伍慧玲

( 閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 福州 350108 )

0 引言

本文考慮如下Choquard類(lèi)型方程：

(1)

Choquard類(lèi)型方程有著重要的物理背景,如Pekar用方程

(2)

(V2) 對(duì)任意的a>0, meas({x∈RN:V(x)≤a})<∞, 其中meas(·)表示RN上的Lebesgue測(cè)度.

(F1)f∈C(RN +1,R), 且對(duì)任意的(x,s)∈RN×R,f(x,-s)=-f(x,s).

(F3)f(x,s)在R上關(guān)于s單調(diào)不減.

根據(jù)上述假設(shè)可得到如下定理:

定理1假設(shè)(V1)—(V2)和(F1)—(F3)成立,則方程(1)存在無(wú)窮多解.

(3)

1 記號(hào)及引理

(4)

因此,當(dāng)η=1時(shí)泛函Eη(u)的臨界點(diǎn)等價(jià)于系統(tǒng)(1)的解.

引理2[13]假設(shè)(V2)成立,則當(dāng)2≤p<2*時(shí),H?Lp(RN)是緊嵌入.

引理3若(F1)和(F3)成立,則對(duì)任意的u∈H{0},t≥0, 有

(5)

證明以下采用文獻(xiàn)[9]中引理2.2的方法證明引理3.首先證明?x∈RN,s1,s2∈R,t≥0,

ψ(x,s1,s2,t)=F(x,ts1)F(x,ts2)-F(x,s1)F(x,s2)+

(6)

由式(4)可得

(7)

令g(t)=2tq-2+q-qt2, 于是有g(shù)′(t)=2qt(tq -2-1).顯然g′(t)≤0,?t∈[0,1];g′(t)>0,?t∈(1,+∞).于是可得

g(t)=2tq-2+q-qt2≥g(1)=0.

(8)

(9)

由式(7)—(9)可得式(5)成立.證畢.

定理2(噴泉定理) 假設(shè)泛函Eη滿(mǎn)足以下條件:

1) ?(η,u)∈[1,2]×H,Eη(-u)=Eη(u),Eη將H中的有界集映射到R中的有界集;

3) 存在Rk>rk>0, 使得對(duì)所有的η∈[1,2],

2 定理1的證明

引理4若(V1)—(V2)和(F1)—(F2)成立,則存在序列{rk}使得當(dāng)k→∞時(shí),rk→∞且

證明由引理2和文獻(xiàn)[15]中的引理3.8可得,當(dāng)2≤l<2*時(shí),有

(10)

再由式(4)和式(10)可得,?u∈Zk,

(11)

引理5若(V1)—(V2)和(F1)—(F3)成立,則對(duì)于引理4中的{rk}，存在Rk>rk使得

(12)

(13)

下面先證明

(14)

(15)

由式(15)、條件(F2)、引理1和 Lebesgue 控制收斂定理可得,當(dāng)n→∞時(shí)有

(16)

(17)

(18)

由條件(F3)可得f(x,u)u-F(x,u)>0, 進(jìn)而有

(19)

(20)

由式(17)、式(20)和引理3可得