種孝文

（白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 白城 137000）

0 引言

非線性代數(shù)方程組并行模型的工作是在并行機(jī)上完成大規(guī)模的數(shù)據(jù)計算。非線性代數(shù)方程組可以解決計算機(jī)校驗、圖像切割、數(shù)據(jù)分析、項目工程等相關(guān)領(lǐng)域的問題[1-2]。為了提高非線性代數(shù)方程組的計算精度并簡化方程組計算的復(fù)雜度，本文設(shè)計了基于偏微分的非線性代數(shù)方程組并行模型。由于并行計算機(jī)的處理對象具有規(guī)模大、復(fù)雜度高的特點，考慮到以上因素，本文通過降噪算法完成對傳統(tǒng)非線性代數(shù)方程組的優(yōu)化。另外，該方程組并行模型還融合了多分裂迭代算法和偏微分方程，有效降低了模型計算過程的復(fù)雜度，達(dá)到了提高模型計算精度的目的。

1 非線性代數(shù)方程組并行模型設(shè)計

1.1 并行算法思路設(shè)計

在設(shè)計并行算法時，首先檢索待計算的數(shù)據(jù)庫，對內(nèi)部的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，轉(zhuǎn)變數(shù)據(jù)格式，處理公式如下：

式中：?表示預(yù)處理后的數(shù)據(jù)；D表示當(dāng)前時刻所屬數(shù)據(jù)庫內(nèi)部數(shù)據(jù)的水平集合；φ表示檢索數(shù)據(jù)的梯度算子[3-4]。

數(shù)據(jù)并行運算過程如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)并行運算過程

根據(jù)初始化操作完成對數(shù)據(jù)的預(yù)處理，然后根據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)模和計算類型選擇對應(yīng)的權(quán)函數(shù)。權(quán)函數(shù)的作用是平衡迭代計算過程中模型計算的誤差，并且確定數(shù)據(jù)計算任務(wù)的核心關(guān)聯(lián)量。在確定數(shù)據(jù)的核心關(guān)聯(lián)量后，隨之確定數(shù)據(jù)整體關(guān)聯(lián)量的迭代下降流，計算公式如下：

式中：δ表示數(shù)據(jù)庫內(nèi)數(shù)據(jù)流的約束分子；r表示數(shù)據(jù)的字節(jié)數(shù)[5-6]。

然后對內(nèi)部有效數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)切割。非線性代數(shù)方程組并行算法的切割原則是隨機(jī)組合數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度最小的三個數(shù)據(jù)分子[7-9]。為了降低算法的誤差，本文通過數(shù)據(jù)能量函數(shù)計算數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)。關(guān)聯(lián)切割過程如圖2所示。

圖2 關(guān)聯(lián)切割過程

在此基礎(chǔ)上，結(jié)合波前控制算法，將切割處理好的數(shù)據(jù)塊重新構(gòu)成一個可調(diào)用分解的數(shù)據(jù)體系，該過程計算公式如下：

式中：y表示數(shù)據(jù)邊緣算子；φ表示拉普拉斯算子；k表示數(shù)據(jù)集成的高斯運算積[10-12]。

并行數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 并行數(shù)據(jù)

相對于上述傳統(tǒng)的并行計算過程，非線性代數(shù)方程組并行算法的優(yōu)點是：在處理相同規(guī)模的數(shù)據(jù)時，并行模型可以在一定程度上減少數(shù)據(jù)計算過程的負(fù)載和開銷，保證模型的計算能力。將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)在非線性代數(shù)方程組并行模型上模擬分布，一旦矩陣的絕對對角數(shù)值為0時，則并行模型的迭代分量無需另行計算，直接代入設(shè)定值1即可。這種做法可以節(jié)省計算時間、提高計算效率。

1.2 并行數(shù)據(jù)去噪處理

對并行數(shù)據(jù)實施去噪處理的目的是：在提高數(shù)據(jù)精度的同時，保證數(shù)據(jù)處理的有效性。因為去噪過程具有數(shù)據(jù)還原性和數(shù)據(jù)銷毀性，因此這一運算流程是不可逆的，但是在最初模型數(shù)據(jù)錄入時存在數(shù)據(jù)備份，因此不需要擔(dān)心流程誤操作造成的影響。

數(shù)據(jù)去噪處理過程如下：

式中：N表示去噪后的數(shù)據(jù)；F表示數(shù)據(jù)的權(quán)重系數(shù)；u表示非線性方程組并行模型的光滑數(shù)據(jù)項；A表示非負(fù)非減函數(shù)；l表示數(shù)據(jù)塊的序列號。

本文設(shè)計的數(shù)據(jù)去噪算法不僅有效地消除了冗余數(shù)據(jù)，同時也避免了模型在處理數(shù)據(jù)過程中因出現(xiàn)格式錯誤而終止模型計算的情況。數(shù)據(jù)處理過程如圖4所示。

圖4 數(shù)據(jù)處理過程

1.3 四階偏微分方程分析

由于弧度數(shù)據(jù)降噪的總變數(shù)總是比直線無噪數(shù)據(jù)的總變數(shù)大。因此，基于偏微分的非線性代數(shù)方程組并行模型可表示為以下優(yōu)化問題：

式中：n表示數(shù)據(jù)塊數(shù)量；u表示數(shù)據(jù)計算閾值。

基于此，隨著計算次數(shù)的增加，非線性代數(shù)方程組并行模型能夠達(dá)到最大去噪標(biāo)準(zhǔn)[13]。在這一過程中，研究發(fā)現(xiàn)在數(shù)據(jù)波動情況較為平坦的區(qū)域中，方程的擴(kuò)展性能會增強(qiáng)，其可將數(shù)據(jù)亂碼的區(qū)域擴(kuò)展成平滑區(qū)域，從而提高多個數(shù)據(jù)節(jié)點集成為一個整體的數(shù)據(jù)切割塊過程中的轉(zhuǎn)變效果。在越平坦的區(qū)域上，數(shù)據(jù)擴(kuò)展態(tài)勢也會越強(qiáng)烈，最終使所有數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)化成片段式的常數(shù)區(qū)域，這時數(shù)據(jù)切割塊中的各個數(shù)據(jù)節(jié)點都具有獨立性，并且數(shù)據(jù)塊邊緣的數(shù)據(jù)節(jié)點也具有完整性[14-15]。

綜上所述，本文設(shè)計的非線性代數(shù)方程組并行算法可以成功地降低數(shù)據(jù)噪聲信息并實現(xiàn)減噪最大化。但其缺點在于數(shù)據(jù)降噪過程中可能出現(xiàn)過度擴(kuò)展情況，且數(shù)據(jù)被切分為非常小的結(jié)構(gòu)體，增加了數(shù)據(jù)融合計算的復(fù)雜度，從而產(chǎn)生“弧度效應(yīng)”，為此，本研究設(shè)計了一個四階偏微分方程來消除“弧度效應(yīng)”帶來的影響。

1.4 并行模型的實現(xiàn)

在上述研究的基礎(chǔ)上，設(shè)計如下并行模型的實現(xiàn)過程。為了將偏微分方程與非線性代數(shù)方程組并行算法的集成契合度最大化，本研究規(guī)定基于偏微分的非線性代數(shù)方程組并行模型的并行差分格式如下：

式中：A1B1表示50×50階對角陣；C1表示50×50階三角對角陣；b49表示50×50矩陣庫。

因為非線性代數(shù)方程組并行模型需要對數(shù)據(jù)塊進(jìn)行切割處理，切割過程中只是保證了單位數(shù)據(jù)的完整性，卻忽略了待計算數(shù)據(jù)的有效性。因此，上述規(guī)定的基于偏微分的非線性方程組并行差分格式重新制約了被切割數(shù)據(jù)的有效性，從而有效保證計算結(jié)果的精度。模型矩陣內(nèi)的所有數(shù)據(jù)序號按照切割順序排列即可。根據(jù)上文提到的相關(guān)算法，總結(jié)出基于偏微分的非線性代數(shù)方程組的并行模型計算流程如圖5所示。

圖5 基于偏微分非線性代數(shù)方程組的并行模型計算流程

步驟1：對待計算的數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化處理，輸出一系列有效的數(shù)據(jù)，然后利用非線性代數(shù)方程組并行算法對所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行切割分類操作。

步驟2：對經(jīng)切割得到的小數(shù)據(jù)包進(jìn)行降噪分析，過程中會舍棄部分失效的數(shù)據(jù)節(jié)點，處理完成后，再重建數(shù)據(jù)并補(bǔ)錄到非線性代數(shù)方程組并行模型內(nèi)。

步驟3：調(diào)用偏微分方程，檢驗?zāi)Ｐ蛢?nèi)部的數(shù)據(jù)是否具有收斂特性。如果具有收斂特性，則停止處理，按照計算任務(wù)處理模型內(nèi)的數(shù)據(jù)，輸出結(jié)果即可；如果模型內(nèi)的數(shù)據(jù)不具備收斂特性，則重復(fù)步驟1，直至最終模型內(nèi)的數(shù)據(jù)全部具有收斂性特征，輸出計算結(jié)果，并行模型完成計算任務(wù)。

2 實驗與研究

為了檢驗上述設(shè)計的基于偏微分的非線性代數(shù)方程組并行模型的實際運算能力，設(shè)計了如下對比實驗。利用本文模型與傳統(tǒng)基于擬牛頓法的并行模型和基于粒子群算法的并行模型同時針對同一非線性代數(shù)方程組進(jìn)行分析計算，記錄三種模型在運算過程中的搜索次數(shù)，并計算出各自的運算成功率，進(jìn)而能夠更加科學(xué)地分析出三種模型的計算準(zhǔn)確度和運算效率。

將同一組非線性代數(shù)方程組導(dǎo)入到運算模型程序中，數(shù)據(jù)經(jīng)過變換處理，得到對應(yīng)的負(fù)常曲率的曲面，根據(jù)得到的曲面進(jìn)行變換求解。導(dǎo)入的非線性方程組如下：

首先，將方程和存在未知函數(shù)的部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為含有未知函數(shù)的等價多項式非線性方程：

然后，根據(jù)平衡原則對其進(jìn)行展開，得到含有未知函數(shù)的非線性方程解的表達(dá)式：

對上述表達(dá)式進(jìn)行求約化解，經(jīng)過多次搜索運算得到多個方程組精確解的函數(shù)表達(dá)，然后借助波形函數(shù)模型構(gòu)建程序，通過求解運算得到方程組精確解的最終結(jié)果。為了進(jìn)一步提高計算的精準(zhǔn)度，可以加深運算的程度，增加求解的運算搜索次數(shù)，使計算結(jié)果更加精確。三種模型的運算成功率對比結(jié)果如圖6所示。

圖6 三種模型運算成功率對比圖

如圖6所示，相比于傳統(tǒng)模型來說，本文模型采用的偏微積分算法的成功率更高。在運算搜索次數(shù)為50次時，本文模型的計算成功率已超過90%，而此時基于擬牛頓法的并行模型的計算成功率大約為76%，而基于粒子群算法的并行模型的計算成功率在64%左右，由此可見本文模型的運算精準(zhǔn)度更高，運算分析的穩(wěn)定性、安全性更強(qiáng)。三種模型的運算搜索速度對比結(jié)果如圖7所示。

圖7 三種模型運算搜索速度對比圖

從圖7可以看出，本文模型比傳統(tǒng)模型的計算速度更快。根據(jù)圖7中顯示的數(shù)據(jù)可知，在相同的運算時間內(nèi)，本文模型進(jìn)行了更多次數(shù)的搜索和運算，在0.4 s時，本文模型已經(jīng)進(jìn)行了40次左右的運算搜索，而此時基于擬牛頓法的并行模型的搜索次數(shù)大約是28次，粒子群算法的并行模型的搜索次數(shù)更少，只有19次左右。

由此可見，本文設(shè)計的基于偏微分的非線性代數(shù)方程組并行模型具有更快的計算速度和更高的運算精準(zhǔn)度，能夠提高非線性代數(shù)方程組并行求解的運算成功率，從而促進(jìn)整體運算工作效率的提高。由此可以證明，本文模型在目前的非線性代數(shù)方程組求解運算方面具有更強(qiáng)的競爭優(yōu)勢，有利于促進(jìn)大數(shù)據(jù)運算處理技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。

3 結(jié)語

在對基于微偏分的非線性代數(shù)方程組并行模型進(jìn)行降噪處理時，面臨的難點不僅僅是處理數(shù)據(jù)的邊緣性，還有數(shù)據(jù)錯誤冗余的問題。將不具備正常格式的數(shù)據(jù)直接銷毀，既可以減少模型的計算量，又提高了模型的計算精度。經(jīng)過實驗證明，本文設(shè)計的基于偏微分非線性代數(shù)方程組并行模型可以提高計算機(jī)的處理速率，相信以本文的論證作為研究基礎(chǔ)，結(jié)合實時的數(shù)據(jù)計算算法，能夠在一定程度上促進(jìn)非線性代數(shù)方程組并行模型的發(fā)展。