徐汝陽 邱智宇 蘇桂鋒 肖桂娜

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院物理系 上海 200234)

導(dǎo)熱系數(shù)是用于表征材料導(dǎo)熱性能的一個(gè)參數(shù)，熱擴(kuò)散率說明物體傳導(dǎo)熱量速度的快慢，通過確定導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散率可以區(qū)分各種物質(zhì)是否適合作為導(dǎo)熱材料或保溫材料.工業(yè)上的大型儀器能夠精確測量出流體的導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散率，但成本較高，不適用于實(shí)驗(yàn)室研究或日常測量.本文采用瞬態(tài)熱線法作為理論模型，通過降低成本、簡化裝置，設(shè)計(jì)了基于Arduino平臺(tái)的測量流體熱擴(kuò)散率和導(dǎo)熱系數(shù)的實(shí)驗(yàn).

1 理論推演

在諸多測量流體的導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散率的方式中，瞬態(tài)熱線法被廣泛認(rèn)為是精確度最高的方式之一.通過直接測量出導(dǎo)熱系數(shù)并建立關(guān)系，便可求得流體熱擴(kuò)散率[1].由于熱線法測量實(shí)驗(yàn)裝置簡單，測量范圍廣泛，本裝置采用交叉熱線法進(jìn)行流體導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散率的測量.

1.1 實(shí)驗(yàn)理論模型——熱線模型

將一根長度為l，半徑為r0的金屬線作為熱源置于被測試樣品的幾何中心，如圖1所示.

圖1 置于被測流體中的熱線

1.2 無限大非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型

假設(shè)被測試樣品是密度為ρ、比熱容為c的均勻流體，其初始溫度為T0，測量其導(dǎo)熱率λ與熱擴(kuò)散率a.

當(dāng)t=0時(shí)，接通加熱裝置使熱線升溫，升溫后測得溫度T，設(shè)ΔT=T-T0為加熱后的溫升.假設(shè)熱線的熱量不會(huì)向兩軸向傳播.在柱坐標(biāo)下建立一維瞬態(tài)導(dǎo)熱微分方程[1]

(1)

t>0 0

式(1)中r是柱坐標(biāo)中坐標(biāo)變量，而a為被測流體的熱擴(kuò)散率.

由初始條件以及邊界條件可知

ΔT(r,t)=0t=0

(2)

r=r0ΔT(r,t)=0r=∞

其中r0為熱線的徑向坐標(biāo)值.

經(jīng)過拉普拉斯變換后，導(dǎo)熱系數(shù)可表示為

(3)

式(3)中

式中γ為歐拉常數(shù)，γ≈0.577.

因此，在已知該熱線的線功率的情況下，通過所測得的溫升與時(shí)間的關(guān)系便可以通過計(jì)算求得被測流體的導(dǎo)熱系數(shù)以及被測流體的熱擴(kuò)散率.

1.3 交叉熱線法測量技術(shù)

為了能夠通過間接測量溫升與時(shí)間參量，并通過曲線或線性擬合后得到某種流體的導(dǎo)熱率與熱擴(kuò)散率進(jìn)行技術(shù)上的進(jìn)一步處理，在此我們使用交叉熱線法的測量技術(shù)，示意圖如圖2所示.

圖2 瞬態(tài)交叉熱線法示意圖

(4)

式中C=eγ≈1.78.

由以上推導(dǎo)，我們便可以看到ΔT與lnt之間的關(guān)系.因此我們可根據(jù)所測得數(shù)據(jù)繪制ΔT-lnt圖像，并通過線性擬合的方式求得該曲線的斜率與截距，也就是A與B的值.隨后，我們便可通過以下計(jì)算求得被測流體的導(dǎo)熱系數(shù)和熱擴(kuò)散率.

被測流體的導(dǎo)熱系數(shù)為

(5)

被測流體的熱擴(kuò)散率為

(6)

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本實(shí)驗(yàn)需要使用Arduino UNO-R3開發(fā)板(圖3)、采用防水型不銹鋼探頭的DS18B20溫度傳感器作為數(shù)據(jù)采集裝置，鎳鉻線、電池、導(dǎo)線、電工膠帶及其他耗材作為加熱裝置.除此之外，也需要一臺(tái)計(jì)算機(jī)用于接收、記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)備工作包括：為開發(fā)板上傳溫度傳感器的程序代碼；將各部件組裝完成，并將開發(fā)板與計(jì)算機(jī)相連，以便實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的傳輸及記錄.實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖如圖4所示.

圖3 Arduino UNO-R3 開發(fā)板

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

實(shí)驗(yàn)過程主要分為以下幾步：

(1)將測溫裝置放入待測液體并靜置液體至均勻狀態(tài)，可得其初始溫度T0.

(2)接通電源并開始測量，通過Arduino的串口監(jiān)視器窗口記錄數(shù)據(jù).

(3)通過所測得的數(shù)據(jù)，繪制ΔT-lnt圖像，并對(duì)所得曲線線性擬合，通過擬合出直線的斜率A與截距B的值計(jì)算出液體的導(dǎo)熱系數(shù)和熱擴(kuò)散率.

3 數(shù)據(jù)測量與分析

3.1 理論值

本實(shí)驗(yàn)采用水作為待測流體，其密度ρ=1×103kg/m3，比熱容c=4.2×103J/(kg·K)，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的導(dǎo)熱率與熱擴(kuò)散系數(shù)的理論值如表1所示[3,4].

表1 水的物性參數(shù)

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖5 298 K水ΔT-ln t圖像

由圖像可知初始時(shí)刻加熱源尚不穩(wěn)定，上升趨勢仍為曲線.當(dāng)lnt大于2小于4.5時(shí)，ΔT-lnt曲線可近似為直線，但當(dāng)lnt大于4.5時(shí)，該曲線逐漸不可再近似為直線.因此我們在數(shù)據(jù)擬合時(shí)需要選擇最佳的測量時(shí)間[6,7],如圖6所示.圖7為303 K的水ΔT-lnt圖像最佳測量時(shí)間.

圖6 298 K水ΔT-ln t圖像最佳測量時(shí)間

圖7 303 K水ΔT-ln t圖像最佳測量時(shí)間

通過圖6、圖7可以發(fā)現(xiàn)，在20.331～75.723 s的區(qū)間中，擬合直線與原曲線較為契合.因此，選取這一測量區(qū)間進(jìn)行分析時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)較為精確.

3.3 誤差分析

確定了最佳測量時(shí)間后，我們再次對(duì)298 K的水的導(dǎo)熱率與熱擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行5次測量并進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理，其結(jié)果如表2所示.

表2 298 K水的導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散率

當(dāng)時(shí)間區(qū)間為20.331 s至75.723 s時(shí)圖像曲線最接近直線，曲線擬合結(jié)果如下：298 K水ΔT-lnt曲線斜率的值為3.875，截距的值為-1.983.本次實(shí)驗(yàn)所使用的熱線的線功率為

4 結(jié)論

本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)基于瞬態(tài)交叉熱線法對(duì)流體導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行測量，在理論上依據(jù)無限大非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì).實(shí)驗(yàn)采用交叉熱線法，測量溫升ΔT與時(shí)間對(duì)數(shù)lnt并繪制ΔT-lnt圖像.在圖像上選擇最佳的測量時(shí)間并保障足夠長的有效測量時(shí)間，通過線性擬合計(jì)算出特定流體的導(dǎo)熱系數(shù)與熱擴(kuò)散率.相較于工業(yè)用儀器的昂貴價(jià)格，本實(shí)驗(yàn)裝置基于Arduino平臺(tái)，利用Arduino UNO-R3開發(fā)板、DS18B20溫度傳感器與鎳鉻線制成的加熱裝置等材料搭建儀器，將每臺(tái)裝置的成本控制在30～40元人民幣左右，并在誤差允許的范圍內(nèi)準(zhǔn)確通過線性擬合方式測量出特定密度與比熱容的流體的熱擴(kuò)散率與導(dǎo)熱系數(shù)，更易于學(xué)生開展實(shí)驗(yàn).