起俊豐 鐘祝強(qiáng) 王廣娜 夏光瓊 吳正茂

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,重慶 400715)

(2017年7月23日收到;2017年8月20日收到修改稿)

1 引 言

半導(dǎo)體激光器(SL)因其體積小、制造成本低、可直接調(diào)制等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于光通信、光存儲、光互連等領(lǐng)域[1?3].SL作為一種非線性器件,在受到光反饋、光注入和光電反饋等外部擾動時可以表現(xiàn)出豐富的非線性動力學(xué)行為[4?10].其中,光反饋SL因其具有結(jié)構(gòu)相對簡單、易于調(diào)控且能夠產(chǎn)生高維度光混沌信號等特點,從而在高速光混沌保密通信、物理隨機(jī)數(shù)獲取、光混沌雷達(dá)等應(yīng)用領(lǐng)域中受到極大關(guān)注[11?18].然而,光在外腔中的往返過程勢必會導(dǎo)致外腔反饋SL混沌輸出中包含較明顯的延時特征(TDS),而這種混沌TDS不利于混沌信號在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用.例如,在高速光混沌保密通信中[11],竊密者可利用非線性時間序列分析技術(shù)識別并提取SL混沌輸出的TDS,進(jìn)而確定光反饋SL的關(guān)鍵系統(tǒng)參量——反饋時間,借助反饋時間信息對混沌信號進(jìn)行相空間重構(gòu)[19],從而導(dǎo)致通信的安全性受到威脅;在基于混沌熵源獲取物理隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用中[15],如果光反饋SL輸出的混沌信號具有明顯TDS,這將導(dǎo)致所獲得的物理隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計性能劣化;而在光混沌雷達(dá)應(yīng)用中[18],混沌信號的TDS會導(dǎo)致相關(guān)曲線呈現(xiàn)明顯的旁瓣,這將有可能引起光混沌雷達(dá)對探測目標(biāo)的誤判.因此,對光反饋SL混沌輸出的TDS進(jìn)行抑制具有重要意義.

近年來,已有一些對光反饋SL混沌輸出TDS進(jìn)行抑制的相關(guān)報道[20?34].例如,Lee等[20]在光反饋SL混沌系統(tǒng)中增加另一個腔而形成雙外腔反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu),實驗獲得的光混沌信號的TDS被有效抑制.Rontani等[21]理論研究了單外腔反饋SL系統(tǒng)輸出的混沌TDS,結(jié)果表明,當(dāng)反饋強(qiáng)度較小且外腔反饋時間接近SL弛豫振蕩周期時,單外腔反饋SL混沌輸出的TDS能夠被較好抑制.上海交通大學(xué)義理林教授課題組通過引入色散補(bǔ)償單元[22]、太原理工大學(xué)張建忠等利用布里淵散射技術(shù)[23]均在外腔反饋SL混沌輸出的TDS抑制方面取得了良好效果.本課題組理論和實驗研究了雙外腔反饋SL系統(tǒng)混沌輸出的TDS,給出了混沌信號TDS被抑制的所需參數(shù)范圍[24].此外,針對光反饋作用下的垂直腔面發(fā)射激光器(VCSEL),也相繼報道了一些抑制混沌信號TDS的方案[25?27].除了TDS,混沌帶寬是評價混沌信號質(zhì)量的又一個關(guān)鍵指標(biāo).一些獲取弱TDS、寬帶寬混沌信號的方案也相繼被提出[28?30].如,Hong等[28]提出將一個VCSEL產(chǎn)生的混沌信號注入到另外一個VCSEL,或采用兩個VCSELs互耦方案,實驗獲得了弱TDS、寬帶寬的混沌信號.Cheng等[29]提出并理論證明了通過引入電外差技術(shù)可使外腔反饋SL產(chǎn)生的混沌信號的TDS得到有效抑制,同時混沌帶寬得到明顯增強(qiáng).Jiang等[30]提出并理論論證了在外腔反饋SL系統(tǒng)中,通過引入一個相位調(diào)制器和兩個色散單元可獲得對TDS抑制較好、帶寬明顯增強(qiáng)的混沌信號.在上述相關(guān)報道中,大多采用平面鏡作為SL的外腔,其提供的反饋對波長不具有選擇性,即信號中不同頻率成分以相同的傳輸時間反饋回SL中.而對于一些具有濾波特性的反射器件,如法布里-珀羅干涉儀或光纖布拉格光柵(FBG),其提供波長選擇性的光反饋使不同頻率光經(jīng)過不同的群延時被反饋回SL,這將更利于混沌信號TDS的抑制[31?34].Li等[31,32]利用均勻FBG替代普通平面鏡構(gòu)成FBG反饋SL(FBGF-SL),理論與實驗證實了在特定的參數(shù)范圍內(nèi)可獲得比采用平面鏡作為反射腔時對TDS抑制更好、混沌帶寬更寬的混沌信號.Wang等[34]采用啁啾FBG作為外腔反射鏡,理論及實驗證實了色散反饋能取得較好的TDS抑制效果.已有的研究證明:在相同反射帶寬條件下,高斯切趾型光纖布拉格光柵(GAFBG)提供的群延時高于均勻FBG[35].基于此,本文在基于GAFBG反饋SL系統(tǒng)以獲取TDS得到更有效抑制的混沌信號方面開展了相關(guān)研究.通過分析反饋強(qiáng)度、GAFBG的布拉格頻率與SL中心頻率之間的頻率失諧以及GAFBG特征參量對混沌信號TDS的影響,給出了獲取低TDS混沌信號的參數(shù)范圍;同時,對系統(tǒng)輸出的混沌信號帶寬隨系統(tǒng)參量的變化也進(jìn)行了分析.

2 理論模型

圖1為GAFBG反饋 SL(GAFBGF-SL)混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖.SL發(fā)出的光經(jīng)中性密度濾波器(NDF)入射到長度為L的GAFBG,經(jīng)GAFBG反射后再通過NDF反饋回SL.NDF用于控制反饋回路的反饋強(qiáng)度.

圖1 GAFBGF-SL混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖(SL,半導(dǎo)體激光器;NDF,中性密度濾波器;GAFBG,高斯切趾型光纖布拉格光柵)Fig.1.Schematic diagram of GAFBGF-SL chaotic system.SL,semiconductor laser;NDF,neutral density fi lter;GAFBG,Gaussian apodized fi ber Bragg grating.

對于長度為L的GAFBG(如圖1所示),在z方向上的折射率分布為[35]

式中,δn0·exp[?4ln2·(z/LFWHM)2]表示在z方向上的“直流”折射率改變δn(z),n0為纖芯原折射率,ν是折射率改變的條紋可見度,光柵周期Λ=λB/(2n0),λB為光柵的布拉格波長,δn0是“直流”折射率改變的最大值,LFWHM為光柵折射率剖面的半極大值全寬度;z∈(?L/2,L/2),z=?L/2對應(yīng)光柵的入射端面,z=0對應(yīng)光柵的中心.

GAFBG的反射頻率響應(yīng)可采用分段法進(jìn)行計算.將GAFBG分成M段,其中每段可視為一均勻FBG.基于傳輸矩陣法可得在入射界面處前向傳播(+z方向)和后向傳播(?z方向)波的振幅RM和SM為

式中矩陣Fj為

其中,Δz表示第j段的長度;γB定義為

κ= πνδn(z)/λ為第j段的“交流”耦合系數(shù),ξ=δ+σ為第j段的“直流”自耦合系數(shù),模式間的失諧δ=n(z)(???B)/c(?B=2πc/λB為光柵的布拉格角頻率,c是真空中的光速),“直流”耦合系數(shù)σ=?δn(z)/c.假設(shè)邊界條件R0=R(L/2)=1,S0=S(L/2)=0,可由SM/RM求得GAFBG的反射頻率響應(yīng)r(?),強(qiáng)度反射率ρ=|r(?)|2.

基于光反饋SL的Lang-Kobayashi模型,并考慮GAFBG的特性,描述GAFBGF-SL的速率方程組為[31,32]

上述方程組中,a(t)是歸一化光場復(fù)振幅,?n(t)是歸一化載流子密度,b是線寬增強(qiáng)因子,γc是腔衰減率,γs是自發(fā)載流子弛豫速率,γn是微分載流子弛豫速率,γp是非線性載流子弛豫速率,?J是歸一化偏置電流,ξf是歸一化反饋強(qiáng)度,τ是反饋延時,θ是反饋光相位;角頻率失諧Δ?=2πΔf,(Δf=fB?f0,其中fB=?B/(2π)為GAFBG布拉格頻率,f0是SL中心頻率),?表示卷積;r(t)是GAFBG的脈沖響應(yīng),為GAFBG反射頻率響應(yīng)r(?)的逆傅里葉變換.

采用自相關(guān)(SF)[21]、互信息[21]、排列熵[36]等多種方法可以對時滯系統(tǒng)的TDS進(jìn)行評估.本文采用SF來評估系統(tǒng)的TDS.SF定義為[21]

式中,S(t)表征輸出強(qiáng)度時間序列,〈·〉表示時間平均值,Δt表示時移.SF的峰值以及峰值所在位置呈現(xiàn)了輸出信號的TDS.

3 結(jié)果與討論

利用四階Runge-Kutta方法對(5)和(6)式進(jìn)行數(shù)值求解,數(shù)值求解中所用參數(shù)如下[32]:b=3.2,γc=5.36×1011s?1,γs=5.96×109s?1,γn=7.53×109s?1,γp=1.91×1010s?1,?J=1.222.對于GAFBG反饋,L=6 cm,n0=1.45,λB=1550 nm,ν=1,M=100,τ=5 ns,θ=0 rad,LFWHM=L/3.

3.1 GAFBGF-SL非線性動力學(xué)特性

首先分析ξf取不同值時GAFBGF-SL的動力學(xué)特性. 圖2給出了δn0=1.5×10?4,Δf=8 GHz,ξf取不同值時GAFBGF-SL輸出的部分典型狀態(tài)的時間序列、功率譜和相圖.當(dāng)ξf=0.003時(如圖2(a)),GAFBG提供的反饋較弱,SL輸出處于穩(wěn)(S)態(tài),功率譜峰值出現(xiàn)在10.25 GHz,對應(yīng)激光器的弛豫振蕩頻率;當(dāng)ξf=0.017時(如圖2(b)),在時間序列中觀察到強(qiáng)度峰值形成的慢變包絡(luò),功率譜中出現(xiàn)了除弛豫振蕩頻率外許多其他頻率成分,相圖中可以觀察到多個環(huán),表明此時系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期(QP)態(tài);當(dāng)ξf=0.030時(如圖2(c)),時間序列呈現(xiàn)無規(guī)則振蕩,功率譜主峰依然出現(xiàn)在激光器的弛豫振蕩頻率附近,但譜明顯展寬且變得光滑,相圖表現(xiàn)為奇怪吸引子,表明此時系統(tǒng)處于混沌(CO)態(tài).

為了更清晰地呈現(xiàn)GAFBGF-SL隨ξf改變時的動力學(xué)演化路徑,圖3給出了δn0=1.5×10?4,Δf=8 GHz時GAFBGF-SL輸出的時間序列極值隨ξf改變的分岔圖,其中圖3(a),(b),(c)三個工作點分別對應(yīng)圖2(a),(b),(c)的情形.如圖3所示,當(dāng)ξf較小(ξf＜0.015)時,GAFBGF-SL輸出時間序列的極值是一個穩(wěn)定值,此時GAFBGF-SL處于S態(tài);當(dāng)ξf位于工作點(b)附近時,出現(xiàn)了多個強(qiáng)度極值,此時GAFBGF-SL處于QP態(tài);進(jìn)一步增大ξf,GAFBGF-SL輸出時間序列的極值點個數(shù)明顯增加,GAFBGF-SL進(jìn)入CO態(tài).下面重點研究當(dāng)GAFBGF-SL處于CO態(tài)時,系統(tǒng)輸出混沌信號的特性.

3.2 反饋強(qiáng)度與頻率失諧對GAFBGF-SL輸出混沌信號TDS和帶寬的影響

圖2 δn0=1.5×10?4,Δf=8 GHz時,GAFBGF-SL輸出的時間序列(第一列)、功率譜(第二列)以及相圖(第三列),其中反饋強(qiáng)度ξf分別為(a)0.003,(b)0.017,(c)0.030Fig.2.Time-series(the fi rst column),power spectra(the second column)and phase portraits(the third column)of the output from GAFBGF-SL with different feedback strengths ξf= (a)0.003,(b)0.017,(c)0.030 under δn0=1.5 × 10?4and Δf=8 GHz.

圖3 當(dāng)δn0=1.5×10?4,Δf=8 GHz時,GAFBGFSL輸出時間序列極值隨ξf變化的分岔圖Fig.3.Bifurcation diagram of the output intensity extremes from the GAFBGF-SL with the vary of ξf under δn0=1.5 × 10?4and Δf=8 GHz.

由于GAFBG的反射具有波長選擇性,因此可以預(yù)計GAFBG的布拉格頻率與SL中心頻率之間的頻率失諧Δf對GAFBGF-SL混沌輸出的TDS影響較大.圖4給出了GAFBG的反射譜(藍(lán)色)和群延時(紅色)(第一列),GAFBGF-SL混沌輸出的光譜(第二列)、功率譜(第三列)以及SF曲線(第四列),其中頻率失諧Δf分別為(a)?10 GHz,(b)14 GHz,(c)36 GHz,圖中頻率偏移是相對于自由運行激光器的中心頻率而言.當(dāng)Δf=?10 GHz時,如圖4(a1)所示,GAFBG在自由運行SL的中心波長處提供的反射率很小,因此SL的中心波長的紅移現(xiàn)象并不明顯,而在GAFBG的反射帶寬內(nèi),由于GAFBG所提供的反饋導(dǎo)致GAFBGFSL輸出的光譜在這個范圍內(nèi)得到明顯增強(qiáng),從而出現(xiàn)如圖4(a2)的光譜分布.此時功率譜連續(xù)(圖4(a3)),說明GAFBGF-SL處于CO態(tài).通過仔細(xì)觀察GAFBGF-SL輸出的功率譜,可發(fā)現(xiàn)一些等間隔峰,其間隔頻率約為GAFBGF-SL外腔反饋時間的倒數(shù),而輸出時間序列的SF曲線(圖4(a4))在Δt≈τ附近有一個較明顯的特征峰,其峰值為0.126.當(dāng)Δf=14 GHz時,如圖4(b1)所示,此時SL自由運行的中心頻率處于GAFBG反射譜主瓣內(nèi),GAFBG提供強(qiáng)的反射率導(dǎo)致SL的輸出的峰值波長發(fā)生較強(qiáng)的紅移,頻率偏移量為?18.0 GHz(如圖4(b2)所示).功率譜中等間隔峰的結(jié)構(gòu)更加明顯,時間序列的SF曲線在Δt≈τ附近的峰值增大到0.226.當(dāng)Δf=36 GHz時,SL自由運行的中心頻率處于GAFBG反射譜主瓣低頻邊緣(圖4(c1)),GAFBG提供的反饋較小,SL中心波長紅移不明顯,且此時光譜中的主要能量集中于GAFBG反射譜主瓣邊緣、群延時達(dá)到極值的附近,從而導(dǎo)致GAFBGF-SL輸出的功率譜幾乎觀測不到等間隔峰結(jié)構(gòu),輸出時間序列的SF曲線在Δt≈τ附近也沒有明顯的特征峰,最大值僅為0.019.從上述結(jié)果可以看出,GAFBGF-SL輸出混沌信號的TDS取決于GAFBG對不同頻率處提供的反饋強(qiáng)度的大小以及群延時.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)ξf=0.11,δn0=1.5×10?4時,GAFBG 的反射譜(藍(lán)色)和群延時(紅色)(第一排)、GAFBGF-SL混沌輸出的光譜(第二排)、功率譜(第三排)以及SF曲線(第四排);頻率失諧Δf分別為(a)?10 GHz,(b)14 GHz,(c)36 GHz;頻率偏移是相對于自由運行SL中心頻率的偏移Fig.4.(color online)Re fl ectivity spectra(blue)and group delay(red)of GAFBG(the fi rst row),optical spectra(the second row),power spectra(the third row),and SF curves(the fourth row)of the GAFBGF-SL chaotic output,where ξf=0.11, δn0=1.5 × 10?4and Δf=(a) ?10 GHz,(b)14 GHz,and(c)36 GHz,and frequency offset is to the free-running SL.

對于混沌信號在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用而言,通常不僅要求混沌信號的TDS比較弱,同時其混沌帶寬應(yīng)該比較寬.因此,有必要結(jié)合混沌信號的TDS以及混沌帶寬隨系統(tǒng)參數(shù)的演化情況,確定獲取滿足要求的混沌信號所需的系統(tǒng)參數(shù)范圍.混沌輸出的TDS強(qiáng)弱可用SF曲線在時移Δt∈[4 ns,6 ns]內(nèi)的最大值σt表征,σt越大說明GAFBGF-SL輸出混沌信號的TDS越明顯;而GAFBGF-SL輸出信號的帶寬可利用文獻(xiàn)[37]中的有效帶寬(EWB)來定量描述.圖5給出了δn0取不同值時,GAFBGFSL輸出的混沌信號的σt(第一列)和EWB(第二列)在ξf和Δf構(gòu)成的參量空間的演化、以及相應(yīng)的GAFBG的反射譜(藍(lán)線)和群延時(紅線)(第三列).如前所述,δn0表示GAFBG “直流”折射率改變的最大值,它決定GAFBG的反射帶寬.如第三列所示,當(dāng)δn0=1.0×10?4,1.5×10?4和3.0×10?4時,GAFBG的帶寬分別為13.3,20.3,40.4 GHz.在TDS特征峰值σt的演化圖(第一列)中,紅色區(qū)域表示σt值相對較大,而藍(lán)色區(qū)域表示σt值相對較小.通過仔細(xì)考察TDS得到較好抑制的區(qū)域(σt＜0.1),發(fā)現(xiàn)在這些區(qū)域GAFBGF-SL的輸出光譜位于GAFBG反射譜主瓣低頻邊緣、群延時出現(xiàn)極大值的附近;隨著GAFBG的帶寬增大,GAFBGF-SL輸出的混沌信號的TDS得到較好抑制的參數(shù)區(qū)域相應(yīng)增大.在EBW的演化圖(第二列)中,深藍(lán)色區(qū)域表示GAFBGF-SL輸出的EBW 值較小(＜10 GHz),根據(jù)文獻(xiàn)[37]可知此時GAFBGF-SL輸出處于S態(tài)或周期振蕩態(tài).EBW的演化規(guī)律與TDS的演化規(guī)律相似,結(jié)合σt及EBW在ξf和Δf構(gòu)成的參數(shù)空間下的演化圖,能夠確定產(chǎn)生弱TDS、寬帶寬混沌信號的所需的參數(shù)范圍.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)(a)δn0=1.0×10?4,(b)1.5×10?4,(c)3.0×10?4時GAFBGF-SL輸出的TDS特征峰值σt(第一列)、有效帶寬(第二列)在ξf和Δf構(gòu)成的參數(shù)空間的演化圖以及GAFBG的反射譜(藍(lán)線)和群延時(紅線)(第三列);此處頻率偏移是相對于GAFBG的布拉格頻率的偏移Fig.5.(color online)Maps of the characteristic peak value of TDS(the fi rst column)and effective bandwidth EBW(the second column)of the GAFBGF-SL output in the parameter space of ξfand Δf,and the re fl ectivity spectra(blue lines)and group delays(red lines)of the GAFBG(the third column)with frequency offset to the Bragg frequency of FBG under δn0=(a)1.0×10?4,(b)1.5×10?4,and(c)3.0×10?4.

4 結(jié) 論

本文基于光反饋SL的速率方程模型,數(shù)值仿真了GAFBGF-SL動力學(xué)行為,并對GAFBGF-SL輸出信號的TDS以及EBW進(jìn)行了分析.仿真結(jié)果表明:隨反饋強(qiáng)度的增加,GAFBGF-SL可表現(xiàn)出由S態(tài)、QP態(tài)進(jìn)入CO態(tài)的動力學(xué)演化路徑;反饋強(qiáng)度ξf和頻率失諧Δf顯著影響系統(tǒng)混沌輸出的TDS以及EBW;通過繪制GAFBGF-SL系統(tǒng)輸出的TDS和EBW在ξf和Δf構(gòu)成的參量空間下的分布圖,可確定獲取弱TDS、寬帶寬混沌信號的參數(shù)范圍.

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