中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所 劉翌祥

武器系統(tǒng)的快速發(fā)展對(duì)目標(biāo)跟蹤精度的要求越來(lái)越高，由于系統(tǒng)環(huán)境包括各種各樣的干擾，卡爾曼濾波器憑借其優(yōu)良的噪聲處理能力而被廣泛應(yīng)用。工程實(shí)踐中由于系統(tǒng)環(huán)境存在隨機(jī)干擾，導(dǎo)致觀測(cè)得到的信號(hào)中含有隨機(jī)噪聲，往往不能直接得到狀態(tài)變量的真實(shí)值；通過(guò)算法單獨(dú)分離出目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是很難實(shí)現(xiàn)的，卡爾曼濾波器就是降低噪聲解決這類問(wèn)題的好方法。

卡爾曼濾波就是通過(guò)不斷迭代，一步步遞推計(jì)算，逐步得到測(cè)量目標(biāo)模型的最優(yōu)估計(jì)值，這種不斷逼近最優(yōu)的方法是目標(biāo)跟蹤中最熱門的一種算法，通過(guò)一系列處理算法，建立近似的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和預(yù)測(cè)，根據(jù)估計(jì)值對(duì)目標(biāo)進(jìn)行評(píng)估。本文主要介紹了卡爾曼濾波算法的基本原理，并通過(guò)其在目標(biāo)跟蹤數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)中的應(yīng)用，結(jié)合軌跡仿真進(jìn)行了研究分析。

1 卡爾曼濾波算法

現(xiàn)代目標(biāo)濾波系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的是卡爾曼濾波算法，以卡爾曼濾波為基礎(chǔ)后續(xù)發(fā)展起來(lái)其他衍生算法。隨著連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波的推廣，徹底實(shí)現(xiàn)了濾波算法在解決工程實(shí)際問(wèn)題中的實(shí)用性。

卡爾曼濾波算法以最優(yōu)條件估計(jì)為目標(biāo)，以誤差方差值最小為準(zhǔn)則，將從目標(biāo)模型中得到的測(cè)量值一步步遞推實(shí)時(shí)獲取新時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值。卡爾曼濾波算法中的目標(biāo)狀態(tài)值，是由目標(biāo)狀態(tài)空間方程、濾波觀測(cè)方程加上實(shí)時(shí)測(cè)量噪聲和系統(tǒng)噪聲逐步地推計(jì)算得到的。

在目標(biāo)跟蹤過(guò)程中，目標(biāo)的測(cè)量時(shí)刻都有各種干擾噪聲。卡爾曼濾波實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)基于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征，來(lái)減小甚至消除噪聲，實(shí)現(xiàn)達(dá)到最優(yōu)估計(jì)的效果，具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）系統(tǒng)增益可以動(dòng)態(tài)計(jì)算，同一個(gè)濾波設(shè)計(jì)適用于多種機(jī)動(dòng)狀態(tài)。

（2）利用協(xié)方差矩陣快速地對(duì)估計(jì)精度進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量。

（3）通過(guò)對(duì)殘差的變化分析，來(lái)判斷當(dāng)前目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型是否可靠。

（4）卡爾曼增益序列根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)自適應(yīng)改變，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的濾波效果。

卡爾曼濾波主要分為兩個(gè)階段：預(yù)測(cè)階段和更新階段。

目標(biāo)狀態(tài)方程及量測(cè)方程為：

取上一步的狀態(tài)值與控制矩陣計(jì)算當(dāng)前狀態(tài)初步預(yù)測(cè)。

在進(jìn)行實(shí)證分析之前，先對(duì)六個(gè)指數(shù)收益率序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，這樣有利于后文更好地分析數(shù)據(jù)之間的相依性。

狀態(tài)值與協(xié)方差矩陣的初步預(yù)測(cè)為：

更新階段實(shí)現(xiàn)測(cè)量值與估計(jì)狀態(tài)值結(jié)合，得到最新估計(jì)狀態(tài)值，并且計(jì)算得到濾波增益權(quán)衡數(shù)據(jù)。卡爾曼增益為：

狀態(tài)更新為：

協(xié)方差更新為：

由更新階段方程發(fā)現(xiàn)，更新后的目標(biāo)狀態(tài)值其實(shí)相當(dāng)于給先前預(yù)測(cè)值加上含有增益值的修正項(xiàng)，每一步推進(jìn)都需要重新計(jì)算使得計(jì)算量驟增，這就引出濾波對(duì)應(yīng)的優(yōu)勢(shì)，其增益可以單獨(dú)計(jì)算。

濾波適用于勻加速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，定義為目標(biāo)機(jī)動(dòng)指數(shù)，可通過(guò)機(jī)動(dòng)指數(shù)調(diào)整增益大小，使濾波器性能得到改善。

其中：

濾波增益為：

對(duì)于目標(biāo)做隨機(jī)機(jī)動(dòng)時(shí)，卡爾曼濾波的性能就要比其他濾波算法更好，而且還有很好的適應(yīng)能力，可以實(shí)時(shí)對(duì)狀態(tài)值等進(jìn)行處理，得到當(dāng)前時(shí)刻誤差，這些優(yōu)勢(shì)可以便于后續(xù)來(lái)進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

2 目標(biāo)系統(tǒng)仿真

通過(guò)仿真三種機(jī)動(dòng)方式的目標(biāo)軌跡，在驗(yàn)證αβγ濾波、卡爾曼濾波算法的可行性同時(shí)，針對(duì)算法對(duì)強(qiáng)、弱機(jī)動(dòng)目標(biāo)、復(fù)雜機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤過(guò)程進(jìn)行分析比較。

由圖1可知，αβγ濾波軌跡基本符合目標(biāo)軌跡。隨著估計(jì)的進(jìn)行，估計(jì)誤差僅有噪聲產(chǎn)生的起伏，說(shuō)明估計(jì)的有效性。圖2對(duì)目標(biāo)真實(shí)軌跡和兩種濾波軌跡進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)濾波軌跡偏差比較小，說(shuō)明濾波算法有良好的濾波性能，同時(shí)局部放大圖顯示出了卡爾曼濾波相比較于αβγ濾波的誤差更小，直觀表現(xiàn)了卡爾曼濾波能更好的對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行濾波跟蹤。

圖1 弱機(jī)動(dòng)目標(biāo)軌跡對(duì)比圖

圖2 強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)軌跡對(duì)比圖

由圖3看出對(duì)于做較復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，卡爾曼濾波軌跡可以較好跟蹤，但會(huì)在目標(biāo)轉(zhuǎn)彎時(shí)跟蹤效果變差。由圖4可以得出，隨著濾波估計(jì)進(jìn)行，濾波軌跡越來(lái)越貼合實(shí)際軌跡，估計(jì)誤差的起伏也逐漸減小，趨于收斂，說(shuō)明卡爾曼濾波能發(fā)揮其優(yōu)良的濾波性能，對(duì)目標(biāo)軌跡很好的進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)。

圖3 復(fù)雜機(jī)動(dòng)目標(biāo)軌跡對(duì)比圖

圖4 y方向軌跡對(duì)比圖

通過(guò)Matlab對(duì)卡爾曼濾波在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用進(jìn)行了軌跡仿真，遞推形式使其便于實(shí)時(shí)處理，軌跡仿真曲線及誤差結(jié)果證明了其相對(duì)于其他濾波算法有更好的性能優(yōu)勢(shì)。但是需要著重考慮的是，卡爾曼濾波算法跟蹤結(jié)果好壞與建立的目標(biāo)狀態(tài)模型、噪聲模型等有關(guān)，同時(shí)受到初始條件及測(cè)量矩陣等的影響，若選取差距過(guò)大就會(huì)導(dǎo)致濾波器的實(shí)際誤差大于估計(jì)，且隨時(shí)間不斷增大最終發(fā)散。