鄒時(shí)林 吳 星 王奉偉

1 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 東華理工大學(xué)勘察設(shè)計(jì)研究院，江西省撫州市學(xué)府路56號，344000 3 同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號，200092

大地測量領(lǐng)域中部分解算模型如GPS快速定位[1-2]、大地測量反演[3-4]以及重力場向下延拓[5-6]等均存在病態(tài)問題。當(dāng)模型病態(tài)時(shí)，常規(guī)的最小二乘解受系數(shù)陣的小奇異值影響而精度較低。為獲得穩(wěn)定、可靠的參數(shù)估值，部分學(xué)者提出一系列有偏估計(jì)，如Tikhonov正則化法[7]和TSVD(truncated singular value decomposition)正則化法[8]。當(dāng)處理病態(tài)問題需同時(shí)顧及系數(shù)矩陣誤差時(shí)，即病態(tài)總體最小二乘模型的解算，是當(dāng)前測量數(shù)據(jù)處理研究的熱點(diǎn)之一。Fierro等[9]基于廣義奇異值分解(generalized singular value decomposition, GSVD)導(dǎo)出病態(tài)總體最小二乘問題的截?cái)嗥娈愔捣? 葛旭明等[10]基于狹義正則化原理，推導(dǎo)出病態(tài)總體最小二乘問題的廣義正則化解法; 孫同賀等[11]將Tikhonov正則化和TV正則化有效結(jié)合, 提出一種混合正則化解法; 文獻(xiàn)[12-13]利用平差參數(shù)之間的相互獨(dú)立性作為先驗(yàn)約束條件，導(dǎo)出病態(tài)總體最小二乘問題的虛擬觀測值解法。然而，目前已有的病態(tài)總體最小二乘問題解法幾乎全是在等權(quán)條件下推導(dǎo)得到的，對于觀測值和系數(shù)陣精度不同的情形，缺少實(shí)用的解法。王樂洋等[14]將變量誤差模型(errors-in-variables, EIV)線性化并用嶺估計(jì)法解算病態(tài)加權(quán)總體最小二乘問題，由于線性化過程中舍去二階項(xiàng)，估值的精度受到影響。在實(shí)際測量過程中，觀測值除含有偶然誤差外，往往還受到粗差的影響。當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中含有粗差時(shí)，會極大影響參數(shù)估值，因此有必要研究病態(tài)總體最小二乘問題的抗差解法。目前有關(guān)抗差估計(jì)的研究多集中于最小二乘估計(jì)(least squares, LS)或總體最小二乘估計(jì)(total least squares, TLS), 鮮有關(guān)于病態(tài)加權(quán)總體最小二乘問題的抗差估計(jì)研究。本文首先建立病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化準(zhǔn)則, 構(gòu)建拉格朗日極值函數(shù)，利用Euler-Lagrange必要條件導(dǎo)出病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化解；在此基礎(chǔ)上，針對觀測值中的粗差，提出一種基于中位數(shù)法的病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化抗差解法。

1 等權(quán)病態(tài)總體最小二乘模型的正則化解

常用的變量誤差模型(errors-in-variables, EIV)可表示為[15-16]：

y-ey=(A-EA)x

(1)

式中，y∈Rm和A∈Rm×n分別為觀測向量和系數(shù)矩陣；ey∈Rm和EA∈Rm×n分別為觀測向量和系數(shù)矩陣的誤差；m、n分別表示觀測值個(gè)數(shù)和未知參數(shù)個(gè)數(shù)。其隨機(jī)模型為：

(2)

(3)

式中，α為正則化參數(shù)。根據(jù)式(3)可導(dǎo)出參數(shù)估值的迭代計(jì)算式：

(4)

2 病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化抗差解

2.1 正則化解

為不失一般性且顧及觀測值和系數(shù)陣的協(xié)因數(shù)陣可記為：

(5)

(6)

式(6)即為病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化準(zhǔn)則，由此可建立拉格朗日極值函數(shù)：

αxTx+2λT(y-Ax-ey+(xT?In)·eA)

(7)

式中，λ為聯(lián)系數(shù)向量。將式(7)分別對各變量進(jìn)行求導(dǎo)并令其為0，則：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

由式(8a)和(8b)可得：

(9a)

(9b)

(9c)

將式(9)代入式(8c)可得：

(10)

將式(10)代入式(8d)可得：

(11)

(12)

通過推導(dǎo)可知，病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化解為：

(13)

(14)

現(xiàn)考慮等權(quán)情形，即取Qy=Im,Q0=In,Qx=Im，則：

(15)

將式(15)代入式(13)可得：

(16)

2.2 基于中位數(shù)法的正則化抗差解

當(dāng)觀測數(shù)據(jù)受到粗差污染時(shí)，參數(shù)估值必定會受粗差影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)x真值。選取迭代法是應(yīng)用較為廣泛的抗差估計(jì)方法之一，其基本思想是根據(jù)參數(shù)估值的殘差，利用等價(jià)權(quán)函數(shù)重構(gòu)觀測值的權(quán)重，并利用新的權(quán)值對參數(shù)估值進(jìn)行迭代求解。對于病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型，利用式(13)求得正則化解后，由式(9a)和(9b)獲得觀測向量和系數(shù)矩陣元素的改正值，利用等價(jià)權(quán)函數(shù)對其重新定權(quán)，以IGG權(quán)函數(shù)為例：

(17)

(18)

(19)

(20)

3 算例分析

3.1 數(shù)值算例

第一類Fredholm積分方程為典型的病態(tài)問題，其基本形式為：

(21)

式中，K(x,y)為核函數(shù)，f(x)為真值函數(shù)，分別取為：

(22)

K(xj+1,yi)f(xj+1)]

(23)

(24)

圖1 最小二乘解和總體最小二乘解

圖2 正則化解、正則化抗差解與真值對比

模擬500次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)均采用相同策略模擬隨機(jī)誤差和粗差，分別采用4種算法估計(jì)參數(shù)及其RMSE，結(jié)果見圖3。由圖可知，受病態(tài)性以及粗差影響，最小二乘解和總體最小二乘解的精度最差，其平均RMSE分別為0.137 3和0.407 7；正則化解可顧及系數(shù)陣的病態(tài)性及誤差，其精度較最小二乘解和總體最小二乘解有較大提升，平均RMSE為0.006 0；正則化抗差解可顧及粗差的影響，通過等價(jià)權(quán)函數(shù)重構(gòu)權(quán)陣，能有效抵御粗差的影響，其精度最高，平均RMSE為0.002 3。

圖3 不同算法500次實(shí)驗(yàn)獲得估值的RMSE

3.2 病態(tài)測邊網(wǎng)算例

模擬一個(gè)病態(tài)測邊網(wǎng)算例，該算例中共有9個(gè)坐標(biāo)已知點(diǎn)和2個(gè)坐標(biāo)未知點(diǎn)。其中，已知點(diǎn)與未知點(diǎn)的距離觀測值已經(jīng)給定(表1)，圖4為點(diǎn)位二維平面分布圖。2個(gè)未知點(diǎn)位之間的觀測距離為13.107 8 m，其真實(shí)三維坐標(biāo)分別為(0,0,0)和(7,10,-5), 要求通過已知的距離觀測值組建誤差方程來求解未知點(diǎn)坐標(biāo)。

表1 控制點(diǎn)坐標(biāo)及距離觀測值

圖4 空間測邊網(wǎng)平面點(diǎn)位分布

在該算例中，法矩陣的條件數(shù)為4.585 1×103，存在病態(tài)性。將1號點(diǎn)x坐標(biāo)和2號點(diǎn)y坐標(biāo)混入4～5 dm粗差，其余點(diǎn)坐標(biāo)混入1～2 cm隨機(jī)誤差。與數(shù)值算例相同，分別采用4種算法估計(jì)參數(shù)，表2為不同算法獲得的參數(shù)估值及其RMSE。由表可知，最小二乘解和總體最小二乘解受模型病態(tài)性和粗差影響，其精度較低，RMSE分別為4.573 8和10.876 3。從結(jié)果來看，總體最小二乘解受病態(tài)性和粗差的影響更加嚴(yán)重；正則化解可同時(shí)顧及系數(shù)陣和觀測值的誤差，并且可通過正則化參數(shù)削弱模型的病態(tài)性，其精度相比最小二乘解和總體最小二乘解有較大提升，RMSE為0.745 7；正則化抗差解在正則化解的基礎(chǔ)上，利用等價(jià)權(quán)函數(shù)有效削弱粗差的影響，因此精度最高，RMSE為0.250 2。

表2 不同算法獲得的參數(shù)估值及其RMSE

4 結(jié) 語

當(dāng)變量誤差模型的系數(shù)陣存在病態(tài)時(shí)，常規(guī)的最小二乘解和總體最小二乘解均不再適用。本文基于Tikhonov正則化原理，通過構(gòu)建拉格朗日函數(shù)導(dǎo)出病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化解。當(dāng)觀測值和系數(shù)陣的權(quán)陣均取單位陣時(shí)，本文公式退化為等權(quán)病態(tài)總體最小二乘模型的正則化解。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出基于中位數(shù)法的病態(tài)加權(quán)總體最小二乘模型的正則化抗差解法，該方法能夠自適應(yīng)地對觀測值和系數(shù)矩陣元素進(jìn)行分類定權(quán)，可提高等價(jià)權(quán)函數(shù)的有效性。算例分析結(jié)果表明，本文提出的正則化解法能夠較好地處理病態(tài)加權(quán)總體最小二乘問題，并且當(dāng)模型混入粗差時(shí)，正則化抗差解法能夠自適應(yīng)地重構(gòu)權(quán)陣以抵御粗差的影響，得到較為穩(wěn)定且可靠的參數(shù)估值。