周群益
(廣州理工學院通識教育學院 廣東 廣州 510540)
莫云飛
(長沙學院電子信息與電氣工程學院 湖南 長沙 410022)
周麗麗
(贛南醫(yī)學院信息工程學院 江西 贛州 341000)
侯兆陽
(長安大學理學院應用物理系 陜西 西安 710064)
文獻[1]在大學物理的“課程思政”與仿真實驗中做了有益的探索,以牛頓環(huán)實驗為例,通過MATLAB的用戶交互系統(tǒng)(GUI)提高學生學習的積極性.不過,文獻[1]中并沒有說明牛頓環(huán)的數(shù)學模型,且文中的模擬結(jié)果也出現(xiàn)明顯差錯,所謂光強分布曲線應該是光波振幅的分布曲線;當中心光強為零時,干涉條紋中心應該是暗斑而不是亮斑.我們多年前就出版了MATLAB與大學物理相結(jié)合的教材,執(zhí)行程序顯示牛頓環(huán)變化的規(guī)律[2].本文重新建立了牛頓環(huán)的數(shù)學模型,應用MATLAB特有的指令,用動畫演示牛頓環(huán)的變化過程,以便讀者掌握牛頓環(huán)動畫的設計方法,解決更多的光學問題.
如圖1所示,半徑很大且為R的平凸透鏡與平板玻璃的距離為d,空氣間隙厚度為e,e?R,d?R.當波長為λ的單色光a垂直入射時,在凸透鏡下表面與空氣的交界面同時發(fā)生反射和透射,反射光為b,透射光a′在平板玻璃的上表面再發(fā)生反射,反射光為b′.b和b′是同一束光a的兩部分,因而是相干光,相遇時就發(fā)生干涉.
圖1 牛頓環(huán)的光路圖
由于玻璃的折射率大于空氣的折射率,所以b光反射時沒有半波損失,因而不會產(chǎn)生附加光程差;b′光反射時有半波損失,因而會產(chǎn)生附加光程差.空氣的折射率n=1,兩列光的光程差為
(1)
(2)
暗環(huán)形成的條件為
(3)
(4)
可知,相鄰明環(huán)或暗環(huán)的厚度差相同.
設光環(huán)的半徑為r,可得方程
r2=R2-(R-e)2
由于R?e,所以
r2≈2Re
(5)
第k級明環(huán)的半徑為
(6)
第K級暗環(huán)的半徑為
(7)
當d= 0時,平凸透鏡接觸平板玻璃,可得
(8)
(9)
其中K=0時的暗環(huán)半徑為零,表示反射光的中央是暗斑(對應的透射光是明斑).干涉級次k或K越大,對應的厚度e也越大,明環(huán)和暗環(huán)距離中心越遠.當平凸透鏡向上移動時,d將增加,由于同一級干涉條紋對應同一厚度,所以條紋向中心移動,k和K較小級次條紋將逐漸消失.
當平行光垂直照射時,設入射光和反射光的振幅都為A0(A0代表光波中電場能量和磁場能量之和的振幅),當兩束光相干疊加時,合振幅為
將式(1)代入上式得
將式(5)代入上式得
(10)
光強與光波振幅的平方成正比I=kA2,其中k是比例系數(shù).因此光強為
(11)
(12)
光強分布規(guī)律為
(13)
(14)
(15)
當d= 0時,相對振幅為
(16)
相對光強為
(17)
利用MATLAB的繪圖指令plot可以畫出光波和光強曲線,利用圖像指令image可畫出干涉圖樣,利用色圖指令colormap可設定干涉條紋的顏色.結(jié)合MATLAB的程序設計方法和輔助指令,可以演示牛頓環(huán)的動畫(見附錄).
圖2 牛頓環(huán)在初始時的光波振幅和光強(d=0)
如圖3所示,當d=0時,牛頓環(huán)中央是暗斑,隨著半徑的增加,條紋間距越來越小,分布越來越密.這是因為相鄰明環(huán)或暗環(huán)的厚度差相同,從里到外空氣厚度逐漸增加的緣故.注意:圖3顯示反射光的牛頓環(huán),對于透射光,牛頓環(huán)的明暗分布的規(guī)律正好相反.
圖4 平凸鏡上移時的牛頓環(huán)
我們認為,傳統(tǒng)學科都要與現(xiàn)代計算機技術結(jié)合起來,光學與MATLAB結(jié)合,能夠幫助學生更好地理解光學知識.我們10年前就花費了多年時間,撰寫了MATLAB與大學物理學相結(jié)合的教材,共有300多個各類程序,其中有10多個光學程序,相信對于讀者具有重要的參考價值.
附 錄
NewtonRing.m
%反射光的牛頓環(huán)的動畫
clear,rm=4;r=-rm:0.005:rm;%清除變量,最大半徑(相對坐標),坐標向量
A=2*cos(pi*(r.^2+1/2));%反射光的相對振幅
figure,subplot(2,1,1),plot(r,A,'LineWidth',2);%建立圖形窗口,選子圖,畫曲線
grid on,fs=16;%加網(wǎng)格,字體大小
xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標簽
ylabel('itA/A m_0','FontSize',fs)%加縱標簽
title('反射光的牛頓環(huán)的初始光波振幅','FontSize',fs)%加標題
subplot(2,1,2),plot(r,A.^2/4,'LineWidth',2),grid on%選子圖,畫曲線,加網(wǎng)格
xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標簽
ylabel('itl/I m_0','FontSize',fs)%加縱標簽
title('反射光的牛頓環(huán)的初始光強','FontSize',fs)%加標題
[X,Y]=meshgrid(r);R=sqrt(X.^2+Y.^2);%坐標矩陣,各點到圓心的相對距離
I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2;c=linspace(0,1,64)';%反射光的相對光強,顏色范圍
figure,h=image(I*64);colormap([c,c*0,c*0])%建立圖形窗口,畫圖像,形成紅色色圖
title('反射光的初始牛頓環(huán)','FontSize',16),axis off equal,pause%標題,隱軸,暫停
title('平凸鏡上移時反射光的牛頓環(huán)','FontSize',16),d=0;%修改標題,初始距離
while 1%無限循環(huán)
d=d+0.02;I=cos(pi*(R.^2+2*d+1/2)).^2;%增加距離,反射光的相對光強
set(h,'CData',64*I),drawnow%設置光強,更新屏幕
if get(gcf,'CurrentCharacter')==char(27),break,end%按ESC鍵退出
end%結(jié)束循環(huán)