劉東南，李博凡，李 玲

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鐵道供電與電氣學(xué)院，湖南 株洲 412006）

1 研究背景

近年來(lái)，高階離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)（multi-agent systems，MAS）的分布式協(xié)同控制引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。一致性是分布式協(xié)同控制問(wèn)題中的一個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，即使智能體間達(dá)成一種共同狀態(tài)。學(xué)者們?cè)谕健⑷杭?、編?duì)等方面，關(guān)于一致性的研究成果[1-6]較多。

根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量，一致性可以分為無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性、跟隨領(lǐng)導(dǎo)者一致性和包含控制。所謂包含控制是指網(wǎng)絡(luò)中所有跟隨者漸近進(jìn)入到網(wǎng)絡(luò)中的多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包之中。由于包含控制在許多領(lǐng)域都具有良好的應(yīng)用前景，受到了許多學(xué)者們的關(guān)注。Cao Y.C.等[7]研究了在不同拓?fù)湎戮哂卸鄠€(gè)靜態(tài)或動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的MAS的分布式包含控制。Liu H.Y.等[8]通過(guò)連續(xù)控制和采樣控制，分別研究了MAS 的包含控制，并得到了包含達(dá)到的充要條件。Li Z.K.等[9]在有向拓?fù)涞臈l件下，研究了一般線性MAS的干擾抑制問(wèn)題，提出了狀態(tài)反饋協(xié)議和基于觀測(cè)器的協(xié)議。M.Asgari等[10]考慮了在有向拓?fù)湎戮哂泄潭〞r(shí)間延遲的異構(gòu)MAS的包含性。Liu H.Y.等[11]研究了基于采樣數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階MAS包含控制。Wang Y.W.等[12]通過(guò)脈沖控制，研究了異源多智能體系統(tǒng)的輸出編隊(duì)包含性問(wèn)題。

此外，在近年內(nèi)，關(guān)于離散時(shí)間MAS的包含控制問(wèn)題，學(xué)者們也進(jìn)行了大量研究，取得了較多的成果。Ma Q.等[13]研究了離散時(shí)間MAS的包含控制問(wèn)題，并在所提出的協(xié)議下得到了低保守的充要條件。Wang D.等[14]利用z變換研究了具有時(shí)滯的離散時(shí)間MAS的包含性。Zhao Z.Y.等[15]研究了具有執(zhí)行器位置和速率飽和的離散時(shí)間MAS的半全局包含控制。

干擾常常存在于各類系統(tǒng)中，是系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要因素。因此，研究具有干擾的多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制具有重要意義，對(duì)具有外部干擾的多智能體系統(tǒng)的研究尤為重要。Guo L.等[16]提出了基于干擾觀測(cè)器（disturbance observer，DO）的控制方法，以穩(wěn)定具有外部干擾的非線性系統(tǒng)。Yang H.Y.等[17]提出了求解具有外部干擾的二階MAS的一致性問(wèn)題的方法。Xu C.J.等[18]利用DO技術(shù)研究了具有外部干擾的連續(xù)時(shí)間MAS的包含控制問(wèn)題。

目前，已有的包含控制研究主要是針對(duì)連續(xù)時(shí)間多智能體系統(tǒng)的。在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下，本文研究具有外部干擾的離散時(shí)間線性MAS的包含控制。

2 模型介紹和預(yù)備知識(shí)

設(shè)圖G=(V,E,A)表示一個(gè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，它包括一組節(jié)點(diǎn)V={1, 2, …,N+M}，一組邊EV×V，以及相鄰矩陣A=[aij]。對(duì)于有向圖，aij>0(j,i)∈E，即j向i發(fā)送信息；對(duì)于無(wú)向圖，aij>0，即j不僅向i發(fā)送信息，而且還接收來(lái)自i的信息。Ni={j|(j,i)∈E}是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居集。

L=D-A=[lij]是拉普拉斯矩陣，式中D=，所以lii=，lij=-aij（i≠j）。

設(shè)∑1={1, 2, …,N}和∑2={N+1,N+2, …,N+M}分別為追隨者和領(lǐng)導(dǎo)者集合，即追隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的編號(hào)分別記為1, 2, …,N和N+1,N+2, …,N+M。追隨者之間的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫菬o(wú)向的，領(lǐng)導(dǎo)者和每個(gè)追隨者之間的拓?fù)涫怯邢虻?。因此，L可以重寫為

式中：L1為跟隨者所對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣子塊；

L2為跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者間鄰接關(guān)系所對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣子塊。

第i個(gè)跟隨者的動(dòng)力學(xué)方程描述為

第i個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)方程描述為

式（1）～（2）中：xi、ui、di分別為第i個(gè)智能體的狀態(tài)、控制輸入、外部干擾，且xi∈Rn、ui∈Rm、di∈Rm；

A、B都為常數(shù)矩陣，且A∈Rn×n、B∈Rn×m。

設(shè)干擾ωi(t)（i= 1, 2, …, N）由外部系統(tǒng)（3）所生成，

式中：ωi為外部系統(tǒng)的狀態(tài)，且ωi∈Rl；

S、F都為干擾系統(tǒng)的矩陣，且S∈Rl×l，F(xiàn)∈Rm×l。

定義1[18]設(shè)C是Rn的子集，如果C中的任何x和y以及任何α∈[0,1]，滿足(1-α)x+αy∈C，則集合C稱為凸集。一個(gè)點(diǎn)集X={x1,x2, …,xn}的凸包是指包含X中所有點(diǎn)的最小凸集，X的凸包記為Co(X)。

假設(shè)1假設(shè)追隨者之間的連邊是無(wú)向的，對(duì)于每個(gè)跟隨者，至少有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者有指向該跟隨者的定向路徑。

假設(shè)2假設(shè)矩陣對(duì)(A,B)是穩(wěn)定的。

引理1[18]若假設(shè)2成立，則存在唯一的正定矩陣P，滿足改進(jìn)的代數(shù)里卡提（Ricatti）方程

引理2[14]若假設(shè)1成立，則L1是正定的，矩陣-L1-1L2中的每一項(xiàng)都是非負(fù)的，且矩陣每一行的和都為1。

3 基于干擾觀測(cè)器的狀態(tài)反饋包含控制

本章先提出基于干擾觀測(cè)器（DO）的分布式狀態(tài)反饋包含控制協(xié)議，然后給出包含達(dá)到的條件。

依賴于狀態(tài)的離散時(shí)間干擾觀測(cè)器為

式中：vi為觀測(cè)器的內(nèi)部狀態(tài)變量，vi∈Rl；

H為觀測(cè)器的增益矩陣，H∈Rl×n。

注1由于網(wǎng)絡(luò)中的智能體無(wú)法獲得干擾的信息，智能體必須估計(jì)外部干擾的值。

由式（5）構(gòu)造離散干擾觀測(cè)器來(lái)估計(jì)干擾。

根據(jù)式（1）和式（5），有

定義δi=ωi-，由式（3）和式（5），得

基于分布式DO的狀態(tài)反饋包含控制協(xié)議構(gòu)造如下：

式中K是要設(shè)計(jì)的增益。

注2包含協(xié)議由兩部分構(gòu)成，即包含協(xié)議依賴于ωi的估計(jì)值和局部相關(guān)信息。

令

則

定理1若假設(shè)1和假設(shè)2成立，在基于離散時(shí)間DO狀態(tài)反饋包含協(xié)議（8）下，

P>0是代數(shù)里卡提方程（4）的唯一解，λ1是L1的最小特征值；S+HBF是舒爾（Schur）穩(wěn)定的。則系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)包含控制，而且

證明令

根據(jù)L的定義，有

根據(jù)式（9）和式（10），有

因此，誤差系統(tǒng)可以改寫為

根據(jù)引理2，若假設(shè)1成立，則L1是正定且非奇異的，從而得λi>0（i=1, 2, …,N）。

對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)x(k+1)=(A+λ1BK)x(k)，，選擇離散時(shí)間李雅普諾夫函數(shù)為V(k)=xT(k)Px(k)，其中P是改進(jìn)的離散時(shí)間代數(shù)里卡提方程的唯一解，則有

當(dāng)k→∞時(shí)，V(k)→0，因此A+λ1BK是Schur穩(wěn)定的。于是可以得出結(jié)論：對(duì)于i=2, 3, …,N，A+λiBK是Schur穩(wěn)定的。從而得到INA+L1BK是Schur穩(wěn)定的。

另一方面，S+HBF是Schur穩(wěn)定的，因此INA+L1BK和S+HBF都是Schur穩(wěn)定的，從而誤差系統(tǒng)（12）為Schur穩(wěn)定的。

當(dāng)t→∞時(shí)，δ(k)→0，e(k)→0，則xF→根據(jù)引理2，-L1-1L2每一行的和等于1。再由定義1知，-(L1-1L2In)xL在由領(lǐng)導(dǎo)者和干擾觀測(cè)器漸近收斂于0的誤差所張成的凸包里，所以定理1成立。

注3當(dāng)di(k)=0時(shí)，不妨設(shè)F=0，此時(shí)=0。包含控制協(xié)議（8）依已有多智能體系統(tǒng)（4）達(dá)到包含，相關(guān)結(jié)果見(jiàn)式（13），系統(tǒng)（1）～（2）具有如下形式：

注4當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)數(shù)為1時(shí)，包含控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般性問(wèn)題，系統(tǒng)（1）～（2）具有如下形式：

此時(shí)假設(shè)1退化為全局可達(dá)。相應(yīng)地，由定理1及其證明可得如下推論1。

推論1在假設(shè)1和假設(shè)2成立的條件下，多智能體系統(tǒng)（15），在干擾觀測(cè)器（5）的作用下可達(dá)到一致。

4 數(shù)值仿真

本章通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證前述理論的正確性。

設(shè)多智能體系統(tǒng)由6個(gè)追隨者和3個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Topological graph of the multi-agent system

選擇系統(tǒng)矩陣A、B、C、D、F和S如下：

從而可得以下動(dòng)態(tài)方程：

若i∈F，

若i∈L，

易證(A,B)是穩(wěn)定的。S的特征值為1.030 3和0.669 7，這表明S不是Schur穩(wěn)定的。

選擇增益矩陣

則A+DC的特征值為-0.988 1和0.198 1，S+HBF的特征值為0.997 3和0.708 7，從而A+DC和S+HBF都是Schur穩(wěn)定的，因此滿足定理1的條件。根據(jù)Ricatti代數(shù)方程（4），有如下正定矩陣：

矩陣P的最大特征值λmax(P)=6.003 6，根據(jù)拉普拉斯矩陣，可得λ1=1.615 3，可以獲得相應(yīng)的控制器（8），其中

對(duì)應(yīng)的領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的運(yùn)動(dòng)軌跡仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 基于DO的狀態(tài)反饋包含控制仿真結(jié)果圖Fig.2 DO-based simulation diagram of state feedback containment control

由圖2可知，所有追隨者都聚集在由領(lǐng)導(dǎo)者所張成的凸包內(nèi)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了具有外部干擾的離散時(shí)間高階MAS的包含控制，利用基于對(duì)狀態(tài)信息的干擾觀測(cè)器，提出了相應(yīng)的包含控制協(xié)議，不僅有效抑制了干擾，同時(shí)還能使系統(tǒng)達(dá)到包含。利用李雅普諾夫方法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到了包含達(dá)到的充分條件。最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。