烏魯木齊市博安興業(yè)機械制造有限公司 張 博

龍門吊車提升裝置采用柔性物體，使得整個吊車總體重量小，工作效率高。但是，柔性繩索也會存在一些弊端，最突出問題便是重物提升過程中的搖擺問題。為解決這一難題，在雙閉環(huán)PID的基礎上加入魯棒控制更好的解決搖擺問題。通過對控制系統(tǒng)靈敏度設計得出吊車系統(tǒng)參數(shù)的變化范圍，進而得到控制器相關參數(shù)。仿真結(jié)果證明當繩長和物體重量在給定范圍內(nèi)變化時，本文設計控制器可以有效解決重物擺動問題，具有良好的工程應用前景。

本文通過設計龍門吊車防搖擺控制系統(tǒng)，實現(xiàn)了對重物擺動問題的有效控制，極大程度提升了吊車工作效率。對于解決防搖擺問題，雙閉環(huán)PID控制消除擺動效果較好，但吊車的柔性繩索長度和重物載荷質(zhì)量通常情況下是變化的，因此，設計的控制器應該魯棒性較好。

魯棒控制的優(yōu)點就是當系統(tǒng)數(shù)學模型難以求解以及求解不準確或系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)頻繁變化以及施加外部擾動時，系統(tǒng)仍然可以保持原有目標性能。

本文通過對控制器靈敏度參數(shù)設計進而推導出整個魯棒控制器其他設計參數(shù)。這里魯棒性能是指吊車系統(tǒng)對未考慮因素的靈敏度，主要包括干擾和未建模動態(tài)特性等。最后利用Simulink仿真對所設計的魯棒PID控制器進行了驗證，仿真結(jié)果表明雙閉環(huán)魯棒PID能夠很好地消除重物提升過程中的擺動問題。

龍門吊車是用于工廠、碼頭和集裝箱貨場的裝卸與運輸作業(yè)的一種運載工具。它在空中軌道運行，占地面積小、工作效率高。在對吊車擺動問題進行討論時，需要先將吊車系統(tǒng)進行簡化、抽象。整個工作過程如圖1所示。

圖1 起重機數(shù)學模型

1 龍門吊車數(shù)學模型建立

圖中M為小車質(zhì)量，m為重物質(zhì)量，F(xiàn)為小車受到的牽引力，f為導軌方向摩擦阻力。

小車的位置與重物的位置坐標為：

所以小車和重物的速度分量為：

系統(tǒng)的動能為：

系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

綜合以上公式得系統(tǒng)的方程組為：

進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

2 數(shù)學模型驗證

通過在simulink中對比傳遞函數(shù)和簡化后的微分方程得到的仿真結(jié)果，可以看出小車位移和擺角曲線基本重合，因此，上述過程對微分方程的簡化是可行的。模型驗證仿真圖如圖2所示。

圖2 模型驗證仿真圖

3 雙閉環(huán)魯棒PID控制器設計

控制系統(tǒng)設計時，通常已經(jīng)建立了精確地控制系統(tǒng)數(shù)學模型，但是，在實際工程問題中，存在很多我們沒有考慮到的影響因素，如內(nèi)部和外部參數(shù)的變化，外部施加的擾動以及系統(tǒng)未建模動力學特性等等，因此我們得到的數(shù)學模型往往是實際工程問題物理模型的粗糙模型。

設計魯棒控制系統(tǒng)的目的是因為魯棒控制靈敏度低，在給定的一定參數(shù)變化區(qū)域內(nèi)能夠保持系統(tǒng)預期性能，當所建立數(shù)學模型不夠精確時，或者其他參數(shù)不斷變化時，系統(tǒng)仍然能夠保持原有的穩(wěn)定性。雙閉環(huán)控制原理圖如圖3所示。

圖3 雙閉環(huán)控制原理圖

對系統(tǒng)模型進行簡化，忽略系統(tǒng)阻尼，可得到簡化后的傳遞函數(shù)：

內(nèi)環(huán)（擺角）設計：

取M=50kg，標稱值分別取m=5kg，l=1m，所以內(nèi)環(huán)系統(tǒng)未校正時的傳遞函數(shù)為：

選用合適的PID控制器的形式：內(nèi)環(huán)PID反饋控制器有PI、PD、PID三種形式

綜上，分析傳遞函數(shù)零極點在復平面分布可知，基于結(jié)構(gòu)簡單并且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的原則，這里選用PD控制作為反饋控制器。

內(nèi)環(huán)加上反饋PD控制器后的內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

為了是系統(tǒng)具有較好的魯棒性能，即對于繩長和負載質(zhì)量的頻繁變化不敏感，在魯棒性的基礎上對內(nèi)環(huán)PD控制進行參數(shù)設計，如果靈敏度低，則證明魯棒性好。

可得系統(tǒng)對擺長l的靈敏度為：

系統(tǒng)對重物質(zhì)量m的靈敏度為：

為使系統(tǒng)對內(nèi)部及外部參數(shù)變化靈敏度較低，通常要求在內(nèi)部參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時運動軌跡的變化盡量小于5%，在此條件下，重物質(zhì)量和吊車擺長允許變化的范圍是：

為了使內(nèi)環(huán)系統(tǒng)響應速度較快且超調(diào)量盡量小，取ζ=1，由靈敏度公式可以得出擺長在0.9m到1.1m范圍內(nèi)變化。同時為使內(nèi)環(huán)系統(tǒng)跟隨性能較好，內(nèi)環(huán)系統(tǒng)響應時間應該盡可能短，轉(zhuǎn)折角頻率ωn應選的較大；但ωn取得過大時，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。取ωn= 8rad/s，因此載荷在1.19kg到21kg范圍內(nèi)變化。

綜上可知，當內(nèi)環(huán)控制器取KD=29,KP=95時，內(nèi)環(huán)將具有抑制“擺長0.9m到1.1m變化，質(zhì)量1.19kg到21kg變化的能力”外環(huán)（位置）設計內(nèi)環(huán)調(diào)節(jié)所需要的時間相對于外環(huán)調(diào)節(jié)來說較小，將內(nèi)環(huán)等效成為一個比例環(huán)節(jié)，可以便于外環(huán)設計：

這里為滿足近似條件，采用5倍系數(shù)，可得：

外環(huán)控制器魯棒性設計：

PD反饋調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為H2(s) = 1+K2s，為了快速、準確定位，在前向通道添加比例調(diào)節(jié)器G(s) =K1，所以二次積分環(huán)節(jié)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

比例環(huán)節(jié)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

綜上所述，可以得到圖4所示的系統(tǒng)控制框圖。

圖4 控制原理圖

為了安全考慮，需要使電機輸出的最大的的控制力不超過一定范圍，因此擺角參數(shù)設置以及電機的電壓參數(shù)設置之前設置限幅環(huán)節(jié)，使電機所能輸出的最大力矩不超過限定值。這樣可使系統(tǒng)超調(diào)得到減小，因而系統(tǒng)穩(wěn)定性也有所提升。

由圖5所示的仿真結(jié)果圖可以看出，在雙閉環(huán)魯棒PID控制下，擺角曲線在10s左右達到穩(wěn)定且超調(diào)小。位置曲線同樣在10s內(nèi)趨于穩(wěn)定；同時重物質(zhì)量與繩長在給定變化范圍之內(nèi)變化時，系統(tǒng)靈敏度均小于5%，在仿真實驗過程中，當參數(shù)超出變化范圍的時候，控制系統(tǒng)同樣具有良好的抗擾動性能，同時可以保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及較小超調(diào)量。

圖5 仿真結(jié)果