張夢華，張記云，任偉鵬，耿萬佳，婁志峰，范光照

(大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116000)

0 引言

在我國發(fā)展雙循環(huán)的新發(fā)展格局下，工業(yè)機器人等高端制造裝備國產(chǎn)化勢在必行，在各行業(yè)使用密度也逐漸增加，因此對工業(yè)機器人的空間位置精度的測量裝置的要求也不斷提高[1]。激光跟蹤儀作為一種突破測量空間局限的儀器，也逐漸廣泛應(yīng)用于工業(yè)機器人精度校正中。激光跟蹤儀基于球坐標(biāo)測量原理，由兩角度測量模塊組成，測量空間中兩個角度與一個斜距表示被測點空間坐標(biāo)。Cotne[2]利用基于網(wǎng)格測量方法從多方位測量一組固定目標(biāo)位置建立了激光跟蹤儀的運動學(xué)模型來校正激光跟蹤儀誤差。張亞娟[3]設(shè)計了單站式激光跟蹤儀，對影響測量精度的機械結(jié)構(gòu)誤差進行了分析并提出標(biāo)定的模型。ASME89.4.19[4]提出“雙面測試方法”對跟蹤儀進行精度校準(zhǔn)，并闡述跟蹤站兩軸離軸量對測量結(jié)果的影響。激光跟蹤儀采用主動跟蹤的方式，具有復(fù)雜的跟蹤控制系統(tǒng)，研制成本過高。范光照[5]提出了研制被動式激光跟蹤球桿儀，本課題組設(shè)計了伸縮導(dǎo)軌取代了復(fù)雜的跟蹤系統(tǒng)，由被測目標(biāo)牽引伸縮導(dǎo)軌實現(xiàn)被動跟蹤，基于多體系統(tǒng)誤差理論建立了被動式激光跟蹤球桿儀的誤差模型，并提出單項誤差標(biāo)定方法[6-8]。但上述對被動式激光跟蹤系統(tǒng)的研究中，裝置伸縮部件采用層層壘疊的導(dǎo)軌組成，重量較大，且忽略光的偏移對系統(tǒng)測量精度的影響。

本文搭建了滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)，采用滾輪滑軌伸縮運動方式，對目標(biāo)點實現(xiàn)被動跟蹤測量，并對其主要誤差源進行全面的分析，分步對各誤差參數(shù)提出標(biāo)定方法，最后通過比對驗證補償模型能有效提高系統(tǒng)空間定位精度。

1 滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)測量原理及誤差補償模型

1.1 滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)測量原理及坐標(biāo)系的建立

本文提出的滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)，包括精密二維轉(zhuǎn)臺、滾輪滑軌伸縮機構(gòu)、光柵測距裝置以及滾輪滑軌直線度測量模塊。精密二維轉(zhuǎn)臺兩軸正交，滾輪滑軌伸縮機構(gòu)通過轉(zhuǎn)臺兩軸交點。如圖1所示，此裝置基于球坐標(biāo)測量原理，采集精密二維轉(zhuǎn)臺俯仰軸、方位軸兩角度編碼器得到兩角度位置信息，滾輪滑軌進行徑向伸縮運動時采集貼于滾輪滑軌側(cè)面的光柵尺(雷尼紹RGH24)得出長度位置信息，增加一束通過轉(zhuǎn)臺兩軸交點的基準(zhǔn)光(光軸)配合伸縮滑軌末端的光電位置傳感器輸出伸縮機構(gòu)運動直線度誤差。當(dāng)測量目標(biāo)點的位置時，滾輪滑軌末端的標(biāo)準(zhǔn)鋼球吸附于被測物體上，當(dāng)被測物運動時，帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球向俯仰、方位以及徑向伸縮運動，標(biāo)準(zhǔn)鋼球球心在三維球坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)位置可表示目標(biāo)點的位置。本文采用滾輪滑軌的伸縮運動方式，運動平滑，滑桿為碳纖維材料，重量小。采用光柵測距模塊測量滾輪滑軌徑向伸縮長度，簡化了結(jié)構(gòu)，成本較低，經(jīng)濟效益高。

基于多體系統(tǒng)誤差理論對系統(tǒng)誤差建模，首先需建立滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)的坐標(biāo)系。滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)可由基座、方位軸、俯仰軸、滾輪滑軌伸縮機構(gòu)四體連接組成，如圖1所示建立坐標(biāo)系，以方位軸為Z軸，方向背離地面向上，以方位角為0°時的俯仰軸的理論位置為X軸，通過右手定則確定Y軸，三軸交點即為原點。假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)球球心在系統(tǒng)球坐標(biāo)中位置為(φ,θ,R)，將其轉(zhuǎn)換到笛卡爾直角坐標(biāo)系中，則標(biāo)準(zhǔn)球球心在笛卡爾坐標(biāo)系中的位置如式(1)：

圖1 滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)測量原理圖

(1)

1.2 滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)主要誤差源分析

裝置各零部件存在制造、裝配誤差，分析其主要誤差源，如圖2所示，主要存在方位軸與俯仰軸的離軸量Δy，不垂直度α；光軸與俯仰軸離軸量Δz、不垂直度β；光軸與方位軸離軸量Δx。另外由于滾輪滑軌變形使滑軌運動過程中存在X、Z兩方向的直線度誤差δx、δz。

圖2 滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)軸系幾何誤差

1.3 滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)誤差補償模型

滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)工作過程可看成方位軸繞基座旋轉(zhuǎn)φ，接著方位轉(zhuǎn)臺上部的俯仰軸旋轉(zhuǎn)θ，最后與俯仰轉(zhuǎn)臺連接的伸縮滑軌徑向移動R，即理想情況下，基座坐標(biāo)系繞Z軸旋轉(zhuǎn)φ，再繞X軸旋轉(zhuǎn)θ，最后沿Y軸平移R到滾輪滑軌標(biāo)準(zhǔn)鋼球坐標(biāo)系中。其中R由伸縮滑軌結(jié)構(gòu)基長R0與光柵尺Ra讀數(shù)相加。由多體系統(tǒng)誤差建模理論[9]可知，在此運動過程中滾輪滑軌末端即標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)系到基座坐標(biāo)系的理想轉(zhuǎn)換矩陣如下：

(2)

當(dāng)僅考慮上節(jié)所述靜態(tài)幾何誤差時，誤差矩陣如下：

(3)

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)球球頭中心在基座坐標(biāo)系中實際坐標(biāo)為P03=[XPYPZP1]，在球頭坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為TP=[0 0 0 1],則標(biāo)準(zhǔn)球球心在基座坐標(biāo)系中實際坐標(biāo)為：

P03=T01E01T12E12T23E23TP

(4)

由于誤差值較小，將兩個及兩個以上誤差項乘積忽略，則系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)球球心在基座坐標(biāo)系中實際坐標(biāo)為：

(5)

2 誤差模型參數(shù)的測量

2.1 Δy測量

測量方位軸與俯仰軸離軸量Δy時，在俯仰轉(zhuǎn)臺側(cè)面放置一平面反射鏡，萬分表垂直接觸鏡面，在平面鏡繞俯仰軸與方位軸旋轉(zhuǎn)180°前后位置記錄萬分表示數(shù)變化，變化量即為方位軸與俯仰軸離軸量Δy的二倍。測量裝置如圖3所示，為減小平面鏡安裝姿態(tài)對測量結(jié)果的影響，測量前需調(diào)整平面鏡使與通過方位軸以及旋轉(zhuǎn)軸的平面平行，如圖3(a)使用高精度光電自準(zhǔn)直儀對準(zhǔn)平面鏡，調(diào)整平面鏡姿態(tài)使繞方位軸以及俯仰軸旋轉(zhuǎn)180°前后光電自準(zhǔn)直儀讀數(shù)不變，即可認(rèn)為平面鏡平行于方位軸以及俯仰軸。如圖3(b),接著萬分表垂直接觸鏡面，記錄此時萬分表讀數(shù)，然后俯仰軸以及方位軸準(zhǔn)確旋轉(zhuǎn)180°(測角誤差校正后)后記錄萬分表讀數(shù)，兩次讀數(shù)差即為離軸量Δy的二倍。測量數(shù)據(jù)如表1所示，5次測量數(shù)據(jù)取平均得Δy=102.9 μm。

圖3 Δy測量原理圖

表1 Δy測量結(jié)果

2.2 α測量

如圖4所示為方位軸與俯仰軸不垂直度α標(biāo)定原理裝置圖，兩面平面反射鏡鏡面垂直放置于俯仰軸兩端。首先調(diào)整兩面平面反射鏡使鏡面垂直與俯仰軸，利用高精度光電自準(zhǔn)直儀照射鏡面，調(diào)整平面反射鏡姿態(tài)使其繞俯仰軸旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)光電自準(zhǔn)直儀讀數(shù)不變，即可說明此平面反射鏡與俯仰軸垂直，同理調(diào)整另一側(cè)平面反射鏡。然后保證調(diào)整后的平面反射鏡姿態(tài)不變，使其繞方位軸準(zhǔn)確旋轉(zhuǎn)180度，記錄旋轉(zhuǎn)前后高精度光電自準(zhǔn)直儀示數(shù)差，即為方位軸與俯仰軸不垂直度α的兩倍。測量數(shù)據(jù)如表2所示，5次測量數(shù)據(jù)取平均得垂直度α為91.9″。

圖4 α測量原理圖

表2 α測量數(shù)據(jù)圖

2.3 δx、δz的測量

滾輪滑軌徑向伸縮運動時，由于滑輪與滑桿之間間隙以及滑桿自重的影響使伸縮機構(gòu)運動過程中在二維平面內(nèi)產(chǎn)生晃動，因此增加一束基準(zhǔn)光(光軸)，光軸理論上通過俯仰軸與水平軸軸心，并通過牽引桿內(nèi)照射到安裝于伸縮滑軌末端的PSD上。當(dāng)伸縮機構(gòu)做徑向伸縮運動時在二維平面內(nèi)產(chǎn)生晃動時，以光軸為基準(zhǔn)，兩方向的偏差δx、δz可由PSD光電位置傳感器讀出，從而得出滾輪滑軌機構(gòu)運動直線度并進行補償。

2.4 R0、Δx及Δz的辨識

2.4.1 R0、Δx及Δz的辨識原理

滾輪滑軌結(jié)構(gòu)初始長度即基長R0定義為：標(biāo)準(zhǔn)球球心到光軸出射點的最短距離。光柵測距裝置測量的為相對位移，而滾輪滑軌伸縮機構(gòu)絕對長度為俯仰軸與方位軸軸心到標(biāo)準(zhǔn)球球心的距離，即絕對長度等于初始長度R0與光柵尺讀數(shù)的相對位移之和。

圖5 R0、Δx及Δz的辨識原理圖

如圖5所示，高精度二維線性模組兩軸正交，以辨識R0、Δz為例，由高精度二維線性模組帶動裝置僅沿豎直方向移動，設(shè)實際光軸與理想光軸存在偏差Δz即OF0，在高精度二維線性模組豎直運動方向上確定一初始位置，由于確定的初值位置伸縮滑軌伸出長度較短，可忽略伸縮滑軌變形，認(rèn)為伸縮滑軌結(jié)構(gòu)F0M0與光軸F0G0位于同一直線；當(dāng)線性模組帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球沿豎直軸運動H時，伸縮滑軌繞O點轉(zhuǎn)動θ，此時光軸運動至F1G1，由于伸縮滑軌伸長較長，存在變形，所以標(biāo)準(zhǔn)球頭運動至M1，則M0M1=H，設(shè)初始位置與水平面存在夾角ε，則由幾何位置關(guān)系解三角形OK0K1可得：

H={(R0+R1+Δztanε)2+

(6)

2.4.2 R0、Δz的標(biāo)定實驗

如圖6所示，實驗過程中，首先調(diào)整高精度二維線性模組豎直軸與水平軸垂直；其次調(diào)整轉(zhuǎn)臺基座底部旋鈕使線性模組帶動裝置沿水平軸運動過程中二維轉(zhuǎn)臺俯仰角度示數(shù)不變，即可說明轉(zhuǎn)臺方位軸與線性模組豎直軸平行；接著在伸縮滑軌伸出長度最短處對光柵尺清零；然后運動至初始位置M0，記錄二維轉(zhuǎn)臺俯仰角讀數(shù)θ，已知光柵尺讀數(shù)R1=0.037 mm；最后由線性模組帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球沿豎直軸從初始位置開始以間隔10 mm采集各點數(shù)據(jù)直至運動到線性模組豎直軸坐標(biāo)150 mm處。記錄豎直方向運動距離H、光柵尺讀數(shù)R2、PSD示數(shù)z向變化量δz以及俯仰角度變化量θ。如表3，由多組離散數(shù)據(jù)根據(jù)式(6)進行最小二乘擬合得到：R0=1002.1510 mm，Δx=-0.7091 mm。

圖6 測量實物圖

表3 R0、Δz擬合數(shù)據(jù)表

2.4.3Δx的標(biāo)定實驗

光軸與方位軸離軸量Δx的辨識與Δz辨識同理，只需使線性模組帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球沿水平軸運動即可。幾何關(guān)系表達式為：

(7)

線性模組帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球沿水平軸從初始位置開始以間隔10 mm采集各點數(shù)據(jù)直至運動到線性模組水平軸坐標(biāo)150 mm處,記錄水平方向運動距離H、光柵尺讀數(shù)R2、PSD示數(shù)x向變化量δx以及方位角度變化量φ，已知R0=1002.151 mm，如表4所示由多組離散數(shù)據(jù)利用式(7)進行最小二乘擬合，得到：Δx=-0.7544 mm。

表4 Δx擬合數(shù)據(jù)表

2.5 β的辨識

2.5.1β的辨識原理

由于系統(tǒng)存在俯仰軸與方位軸之間的不垂直誤差α、俯仰軸與光軸之間的不垂直誤差β、滾輪滑軌直線度誤差δx，使測量時方位角φ產(chǎn)生誤差，如圖7、圖8所示，當(dāng)線性模組帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球俯仰角度轉(zhuǎn)過θ時，由于上述三項誤差的存在，方位測角變化量為：

圖7 α、β與Δφ的幾何關(guān)系圖

圖8 δx與Δφ的幾何關(guān)系圖

Δφ=-arctan(sinαtanθ)+arcsin(sinβsecθ)+

(8)

2.5.2 β標(biāo)定實驗

與(2.4.2)R0、Δz的實驗過程相同，線性模組豎直軸帶動標(biāo)準(zhǔn)鋼球從初始位置沿豎直方向以10 mm為間隔向上運動，每運動一次分別記錄轉(zhuǎn)臺方位角變化量Δφ、俯仰角度變化量θ、PSD示數(shù)X向變化量δx、光柵尺示數(shù)Ra。已知R0=1002.1510 mm，α=91.9″，多組離散數(shù)據(jù)通過式(8)進行最小二乘擬合，擬合結(jié)果為：β=-21.6″。

表5 β擬合數(shù)據(jù)表

3 誤差模型補償比對驗證

3.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

已知對于空間中兩不同坐標(biāo)系之間的復(fù)合轉(zhuǎn)換，可以將其旋轉(zhuǎn)與平移運動轉(zhuǎn)換統(tǒng)一表示成4×4的齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。而由于不同設(shè)備具有不同的坐標(biāo)系，對于空間內(nèi)一點在不同的坐標(biāo)系下具有不同的坐標(biāo)。當(dāng)一點在空間內(nèi)運動時，不同的坐標(biāo)系下也具有不同的軌跡方程，因此需統(tǒng)一坐標(biāo)系。下邊簡要介紹空間內(nèi)一點在兩坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。當(dāng)空間內(nèi)一點在坐標(biāo)系C中的坐標(biāo)為(Xc，Yc，Zc),在坐標(biāo)系D的坐標(biāo)中(Xd，Yd，Zd),記坐標(biāo)系D的原點在坐標(biāo)系C中的坐標(biāo)為L(3×1列向量)，由坐標(biāo)系D的X、Y、Z三軸在坐標(biāo)系C中的單位方向向量組成姿態(tài)矩陣R(3×3階)，則有：

(9)

根據(jù)矩陣求逆運算規(guī)則，則：

(10)

3.2 比對實驗

(11)

由于線性模組水平軸與豎直軸上測量點由跟蹤測量系統(tǒng)三維坐標(biāo)決定，因此驗證滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)的空間定位精度時應(yīng)同時考慮其X、Y、Z三方向的偏移量，即空間定位精度ΔL為：

(12)

由圖9可知，測量線性模組X軸時，補償前后滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)空間定位精度由585 μm提高到149 μm。由圖10可知，測量線性模組Y軸時，補償前后滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)空間定位精度由686 μm提高到152 μm。有效的補償了滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)的誤差。

圖9 沿線性模組X軸運動空間定位精度

圖10 沿線性模組Y軸運動空間定位精度

4 結(jié)束語

本文基于球坐標(biāo)測量原理搭建了一臺滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)，并對其進行了全面的幾何誤差分析，接著基于多體系統(tǒng)誤差理論進行誤差建模。然后對所有誤差參數(shù)進行測量或辨識。最后與高精度二維線性模組進行單軸空間精度比對驗證。本文有以下結(jié)論：

1)本文搭建的滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)，采用滾輪滑軌的形式實現(xiàn)伸縮運動；采用光柵測距的方式實現(xiàn)徑向伸縮長度測量。全面分析系統(tǒng)主要誤差源，并基于多體系統(tǒng)誤差理論進行誤差建模。

2)搭建了俯仰軸與方位軸的離軸量Δy、不垂直度α的標(biāo)定裝置，測得離軸量Δy=102.9 μm，α=91.9″。并利用高精度二維線性模組標(biāo)定出R0=1002.1510 mm，光軸與俯仰軸的離軸量Δz=-0.7091 mm、不垂直度β=-21.6″，光軸與方位軸的離軸量Δx=-0.7544 mm。

3)將滾輪式被動激光跟蹤測量系統(tǒng)與高精度線性模組坐標(biāo)系統(tǒng)一后進行精度比對，結(jié)果表明沿線性模組豎直方向運動空間定位精度由585 μm提高到149 μm，水平方向空間定位精度由686 μm提高到152 μm。提高了其空間定位精度。