右位置下各20 對標定板圖像，其中14 對作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)進行標定，另外6 對用于測試。

（3）利用張氏標定法分別計算左、右相機的初始參數(shù)，并用質(zhì)心距離增量矩陣計算出旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T。

（4）重構(gòu)標定點的三維坐標，利用平均重構(gòu)誤差建立優(yōu)化目標函數(shù)，得到最終的校準結(jié)果。

2.2 實驗結(jié)果

相機的內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)的計算結(jié)果如表1、表2 和表3 所示，表中方法1 是指文獻[8]的方法，2D 是指二維 優(yōu)化方法，3D 是指三維優(yōu)化方法。表1 和表2 表示了用不同方法得到的內(nèi)參和畸變系數(shù)，可以看出，不同的標定技術(shù)對這些參數(shù)的影響不大，因為這些參數(shù)取決于單臺相機的成像傳感器或光學(xué)透鏡的特性。表3 表示了用不同方法得到的外參，表中rx、ry、rz是旋轉(zhuǎn)矩陣R的3 個分量，tx、ty、tz是平移矩陣T的3個分量。從表3 可以看出，不同技術(shù)得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的差異更明顯。結(jié)構(gòu)參數(shù)在非線性優(yōu)化過程中起著更為重要的作用，是影響標定結(jié)果的主要因素。

表1 左相機內(nèi)參數(shù)和畸變系數(shù)的比較Tab.1 Comparison of left camera internal parameters and distortion coefficients

表2 右相機內(nèi)參數(shù)和畸變系數(shù)的比較Tab.2 Comparison of right camera internal parameters and distortion coefficients

表3 相機外參數(shù)的比較Tab.3 Comparison of external camera parameters

對不同方法計算得到的參數(shù)進行三維物點重構(gòu)，并用散點圖直觀地畫出每個重構(gòu)后的物點與其真值的誤差分布圖。圖3 是不同方法重構(gòu)誤差散點圖，可以看出，經(jīng)過優(yōu)化和重構(gòu)后，物點與其真值的誤差明顯減小。對不同方法獲得的標定結(jié)果進行平均重構(gòu)誤差的計算，計算結(jié)果如表4所示。以 δxoy、δxoz、δyoz表示3 個平面上的平均重構(gòu)誤差，δxyz表示三維空間的平均重構(gòu)誤差，基于2D 和基于3D 的優(yōu)化方法相較于方法1 都有較大提升，平均重構(gòu)誤差從0.490 9 分別減小到0.388 9 和0.284 7。

表4 平均重構(gòu)誤差統(tǒng)計Tab.4 Average reconstruction error statistics

圖3 不同方法重構(gòu)誤差散點圖Fig.3 Reconstruction of error scatter graph by different methods

為了進一步驗證標定算法的魯棒性，在圖像的角點坐標上加入均值為0、標準差為0～1 像素的高斯噪聲，每個噪聲級為0.2。通過對每個噪聲級進行25 次的獨立試驗，得到平均結(jié)果，如圖4所示。與傳統(tǒng)的二維優(yōu)化方法相比，在標定精度方面，本文提出的三維優(yōu)化方法顯然占優(yōu)勢。

圖4 平移矩陣和重構(gòu)誤差結(jié)果對比Fig.4 Comparison of translation matrix and reconstruction error results

對用于測試的特征點進行三維重構(gòu)，得到三維重建結(jié)果，如圖5 所示，圖中Position1～6 表示6 個不同位姿的標定板測試圖上的所有特征點進行重構(gòu)后的分布圖。為進一步說明優(yōu)化后的標定方法的有效性，利用得到的標定結(jié)果，對得到的圖像進行立體畸變校正、極線對齊、立體匹配，最后得到視差圖對應(yīng)的三維空間位置。根據(jù)三維空間位置與二維像素點及視差的對應(yīng)關(guān)系，對目標物體進行測量。圖6 是用3 種方法得到的最終視差圖，可以看出，3D 優(yōu)化后的視差圖的特征輪廓最清晰。

圖5 測試數(shù)據(jù)的所有特征點重構(gòu)圖Fig.5 Reconstruction of all feature points of the test data

圖6 不同方法對應(yīng)的立體匹配結(jié)果圖Fig.6 Stereo matching results of different methods

對3 種方法得到的視差圖提取特征點，對實際尺寸為30 mm×30 mm 的方格進行測量，每種方法各進行10 次測試，得到的測試結(jié)果如表5所示。從測量結(jié)果的平均值和標準差統(tǒng)計中可以看出，3D 方法使測量誤差從0.112 3 mm 減小到0.019 1 mm，標準差從0.183 8 減小到0.127 5，說明測量結(jié)果更加精確，波動更小。

表5 實物重構(gòu)測量結(jié)果統(tǒng)計Tab.5 Statistics of physical reconstruction measurement results

3 結(jié)論

本文采用單攝像機和一維電控位移臺實現(xiàn)了雙攝像機系統(tǒng)。通過計算左、右攝像機位的初始參數(shù)，并引入質(zhì)心坐標法計算兩攝像機間的旋轉(zhuǎn)平移矩陣。利用三角剖分重構(gòu)標定點的三維坐標，計算重構(gòu)坐標與真值間的重構(gòu)誤差。通過最小化重構(gòu)誤差來優(yōu)化標定參數(shù)的方法。與傳統(tǒng)方法相比，該誤差直接反映了三維重構(gòu)的效率，在精度和魯棒性上得到了明顯提高。研究結(jié)果表明，基于三維重構(gòu)的標定誤差能更加直觀地提升后續(xù)三維重構(gòu)的準確度，而基于單攝像機的立體視覺系統(tǒng)可以保證左右攝像機參數(shù)一致性。由于機械結(jié)構(gòu)的限制，本方法目前還不適用于機器人導(dǎo)航、自動駕駛等一些實時性要求較高的任務(wù)。但是，在變焦標定領(lǐng)域有較廣泛的應(yīng)用，可為光學(xué)非接觸式三維測量提供參考。