劉燕, 杜冬青

( 1.安徽師范大學(xué)皖江學(xué)院 電子工程系, 安徽 蕪湖 241000;2.徐州財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 基礎(chǔ)部， 江蘇 徐州 221000 )

0 引言

近年來,奇攝動(dòng)邊值問題的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注,并得到許多研究成果[1-7]；但其中大部分的研究結(jié)果是關(guān)于兩點(diǎn)或三點(diǎn)邊值條件的奇攝動(dòng)問題，而對(duì)于多點(diǎn)邊值條件的奇攝動(dòng)問題研究得較少.文獻(xiàn)[8]的作者用Liouville - green變換得到了奇攝動(dòng)二階微分方程多點(diǎn)邊值問題的漸近解；文獻(xiàn)[9]的作者利用微分不等式理論和Leray - Schauder度理論研究了一類三階微分方程的多點(diǎn)邊值條件的奇攝動(dòng)問題,并得到了問題解的存在唯一性和漸近估計(jì)結(jié)果；文獻(xiàn)[10]的作者在文獻(xiàn)[9]的研究基礎(chǔ)上將線性多點(diǎn)邊值條件推廣到非線性多點(diǎn)邊值條件,研究了帶有非線性多點(diǎn)邊值條件的三階微分方程的奇攝動(dòng)問題.但目前為止,對(duì)于含雙參數(shù)帶有非線性多點(diǎn)邊值條件的三階微分方程的奇攝動(dòng)問題的研究尚未見有文獻(xiàn)報(bào)道；為此,本文在文獻(xiàn)[10]的研究基礎(chǔ)上,考慮如下一類帶有非線性多點(diǎn)邊值條件的三階微分方程的雙參數(shù)奇攝動(dòng)問題：

εx?(t)+f(t,x(t),x′(t),μx″(t))=0, 0≤t≤1；

(1)

x(0)=0；

(2)

g(x′(0),x″(0),x(ξ1),x(ξ2),…,x(ξm -2))=A；

(3)

h(x′(1),x″(1),x(η1),x(η2),…,x(ηn -2))=B.

(4)

其中ε和μ均是正的小參數(shù), 0<ξ1<ξ2<…<ξm -2<1, 0<η1<η2<…<ηn -2<1,A和B為常數(shù).現(xiàn)作如下假設(shè):

[H2] 問題(1)—(4)的退化問題f(t,X0,0,X′0,0,0)=0,X0,0(0)=0在t∈[0,1]上存在充分光滑的解X0,0=X0,0(t).

[H4] 由方程g(X′0,0(0),X″0,0(0)+U1,X0,0(ξ1),…,X0,0(ξm -2))=A可求出U1， 由方程h(X′0,0(1),X″0,0(1)+U2,X0,0(η1),…,X0,0(ηn -2))=B可求出U2.

1 外部解的構(gòu)造

ξ2ηx?(t)+f(t,x(t),x′(t),ξx″(t))=0.

(5)

設(shè)問題(1)—(4)的外部解的形式漸近式為

(6)

將式(6)代入式(5)可得：

f(t,X0,0,X′0,0,0)=0;

(7)

fx(t,X0,0,X′0,0,0)Xi,j+fy(t,X0,0,X′0,0,0)X′i,j=Fi,j(t),i+j≥1,

(8)

其中Fi,j(t)是由Xs,q,X′s,q,X″s,q,X?s,q(s+q

2 邊界層校正項(xiàng)

x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2W(τ1,ξ,η),

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

類似地,在t=1處構(gòu)造邊界層的校正項(xiàng),并令

x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2η2Q(τ2,ξ,η),

(13)

(14)

(15)

(16)

為確定Xi,j(t),Wi,j(τ1),Qi,j(τ2)的定解條件,將x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2W(τ1,ξ,η)+ξ2η2Q(τ2,ξ,η)代入式(2)—(4)得：

Xi,j(0)=0,i<2;

(17)

Xi,j(0)=-Wi -2,j(0),i≥2;

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由此即可得問題(1)—(4)的N階形式漸近解.

3 結(jié)果及其證明

定義1[11]若函數(shù)u(t),v(t)∈C3[0,1]滿足

u?(t)+f(t,u(t),u′(t),u″(t))≥0,

u(0)=0,

g(u′(0),u″(0),u(ξ1),u(ξ2),…,u(ξm -2))≤A,

h(u′(1),u″(1),u(η1),u(η2),…,u(ηn -2))≤B,

v?(t)+f(t,v(t),v′(t),v″(t))≤0,

v(0)=0,

g(v′(0),v″(0),v(ξ1),v(ξ2),…,v(ξm -2))≥A,

h(v′(1),v″(1),v(η1),v(η2),…,v(ηn -2))≥B，

則稱u(t)和v(t)分別是如下邊值問題的下解和上解:

x?(t)+f(t,x(t),x′(t),x″(t))=0, 0

(24)

x(0)=0;

(25)

g(x′(0),x″(0),x(ξ1),x(ξ2),…,x(ξm -2))=A;

(26)

h(x′(1),x″(1),x(η1),x(η2),…,x(ηn -2))=B.

(27)

引理1[11]若邊值問題(24)—(27)滿足如下條件:

(A1)存在下解u(t)和上解v(t)， 且當(dāng)t∈[0,1]時(shí)，有u′(t)≤v′(t);

(A2)函數(shù)f(t,x,y,z)在[0,1]×[u(t),v(t)]×R2上連續(xù)且關(guān)于x遞增,并且f(t,x,y,z)在[0,1]×[u(t),v(t)]×[u′(t),v′(t)]×R上滿足Nagumo條件;

(A3)若函數(shù)g(x1,x2,…,xm)在Rm上連續(xù),且關(guān)于x2,…,xm遞減; 若函數(shù)h(y1,y2,…,yn)在Rn上連續(xù),且關(guān)于y2遞增,關(guān)于y3,…,yn遞減：

則邊值問題(24)—(27)至少存在一個(gè)解x(t)∈C3[0,1], 使得u(t)≤x(t)≤v(t),u′(t)≤x′(t)≤v′(t),t∈[0,1].

證明構(gòu)造輔助函數(shù)u(t,ξ,η)=xN(t,ξ,η)-rtρN +1,v(t,ξ,η)=xN(t,ξ,η)+rtρN +1, 其中r為待定的充分大的正常數(shù).由該函數(shù)顯然可得：u(t,ξ,η)≤v(t,ξ,η),t∈[0,1];u′(t,ξ,η)≤v′(t,ξ,η),t∈[0,1];u(0,ξ,η)=v(0,ξ,η)=0.另外,由微分中值定理可知,存在正常數(shù)C1和C2, 使得：

g(u′(0,ξ,η),u″(0,ξ,η),u(ξ1,ξ,η),u(ξ2,ξ,η),…,u(ξm -2,ξ,η)≤

g(x′N(0,ξ,η),x″N(0,ξ,η),xN(ξ1,ξ,η),xN(ξ2,ξ,η),…,xN(ξm -2,ξ,η)-l1rρN +1≤

C1ρN +1-l1rρN +1=A+(C1-l1r)ρN +1,

h(u′(1,ξ,η),u″(1,ξ,η),u(η1,ξ,η),u(η2,ξ,η),…,u(ηn -2,ξ,η)≤

h(x′N(1,ξ,η),x″N(1,ξ,η),xN(η1,ξ,η),xN(η2,ξ,η),…,xN(ηn -2,ξ,η)-l2rρN +1≤

C2ρN +1-l2rρN +1=B+(C2-l2r)ρN +1.

g(u′(0,ξ,η),u″(0,ξ,η),u(ξ1,ξ,η),u(ξ2,ξ,η),…,u(ξm -2,ξ,η)≤A,

h(u′(1,ξ,η),u″(1,ξ,η),u(η1,ξ,η),u(η2,ξ,η),…,u(ηn -2,ξ,η)≤B.

g(v′(0,ξ,η),v″(0,ξ,η),v(ξ1,ξ,η),v(ξ2,ξ,η),…,v(ξm -2,ξ,η)≥A,

h(v′(1,ξ,η),v″(1,ξ,η),v(η1,ξ,η),v(η2,ξ,η),…,v(ηn -2,ξ,η)≥B.

下面證明:

εu?(t,ξ,η)+f(t,u(t,ξ,η),u′(t,ξ,η),μu″(t,ξ,η))≥0, 0

εv?(t,ξ,η)+f(t,v(t,ξ,η),v′(t,ξ,η),μv″(t,ξ,η))≤0, 0

εu?(t,ξ,η)+f(t,u(t,ξ,η),u′(t,ξ,η),μu″(t,ξ,η))=εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)-fx(t,θ0,θ1,μx″N)rtρN +1-fy(t,θ0,θ1,μx″N)rρN +1≥εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1, 其中θ0∈(u,xN),θ1∈(u′,x′N).當(dāng)x∈[0,σ]時(shí),由外部解和左邊界層的構(gòu)造可知,存在正常數(shù)C3和C4, 使得

εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥f(t,X0,0,X′0,0,0)+

C4ρN +1+l0rρN +1=(l0r-C3-C4)ρN +1.

類似地,當(dāng)x∈[1-σ,1]時(shí),由外部解和右邊界層的構(gòu)造可知，存在正常數(shù)C5, 使得

εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥(l0r-C3-C5)ρN +1.

當(dāng)x∈[σ,1-σ]時(shí),由Wi,j(τ1),Qi,j(τ2)的邊界層性態(tài)可知,存在正常數(shù)C6, 使得

εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥

4 算例

考慮滿足假設(shè)條件[H1]—[H4]的如下混合邊值條件的三階微分方程的奇攝動(dòng)問題：

εx?-μx″-2x′+x+t=0, 0

(28)

x(0)=0；

(29)

(30)

(31)