李麗花

(上海電力大學 數(shù)理學院, 上海 200090)

隨著計算機技術的廣泛應用和現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展,系統(tǒng)結構變得越來越復雜,大多數(shù)的復雜控制系統(tǒng)都含有連續(xù)變量的動態(tài)變化過程和以符號操作為特征的離散過程。這種由連續(xù)演化和離散演化混合而成,且兩者相互作用的復雜系統(tǒng),稱為混雜系統(tǒng)。作為混雜系統(tǒng)研究領域的一個重要組成部分,混雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制引起了研究者的廣泛關注[1-8]。

目前,對混雜系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的研究大都集中在必要最優(yōu)性條件[2-8]。利用混雜最優(yōu)控制問題的解所滿足的必要條件,可以得到可能的最優(yōu)解。該解是否真的最優(yōu)還需要充分條件來保證。對于一類連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題,通過將Hamilton-Jacobi不等式的求解轉(zhuǎn)化成求解一個有限維參數(shù)優(yōu)化問題,可以得到該問題最優(yōu)解所滿足的充分條件[9]。該充分條件主要包括Legendre-Clebsch條件和Riccati方程的求解,相對易于驗證。對于混雜最優(yōu)控制問題,其難點在于確定Riccati方程所滿足的跳躍性條件。本文利用參數(shù)化方法,將系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生跳躍的點轉(zhuǎn)化為待確定的參數(shù),求出了滿足特定邊界條件的Riccati矩陣方程,得到了一類混雜最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解所滿足的充分條件,將連續(xù)系統(tǒng)的Riccati方法推廣到混雜系統(tǒng)。

1 問題描述

設t0

(1)

記θ=(t1,t2,t3,…,tN-1),則確定滿足式(1)的向量組(θ,x(t),u(t)),使得函數(shù)

(2)

為最小。

其中,φi∈R,Li∈R,關于其變量二次連續(xù)可微,i=1,2,3,…,N。 為方便起見,記上述最優(yōu)控制問題為(P)。

2 主要結論及其證明

定理1設 (θ0,x0,u0)為最優(yōu)控制問題(P)的極小值,則存在λ0∈R和分段連續(xù)變量λ(t)=(λ1(t),…,λN(t))T,使

Hi(x(t),u(t),λi(t))=

i=1,2,3,…,N

(3)

則以下結論成立:

(1) 協(xié)態(tài)方程

(4)

(2) 極小值條件

(5)

(3) 連續(xù)性條件

i=1,2,3,…,N-1

(6)

(4) 跳躍性條件

i=1,2,3,…,N-1

(7)

定理1的證明與文獻[8]中類似。定理1給出了最優(yōu)控制問題(P)的必要性條件。利用必要性條件得到的最優(yōu)解是否真的最優(yōu),還需要進一步判斷。下面給出判斷該最優(yōu)控制問題(P)的最優(yōu)解的充分條件。

定理2設(θ0,x0,u0)滿足定理1中的一階必要性條件,若以下條件成立

(8)

(Hixu+Qifiu)(Hiuu)-1·

(Hixu+Qifiu)

(9)

(Hixu+Qifiu)(Hiuu)-1·

(10)

(11)

其中,τi=ti-ti-1,Qi(t)∈Rn×n,Ri(t)∈Rn,qi(t)∈R。

(3) 式(8)～式(10)的解Qi(t),Ri(t)和qi(t)滿足如下邊界條件和跳躍條件:

證 明對i=1,2,3,…,N, 記τi=ti-ti-1,通過t=ti-1+sτi引入變量s∈[0,1],定義為

xi(s)=x(ti-1+s(ti-ti-1))

(12)

ui(s)=u(ti-1+s(ti-ti-1))

(13)

可以將最優(yōu)控制問題(P)轉(zhuǎn)化為等價問題(P1),即

(14)

τNHNuNuN)

(15)

(16)

(17)

同時,可以得到

(18)

(19)

(20)

i=1,2,3,…,N

(21)

利用式(5)～式(7),可以得到等價問題(P1)的Riccati微分方程,為

(22)

(23)

對i=1,2,3,…,N,記

(24)

(25)

定理2表明,最優(yōu)控制問題(P)的充分條件判別在于滿足一定邊界條件和跳躍條件的Riccati矩陣方程組解的存在性的判別,以及Hamilton方程Legendre-Clebsch條件的驗證。

3 舉 例

(26)

該最優(yōu)控制問題的Hamilton函數(shù)為

(24)

根據(jù)定理1,經(jīng)計算可得,當v=-2時,該混雜系統(tǒng)的最優(yōu)跳變時刻為t1=0.699 3,系統(tǒng)的控制變量、狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量曲線如圖1～圖3所示。

圖1 控制變量曲線

圖2 狀態(tài)變量曲線

圖3 協(xié)態(tài)變量曲線

利用定理2檢驗跳變時刻t1=0.699 3的最優(yōu)性。因為該最優(yōu)解是用定理1的結論計算所得,因此一階必要條件滿足。 此外,在區(qū)間[0,1]上,有Hiuiui=1>0,i=1,2,故式(8)成立。

由式(9)～式(11)可得

(28)

(29)

(30)

通過選取適當?shù)膮?shù),式(28)～式(30)有如下解

(31)

(32)

(33)

記

(34)

(35)

(36)

函數(shù)Q,R,q的圖形如圖4～圖6所示。由圖4～圖6可知,定理2中的第2個條件滿足。

圖4 函數(shù)Q的圖形

圖5 函數(shù)R的圖形

圖6 函數(shù)q的圖形

(37)

式(32)的特征值為0.060 1,3.103 9,6.513 8,所以該矩陣在R3×R3上正定,跳躍條件B2滿足。這樣定理2的條件都滿足了,因此t1=0.699 3最優(yōu)。

4 結 語

本文研究了一類混雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。通過將系統(tǒng)狀態(tài)跳變時刻為端點的可變子區(qū)間轉(zhuǎn)化為新的狀態(tài)變量,再利用古典的最優(yōu)控制理論,得到了該混雜控制問題最優(yōu)解所滿足的充分條件。結論表明,當Legendre-Clebsch條件成立,且滿足特定條件的Riccati方程存在有界解時,利用必要性條件求出來的最優(yōu)解為真正的最優(yōu)解。本文的結論將最優(yōu)控制的充分條件從連續(xù)系統(tǒng)推廣到混雜系統(tǒng)。