閆如忠，高 潮，王生澤，盧文科

（1.東華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620；2.紡織裝備教育部工程研究中心，上海 201620;3.東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620）

0 引言

非球面零件廣泛應(yīng)用在軍事、航天、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[1]，如美國加那利大型望遠(yuǎn)鏡、歐洲共同體EURO主鏡、法國兆焦耳激光系統(tǒng)。非球面零件作為各種光學(xué)設(shè)備中的核心器件，業(yè)界對其面型精度的要求越來越高，其檢測技術(shù)已成為國內(nèi)外的研究熱點。英國倫敦大學(xué)研制的擺臂式非球面輪廓測量儀，測量口徑可達(dá)1m,面形測量精度可達(dá)20nm；美國亞利桑那大學(xué)采用激光三角傳感器實現(xiàn)了磨削階段的非球面輪廓測量[2]；美國韋伯太空望遠(yuǎn)鏡主鏡在表面粗糙度達(dá)到10μm量級時,采用紅外掃描來獲得表面輪廓[3]。國內(nèi)學(xué)者對此也開展了大量的研究工作，賈立德等[4]對擺臂式非球面輪廓測量儀的原理與技術(shù)進(jìn)行了探討；薛波等[5]采用工控微機(jī)作為上位機(jī),用Visual C++開發(fā)工具設(shè)計了一套非球面測量系統(tǒng)，其測量行程為100mm～120mm，測量系統(tǒng)誤差為5μm；范劍紅等[6]采用工控機(jī)作為上位機(jī)，設(shè)計了光學(xué)非球面檢驗系統(tǒng)；郝群等[7]介紹了基于干涉法的非球面測量技術(shù)，但干涉法需制作特殊的補償器，導(dǎo)致其通用性很差，且測量精度受到補償器的影響較大；馬志平等[8]提出了一種采用激光位移傳感器做為測頭的非球面在位檢測系統(tǒng)。

離線測量存在二次裝甲定位基準(zhǔn)不重合誤差、無法實時反應(yīng)工件加工情況等缺點［9］，在線測量雖是動態(tài)測量但對傳感器和環(huán)境的要求極高[10]，而在位測量不但能避免二次裝甲定位基準(zhǔn)不重合誤差，還可實時觀測加工結(jié)果，將誤差反饋給設(shè)備補償加工，從而提高制造精度[11]。由于非球面零件的非接觸式測量方式對不同測量環(huán)境的通用性差，而接觸式測量具有測量結(jié)果可靠、對環(huán)境適應(yīng)性強等優(yōu)點[12,13]。故針對應(yīng)用廣泛的軸對稱非球面零件設(shè)計了一套接觸式在位測量系統(tǒng)，通過運動控制卡和計算機(jī)通信對機(jī)床精密運動平臺進(jìn)行運動控制，同時數(shù)據(jù)采集卡通過采集機(jī)床各軸上的磁柵尺傳感器信號得到測頭觸發(fā)時待測非球面零件上測點的空間坐標(biāo)值，將所得各測點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)誤差分離后進(jìn)行曲面擬合并與設(shè)計曲面進(jìn)行對比即可得到其面型誤差。該系統(tǒng)測量過程直觀，可靠性高。采用更新的軟件開發(fā)平臺，提高了測量效率，采用模塊化的開發(fā)思想，使得系統(tǒng)的兼容性和可移植性好，引入手搖控制器使得控制過程更加簡單方便。

1 測量原理

非球面有軸對稱非球面和非軸對稱非球面，而光學(xué)系統(tǒng)中的非球面大部分是軸對稱的。軸對稱非球面可用其子午截面的方程來表示[14]：

上式中z軸為旋轉(zhuǎn)軸，C為頂點曲率，其值為1/R，R是曲線頂點處的曲率半徑，K為二次曲線常數(shù)，其值為-e2，其中e為二次曲線偏心率。Ai為非球面系數(shù)，當(dāng)其為0時，式(1)表示二次曲面，且二次曲面的形狀和K值有一定的對應(yīng)關(guān)系。

軸對稱類非球面其曲面方程可由子午面（Ⅰ或Ⅱ）繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到，通常只需按一定的間隔測量其子午線上各點的坐標(biāo)，進(jìn)行曲線擬合，再通過與理論曲線進(jìn)行對比即可得出其面型誤差。

采用最小二乘法多項式曲線擬合算法對其子午線上的測量點數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，該方法根據(jù)測量點數(shù)據(jù)（xi,zi）尋找其最合適的擬合曲線z=g(x)，以保證所有點到該曲線上對應(yīng)點坐標(biāo)的差值的平方和最小。即：

故需找到最佳的擬合曲線g(x)，使式(2)的值最小。其中g(shù)(x)可被n次多項式唯一線性表出，設(shè)其為：

通過確定n次多項式g(x)的各項系數(shù)a0，a1，…，an-1，an，使得式(4)的值最小。

當(dāng)n=l時，g(x)為一次多項式，最小二乘擬合為直線擬合，如式(5)所示：

當(dāng)n>1時，最小二乘法曲線擬合轉(zhuǎn)化成多元函數(shù)求極值的問題。若其極值存在則其一階偏導(dǎo)數(shù)必存在且其值為零，故有：

對(6)式進(jìn)行整理有式(7)，式(8)和式(9)：

上式關(guān)于g(x)各項系數(shù)a0，a1，…，an-1，an的線性方程組可用矩陣的形式表示為：

當(dāng)該矩陣為正定矩陣時，其有且僅有唯一解，由此可求出g(x)的各項系數(shù)，即可得到該組數(shù)據(jù)的最小二乘法多項式擬合曲線。

多項式g(x)的次數(shù)提高雖然可使測量點處的擬合精度提高，但可能使測量點處產(chǎn)生突變，出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，且項數(shù)的增加會給加工和檢驗帶來困難，故其次數(shù)一般小于六次。

2 誤差分離

在位測量系統(tǒng)的主要精度評價指標(biāo)為：測量精度（分辨率）和測量重復(fù)性精度。其精度受多種誤差的影響，按照誤差的性質(zhì)可將其分為隨機(jī)誤差，系統(tǒng)誤差和粗大誤差。其中隨機(jī)誤差是由外界條件的隨機(jī)變化產(chǎn)生的，它的出現(xiàn)沒有規(guī)律性，隨機(jī)誤差雖然不可避免，但可采用多次測量取平均值的方法將其影響降低到最小。系統(tǒng)誤差由機(jī)床系統(tǒng)誤差和測量系統(tǒng)誤差組成。機(jī)床誤差有機(jī)床幾何以及運動誤差。測量系統(tǒng)誤差有測頭半徑誤差、位姿誤差等。粗大誤差是指在規(guī)定的測量條件下明現(xiàn)偏離真實值的測量值，其會導(dǎo)致測量結(jié)果嚴(yán)重失真，因此需要采取措施將其剔除。因機(jī)床工作平臺采用氣浮導(dǎo)軌，其各項性能都很優(yōu)異，故重點對測量系統(tǒng)誤差進(jìn)行了分析。

2.1 測頭半徑補償

在接觸式測量中，得到的點的坐標(biāo)為測頭球心的位置坐標(biāo)，必須對其進(jìn)行半徑補償才能得到實際接觸點的坐標(biāo)。常用的補償方法有三點共圓法、直接補償法、曲線擬合法。

三點共圓法要求原始數(shù)據(jù)精度較高，一旦原始數(shù)據(jù)中存在粗大誤差，將在后續(xù)補償中被反復(fù)放大，產(chǎn)生錯誤的結(jié)果。直接補償法有一定的局限性，工件的曲線方程必須已知，且對測量前的工件精度及測頭分辨率要求較高。而曲線擬合法則沒有那么苛刻的要求，且受到粗大誤差的影響不大，故通常采用該方法進(jìn)行測頭半徑補償。

圖1 軸對稱非球面

2.2 位姿誤差

由于測量坐標(biāo)系和其原點與工件坐標(biāo)系不重合，故會產(chǎn)生位姿誤差，其會對測量結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生影響。

圖2 位姿誤差模型

若以工件坐標(biāo)系xyz為基準(zhǔn)，測量坐標(biāo)系x'軸、y'軸、z'軸分別轉(zhuǎn)過α、β、Υ角度并將其原點平移T向量后與工件坐標(biāo)系重合。則其旋轉(zhuǎn)矩陣為：

若知道旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T，則測量坐標(biāo)系x'y'z'中的任意點都可以轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系xyz中，其變換公式如式(12)所示。

2.3 粗大誤差

粗大誤差具有嚴(yán)重偏離周邊點數(shù)據(jù)的特點，因此，可先采用比較法直接對粗大誤差點進(jìn)行剔除，然后采用拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)行處理，找到其中的粗大誤差點并對其進(jìn)行剔除。拉依達(dá)準(zhǔn)則在數(shù)據(jù)點滿足正態(tài)分布時可用，首先分別計算出該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值Z和標(biāo)準(zhǔn)差σ，若Zi-Z的絕對值大于3σ則Zi含有粗大誤差，應(yīng)將其剔除。重復(fù)這一過程，直到所有的粗大誤差點被剔除。

3 試驗平臺建立

3.1 硬件系統(tǒng)

系統(tǒng)硬件部分如圖3左部所示，由機(jī)床精密運動平臺和計算機(jī)組成。機(jī)床精密運動平臺關(guān)鍵器件包括三個方向的伺服電機(jī)、各軸磁柵尺傳感器和Z軸搭載的接觸式測頭。測頭選用DGC-6PG/A型LVDT測頭。DGB-5B型電感測微儀是一種精度高，穩(wěn)定性好，能夠準(zhǔn)確測出微小尺寸變化的精密儀器，配合DGC-6PG/A型測頭可直接測出Z方向增量，測量精度可達(dá)0.1μm，重復(fù)測量誤差小于0.07μm。

計算機(jī)主機(jī)中插入了運動控制卡和數(shù)據(jù)采集卡。通過運動控制卡和計算機(jī)通信，控制機(jī)床精密運動平臺各軸上的伺服電機(jī)實現(xiàn)對平臺運動的控制。當(dāng)機(jī)床Z軸上的接觸式測頭發(fā)出觸發(fā)信號時，由數(shù)據(jù)采集卡采集到此刻機(jī)床各軸上磁柵尺傳感器的信號，并將其轉(zhuǎn)化為測點的空間坐標(biāo)值傳給計算機(jī)保存，做進(jìn)一步數(shù)據(jù)處理。

3.2 軟件系統(tǒng)

該測量系統(tǒng)軟件部分如圖3右部所示，由在位數(shù)據(jù)采集模塊和在位數(shù)據(jù)處理模塊兩部分組成。在位數(shù)據(jù)采集模塊包括兩個模塊:運動控制模塊和數(shù)據(jù)采集模塊。通過對各個模塊進(jìn)行封裝，使得軟件的兼容性和可擴(kuò)展性良好。

圖3 測量系統(tǒng)總體方案

運動控制模塊用來控制機(jī)床精密運動平臺的運動。由于電機(jī)最后到達(dá)的位置和設(shè)置的位置之間會存在誤差，采用增量式PID的模糊控制算法進(jìn)行誤差補償，可精準(zhǔn)控制三軸運動，并實時顯示各軸誤差情況。該模塊中引入了手搖控制器使得控制過程更加簡單方便。該手搖控制器有三個模塊，x/y/z軸選模塊、X1/X10/X100倍率放大模塊、脈沖發(fā)生器模塊。其中軸選和倍率模塊為開關(guān)量，運動控制卡通過對對應(yīng)端口高低電平的判別即可對各開關(guān)量的狀態(tài)進(jìn)行識別。脈沖發(fā)生器模塊中需為其提供+5v電壓，則當(dāng)搖動手柄時，對應(yīng)的2根引線之間會產(chǎn)生差分信號，通過對該信號的計數(shù)即可得到脈沖個數(shù)，再將其轉(zhuǎn)化為需要移動的距離。

數(shù)據(jù)采集模塊使計算機(jī)和數(shù)據(jù)采集卡建立通信實現(xiàn)對機(jī)床三軸上磁柵尺傳感器位置信號的采集。該模塊中集成了采樣點路徑規(guī)劃、測點分布及其個數(shù)選取策略等功能。

在位數(shù)據(jù)處理模塊主要功能是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，包括測量數(shù)據(jù)的誤差分離，非球面擬合，面型精度計算等。

4 試驗驗證

4.1 精度標(biāo)定

通過標(biāo)準(zhǔn)球測量試驗對該系統(tǒng)進(jìn)行精度標(biāo)定。如圖4所示，選用的標(biāo)準(zhǔn)球為φ39.9965±0.0005mm，材料為不銹鋼。找到標(biāo)準(zhǔn)球頂點后在xoz平面內(nèi)將其設(shè)為坐標(biāo)原點（0,0），沿x方向-2mm到2mm的范圍內(nèi)進(jìn)行步長為0.05mm的逐點測量，得到的數(shù)據(jù)經(jīng)過誤差分離后對其進(jìn)行最小二乘法圓形擬合得到的擬合圓如圖5所示。其擬合半徑為20.0004mm，圓心為（0.0000,-20.0004），與標(biāo)準(zhǔn)球的理論半徑相比誤差小于0.003mm，由此可知，該系統(tǒng)的測量精度較高。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)球測量

圖5 標(biāo)準(zhǔn)球測量數(shù)據(jù)擬合

4.2 單點重復(fù)測量

如圖6所示，打開測量軟件，連接運動控制卡和數(shù)據(jù)采集卡，設(shè)置好相關(guān)參數(shù)，對非球面零件上的同一點進(jìn)行40次重復(fù)測量，其結(jié)果如圖7所示。圖8為單點重復(fù)測量數(shù)據(jù)點偏差分布情況，由圖可知，該測量系統(tǒng)單點重復(fù)測量標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.00123mm，具有較好的穩(wěn)定性。

圖6 非球面零件測量

圖7 單點重復(fù)測量試驗數(shù)據(jù)

圖8 單點重復(fù)測量偏差分布

4.3 子午線測量

對軸對稱非球面零件的子午線進(jìn)行在位測量試驗，所用零件為折射率為1.61的非球面防輻射樹脂鏡片，直徑70mm，中心厚度1.2mm。找到待測非球面零件頂點后沿X軸移動測頭至零件邊緣并在xoz平面內(nèi)將該點的坐標(biāo)值設(shè)為（-35,0），從x坐標(biāo)為-35mm開始，測量間距為1mm，采樣長度為70mm，共計70個點進(jìn)行測量。對子午線的測量結(jié)果誤差分離后，采用最小二乘法多項式擬合算法對其進(jìn)行擬合，得到的結(jié)果如圖9所示，可知其二次擬合和四次擬合相比殘差相差不大，故取二次擬合，其擬合方程為：

圖9 測量結(jié)果擬合曲線

4.4 面型測量

取該零件中心局部，采用弓字型測量軌跡，測量范圍為x方向[-2,2]毫米，y方向[-2,2]毫米，x方向和y方向采樣間距都為0.4mm，得到的擬合曲面如圖10所示，其誤差平方和為12.65μm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.32μm，通過與其設(shè)計曲面對比即可知其面型誤差。

圖10 弓字形測量軌跡擬合曲面

對該零件相同局部上的每個相同測點采用?？怂箍等鴺?biāo)測量機(jī)進(jìn)行測量，并對其測得的結(jié)果進(jìn)行曲面擬合。為保證二者的測點盡可能一一對應(yīng)，如圖11所示，將測頭沿著箭頭方向以0.001mm步長緩慢移動，同時采集各點的坐標(biāo)值。當(dāng)測頭到達(dá)平臺邊緣A點時，繼續(xù)向前移動時其X方向坐標(biāo)會有一個跳變，記下該跳變點的前一個測點的坐標(biāo)值（XA,YA），對該點進(jìn)行測頭半徑補償后的坐標(biāo)值（XA+r,YA）即為平臺邊緣點A的X、Y坐標(biāo)值。對該點進(jìn)行位姿校正后，在A點的基礎(chǔ)上，將測頭向X正方向移動60mm，向Y軸正方向移動30mm，到達(dá)鏡片上B點，將該點作為鏡片上的參考點。再從這點出發(fā)按照規(guī)劃的軌跡進(jìn)行測量。當(dāng)在?？怂箍等鴺?biāo)測量機(jī)進(jìn)行測量時，用同樣的方法將測頭沿著箭頭方向以0.001mm步長緩慢移動，同時采集各點的坐標(biāo)值，找到平臺邊緣A點的坐（XA’,YA’），因三坐標(biāo)測量機(jī)已經(jīng)進(jìn)行過半徑補償，故只需在該點的基礎(chǔ)上將測頭向X正方向移動60mm，向Y軸正方向移動30mm，即可到達(dá)鏡片上的參考點B點。再從這點出發(fā)按照相同的軌跡進(jìn)行測量，從而保證機(jī)器上的測點和三坐標(biāo)測量機(jī)上的測點盡可能一一對應(yīng)。

圖11 工件的測量

通過與該在位測量系統(tǒng)得到的測量結(jié)果進(jìn)行對比，二者各測點坐標(biāo)值分布如圖12所示，二者擬合曲面z方向誤差情況如圖13所示，其最大值為0.00396mm，由此可知該在位測量系統(tǒng)得到的結(jié)果是可靠的。二者產(chǎn)生誤差的原因可能如下：1）二者各測點未嚴(yán)格一一對應(yīng)；2）二者測量環(huán)境不同；3）二者所用軟件的數(shù)據(jù)處理精度不同；4）二者對工件的位姿誤差處理方式不同等。后續(xù)將對其誤差原因進(jìn)行更加細(xì)致的分析，設(shè)法將該測量系統(tǒng)的誤差降至最小。

圖12 二者各測點坐標(biāo)值對比

圖13 二者擬合曲面Z方向誤差

表4 不同規(guī)模下揀選路徑和時間的對比

5 結(jié)語

非球面零件在眾多精密器械中有著廣泛的應(yīng)用，而檢測作為保證產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)顯得尤其重要。針對非球面零件在制造過程中的面型精度檢測完成了以下工作：

1）提出并開發(fā)了一套軸對稱非球面零件在位測量系統(tǒng)。對該系統(tǒng)進(jìn)行了誤差分離，為測量結(jié)果的準(zhǔn)確性提供了保障；

2）通過對標(biāo)準(zhǔn)球的測量，完成了該測量系統(tǒng)的精度標(biāo)定，測量誤差小于0.003mm。對該測量系統(tǒng)進(jìn)行了單點重復(fù)測量試驗，驗證了其具有較好的穩(wěn)定性；的問題。本文根據(jù)倉配一體化倉庫的實際情況，建立TSP模型，分別用遺傳（GA）和遺傳模擬（GASA）算法對模型進(jìn)行求解。在Matlab2012a中進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，在揀貨路徑方面，GA行走了505.8162m，GASA行走了502.7799m，路徑節(jié)約了0.6%，在揀貨時間方面，GA使用了442.0900s，GASA使用了439.7500s，時間節(jié)約了0.5%，故GASA比GA更適合求解這類問題。同時反映出，當(dāng)揀貨數(shù)量越多時，節(jié)約的揀貨距離以及時間也越多，從而提高了倉庫整體的揀貨效率以及服務(wù)水平。

3）對軸對稱非球面零件進(jìn)行了在位測量試驗，擬合出了其子午線方程；對其中心局部進(jìn)行了弓字型軌跡測量試驗，擬合出了其曲面形狀，并與?？怂箍等鴺?biāo)測量機(jī)測得的結(jié)果進(jìn)行了對比，二者z方向最大誤差為0.00396mm；

4）該測量系統(tǒng)具有測量結(jié)果可靠，可降低非球面零件的加工成本，提高其加工效率等優(yōu)點。