王洪雁 于若男 潘 勉 汪祖民*

①(浙江理工大學(xué)信息學(xué)院 杭州 310018)

②(大連大學(xué)信息工程學(xué)院 大連 116622)

③(五邑大學(xué)智能制造學(xué)部 江門 529020)

④(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院 杭州 310018)

1 引言

作為陣列信號處理領(lǐng)域研究熱點(diǎn)之一，波達(dá)方向角(Direction Of Arrival,DOA)估計(jì)技術(shù)在無線通信、目標(biāo)跟蹤、語音處理、雷達(dá)和射電天文學(xué)等領(lǐng)域皆有廣泛應(yīng)用[1,2]。隨著DOA估計(jì)理論研究的不斷深入，各種DOA估計(jì)方法相繼被提出。經(jīng)典的子空間類方法可實(shí)現(xiàn)超分辨測向，例如多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification,MUSIC)[3]、旋轉(zhuǎn)不變子空間(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique,ESPRIT)[4]等，然而在低信噪比條件下，其估計(jì)性能將顯著下降[5]。針對此問題，文獻(xiàn)[6]提出一種最大似然(Maximum Likelihood,ML)DOA估計(jì)算法，其通過逐步迭代求解信號和噪聲的對數(shù)似然函數(shù)以實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，低信噪比條件下，其性能明顯優(yōu)于MUSIC算法，但其非常依賴初始值的選取且算法復(fù)雜度較高，從而限制了該算法的實(shí)際應(yīng)用。因此，如何改善DOA估計(jì)算法性能同時(shí)降低計(jì)算復(fù)雜度是當(dāng)前陣列信號處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

近年來，稀疏信號表示[7,8]和壓縮感知[9,10]理論已逐步成為參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域的有力工具。隨著稀疏重構(gòu)算法研究的不斷深入，研究者相繼提出眾多基于信號空域稀疏特性的DOA估計(jì)方法，其中最具代表性的L1-SVD[11]算法，其利用L1范數(shù)構(gòu)建稀疏模型而后通過奇異值分解降低計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[12]提出一種基于加權(quán)L1范數(shù)稀疏重構(gòu)DOA估計(jì)算法，其利用信號稀疏性并基于改進(jìn)Capon算法的倒譜函數(shù)設(shè)計(jì)權(quán)值并構(gòu)造加權(quán)L1范數(shù)凸優(yōu)化問題以實(shí)現(xiàn)信源數(shù)目未知場景下DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[13]提出一種基于稀疏貝葉斯推理(Sparse Bayesian Inference,SBI)的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法，其利用線性變換從協(xié)方差向量中消除噪聲方差，而后聯(lián)合參數(shù)字典學(xué)習(xí)和稀疏恢復(fù)迭代更新以實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[14]提出一種基于低秩恢復(fù)的穩(wěn)健DOA估計(jì)方法，其利用采樣協(xié)方差矩陣稀疏及低秩特性構(gòu)造關(guān)于信號和噪聲協(xié)方差矩陣的凸問題，而后利用MVDR方法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。需要注意的是，上述DOA估計(jì)算法皆假設(shè)信源DOA精確位于預(yù)設(shè)離散網(wǎng)格點(diǎn)上，然而，信號實(shí)際到達(dá)角度可能與預(yù)設(shè)離散網(wǎng)格存在偏移，由此，所得估計(jì)存在一定誤差[10]。針對此問題，最直觀的解決方法是減小網(wǎng)格間距離，即利用較小步長即更密集搜索網(wǎng)格覆蓋探測空間以降低估計(jì)誤差，然而，此方法會顯著增加計(jì)算復(fù)雜度且增加超完備字典原子之間相干性從而違背有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property,RIP)進(jìn)而導(dǎo)致估計(jì)誤差增大。針對上述問題，文獻(xiàn)[15]提出基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的離網(wǎng)格(Off-Grid Sparse Bayesian Learning,OGSBL)DOA估計(jì)算法，通過引入偏移量參數(shù)至DOA稀疏表示模型并基于SBL求解，從而解決網(wǎng)格劃分問題。文獻(xiàn)[16]提出根稀疏離網(wǎng)格貝葉斯推理(Root Off-Grid SBI,ROGSBI)方法，采用粗分網(wǎng)格與迭代細(xì)分網(wǎng)格相結(jié)合優(yōu)化網(wǎng)格以實(shí)現(xiàn)高精度DOA估計(jì)。需要注意的是，上述算法雖然基于SBI降低離網(wǎng)格效應(yīng)并降低計(jì)算量，然而，其皆沒有考慮有限次快拍可導(dǎo)致采樣信號協(xié)方差矩陣存在估計(jì)誤差[17]，進(jìn)而使得上述算法所得DOA估計(jì)精度提升有限。

針對上述問題，本文提出一種網(wǎng)格失配條件下基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的離散網(wǎng)格DOA估計(jì)方法(Off-Grid based on Covariance Matrix Reconstruction,OGCMR)。首先，將DOA與網(wǎng)格點(diǎn)之間偏移量包含進(jìn)接收數(shù)據(jù)稀疏表示模型；而后基于重構(gòu)信號協(xié)方差矩陣建立關(guān)于DOA估計(jì)的稀疏表示模型；接著，構(gòu)建采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差凸模型，并基于采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差服從漸進(jìn)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)估計(jì)誤差上界，而后將此凸集顯式包含進(jìn)稀疏模型以改善稀疏信號重構(gòu)性能進(jìn)而提升DOA估計(jì)精度；最后采用交替迭代方法求解所得聯(lián)合優(yōu)化問題以獲得稀疏DOA和網(wǎng)格偏移參數(shù)估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

2 陣列信號模型

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號入射至陣元數(shù)為M的均勻線性陣列，則t時(shí)刻接收信號模型可表示為

其中，x(t)為接收數(shù)據(jù)，a(θk)=[1,e-j2πdsinθk/λ,...,e-j(M-1)2πdsinθk/λ]T和sk(t)分別為第k個(gè)信號源的導(dǎo)向矢量和信號幅度，d和λ分別為陣元間距及載波波長，通常d ≤λ/2,{θ1,θ2,...,θK}為K個(gè)信源DOA(本文只考慮方位角，所得結(jié)論亦可推廣至2維DOA估計(jì))，A(θ)=[a(θ1),a(θ2),...,a(θK)]∈CM×K為陣列導(dǎo)向矢量矩陣，s(t)=[s1(t),s2(t),...,sK(t)]T∈CK×1為波形矢量，n(t)=[n1(t),n2(t),...,nM(t)]T為互不相關(guān)高斯白噪聲。

對于L次快拍，式(1)接收信號模型可進(jìn)一步表示為

其中，X=[x(1),x(2),...,x(L)]為接收信號矩陣，S=[s(1),s(2),...,s(L)]為信號幅度矩陣，N=[n(1),n(2),...,n(L)]為噪聲矩陣。

假設(shè)信號和噪聲互不相關(guān)，且信源相互獨(dú)立[18]，則接收信號協(xié)方差可表示為

其中，Rs為無噪聲信號協(xié)方差矩陣，為信號功率協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率。

實(shí)際應(yīng)用中，接收協(xié)方差矩陣R基于L次有限采樣快拍估計(jì)得到[13]，即

3 離網(wǎng)格DOA估計(jì)模型

由式(5)、式(9)可知，離網(wǎng)格DOA估計(jì)模型可表示為

4 基于離網(wǎng)格的稀疏重構(gòu)算法

基于上述討論，協(xié)方差矩陣R可稀疏表示為

然而實(shí)際應(yīng)用中由于采樣次數(shù)有限，信號協(xié)方差矩陣存在估計(jì)誤差，因而基于此稀疏表示DOA亦存在估計(jì)誤差，進(jìn)而導(dǎo)致DOA估計(jì)性能下降。針對此問題，類似于文獻(xiàn)[18]，本文構(gòu)建關(guān)于R的誤差模型如下

其中，‖·‖F(xiàn)為矩陣Frobenius范數(shù)，ε為誤差參數(shù)因子。

基于誤差凸集，稀疏信號重構(gòu)問題可基于l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法求解，即

需要注意的是，求解上述優(yōu)化問題需要誤差上界ε確知。然而，此值在實(shí)際中難以確知，通?；诮?jīng)驗(yàn)確定?；诖?，本文基于協(xié)方差估計(jì)誤差服從漸進(jìn)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性，推導(dǎo)誤差上界的確定方法。由文獻(xiàn)[20]分析可知，矢量化協(xié)方差矩陣誤差服從漸進(jìn)正態(tài)(Asymptotically Normal,AsN)分布，即

其中，χ2(·)表示卡方分布，A sχ2(M2)表示自由度為M2的漸進(jìn)卡方分布。

由于向量r為協(xié)方差矩陣R的矢量化形式，從而可得

其中，Re 表示取實(shí)部，°表示矩陣的Hadamard積。

令式(26)關(guān)于ρ的導(dǎo)數(shù)為零，進(jìn)而可得ρK的更新公式

其中，δ為網(wǎng)格劃分間隔。

綜上所述，本文所提OGCMR算法可表述為

(1)輸入陣列接收信號矩陣X；

(2)劃分網(wǎng)格并引入偏移量ρ得到陣列流型矩陣A(ρ)；

(3)求解式(21)以獲得誤差參數(shù)η的最優(yōu)估計(jì)值；

(5)求解式(27)更新ρ；

(6)求解式(28)獲得DOA估計(jì)；

(7)重復(fù)步驟(4)—步驟(6)，直至相鄰兩次DOA估計(jì)值無明顯變化，即。

5 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

本節(jié)通過與傳統(tǒng)MUSIC,L1-SVD及SLRDRMVDR算法在估計(jì)精度、角度分辨力、運(yùn)行時(shí)間以及誤差參數(shù)因子對DOA估計(jì)影響等方面的對比，驗(yàn)證所提OGCMR算法有效性。實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下：仿真軟件為MATLAB R2014a，硬件環(huán)境為：Intel Core(TM)i7-7700，主頻4 GHz，內(nèi)存8 GB。仿真條件為：陣元數(shù)M=8，快拍數(shù)L=200，陣元間距d=λ/2。其中，DOA估計(jì)精度可采用均方根誤差(Root-Mean-Square Error,RMSE)衡量[24]，定義為

其中，K為蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)，N為目標(biāo)個(gè)數(shù)，為第k次實(shí)驗(yàn)對第i個(gè) DOA估計(jì)，θi為第i個(gè)真實(shí)DOA。

5.1 空域譜對比

圖1為4種條件下MUSIC,L1-SVD,SLRD-RMVDR和所提OGCMR算法的空域功率譜對比圖。仿真條件設(shè)置如下：考慮兩個(gè)入射角度分別為[–10.6°,5.3°]的非相干信號，由圖1(a)可知，在信噪比SNR=0 dB，快拍數(shù)L=40的條件下，MUSIC可近似分辨出目標(biāo)信號角度但其在–10.6°處譜峰較低，L1-SVD和SLRD-RMVDR算法均無法有效分辨目標(biāo)信號，而本文所提OGCMR算法可有效辨別兩個(gè)目標(biāo)信號角度且具有較窄主瓣。由圖1(b)可知，隨著SNR增加，SLRD-RMVDR算法角度分辨力有所提高，而L1-SVD算法僅能近似分辨位于–10.6°的目標(biāo)信號，且本文所提OGCMR算法依然具有較好的角度分辨力。圖1(c)為SNR=0,L=200條件下4種算法空間譜估計(jì)對比圖。由圖1(c)可知，低SNR條件下，MUSIC算法在5.3°位置譜峰值較低，SLRD-RMVDR算法在–10.6°處譜峰值較低，L1-SVD算法無法有效分辨目標(biāo)信號，本文所提OGCMR算法具有較好估計(jì)性能。圖1(d)為SNR=10 dB,L=200條件下4種算法的空間譜估計(jì)對比圖。由圖1(d)可知，隨著SNR和快拍數(shù)的增大，4種算法皆具有較為尖銳的譜峰，且所提算法具有更窄主瓣，更為接近真實(shí)的DOA，因而具有更優(yōu)的DOA估計(jì)性能。

圖1 不同信噪比和快拍條件下非相干信號空域譜對比圖

圖2為4種算法空域譜估計(jì)對比圖。仿真條件設(shè)置如下：考慮4個(gè)入射角度分別為[–35.3°,–10.6°,5.3°,26.5°]的非相干信號，SNR=10 dB，快拍數(shù)L=200。由圖2可知，給定仿真條件下，MUSIC,L1-SVD和SLRD-RMVDR 3種算法所估計(jì)的角度與實(shí)際目標(biāo)信號角度均存在一定偏差，而本文所提OGCMR算法可有效分辨4個(gè)目標(biāo)角度，并且相較于MUSIC和l1-SVD兩種對比算法具有較窄主瓣及較低旁瓣，這是因?yàn)樗酧GCMR算法將DOA與網(wǎng)格點(diǎn)之間偏移量包含進(jìn)接收數(shù)據(jù)稀疏表示模型，并構(gòu)建采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差的凸模型，且將此凸集顯式包含進(jìn)凸稀疏表示模型以改善稀疏信號重構(gòu)性能，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效DOA估計(jì)。

圖2 非相干信號空域譜

5.2 DOA估計(jì)RMSE

圖3為4種算法DOA估計(jì)RMSE隨SNR變化曲線。仿真條件設(shè)置如下：考慮入射角分別為–10.6°和5.3°的非相干信號，且SNR=[–6:2:14] dB，快拍數(shù)L=200，進(jìn)行200次蒙特卡羅獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。由圖3可知，隨著SNR增加，4種算法DOA估計(jì)RMSE均逐漸降低。需要注意的是，傳統(tǒng)MUSIC和L1-SVD算法的DOA估計(jì)RMSE相對較高，SLRDRMVDR和所提OGCMR算法的RMSE較低，且所提算法估計(jì)性能明顯優(yōu)于SLRD-RMVDR，這是因?yàn)樗崴惴紤]到DOA與網(wǎng)格點(diǎn)之間存在偏移量并將其包含進(jìn)接收數(shù)據(jù)稀疏表示模型，尤其在低SNR條件下，所提算法的優(yōu)勢更加突出，由此表明所提OGCMR算法具有較好的DOA估計(jì)性能。

圖3 DOA估計(jì)RMSE隨SNR變化曲線

圖4為4種算法DOA估計(jì)RMSE隨快拍數(shù)變化曲線。仿真條件設(shè)置如下：考慮入射角分別為–10.6°和5.3°的非相干信號，SNR=10 dB，快拍數(shù)L=[50:50:500]，進(jìn)行200次蒙特卡羅獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。由圖4可知，隨著快拍數(shù)增加，MUSIC,L1-SVD,SLRD-RMVDR和本文所提OGCMR算法的RMSE均逐漸降低。另外，需要注意的是，所提OGCMR算法因其考慮到DOA與網(wǎng)格點(diǎn)之間存在偏差以及采樣協(xié)方差矩陣存在誤差，并構(gòu)建相關(guān)聯(lián)合優(yōu)化問題以改善稀疏信號重構(gòu)性能，故而在相同快拍數(shù)條件下，所提算法具有優(yōu)于其他3種算法的DOA估計(jì)性能。

圖4 DOA估計(jì)RMSE隨快拍數(shù)變化曲線

5.3 算法復(fù)雜度

為評估所提算法復(fù)雜度，在此分析不同快拍數(shù)條件下算法運(yùn)算時(shí)間對比。

圖5為4種算法運(yùn)算時(shí)間隨快拍數(shù)變化曲線。仿真條件設(shè)置如下：考慮兩個(gè)入射角分別為–10.6°和5.3°的非相干信號，SNR=10 dB,L=[50:50:500]。由圖5可知，隨著快拍數(shù)增加，4種算法運(yùn)算時(shí)間皆呈上升趨勢。所提OGCMR和L1-SVD算法利用過完備字典矩陣稀疏重構(gòu)信號，而SLRD-RMVDR基于低秩恢復(fù)理論重構(gòu)無噪聲協(xié)方差矩陣，此3種算法運(yùn)算時(shí)間略高于傳統(tǒng)MUSIC算法，且L1-SVD算法由于在未降維的數(shù)據(jù)上采用凸優(yōu)化方法來重構(gòu)信號，因而耗時(shí)較長。然而，需要說明的是，雖然所提OGCMR算法的運(yùn)行時(shí)間略高于MUSIC 算法，但其DOA估計(jì)精度和角度分辨力明顯優(yōu)于MUSIC算法，即所提算法能以較小的時(shí)間為代價(jià)換取DOA估計(jì)性能的提升。

圖5 算法運(yùn)算時(shí)間隨快拍數(shù)變化曲線

5.4 誤差參數(shù)分析

為較全面地評估所提OGCMR算法性能，在此分析誤差參數(shù)η對所提算法重構(gòu)性能的影響。

表1為誤差參數(shù)對所提OGCMR算法重構(gòu)性能影響。仿真條件設(shè)置如下：考慮入射角分別為–10.6°和5.3°的非相干信號，SNR=10 dB，快拍數(shù)L=200。由表1可知，誤差參數(shù)為0.1時(shí)，所提OGCMR算法重構(gòu)信號峰值功率較大，隨著誤差參數(shù)的增大，所提算法重構(gòu)信號的峰值功率逐漸降低，表明誤差參數(shù)η取值對算法重構(gòu)性能有較大影響。

表1 誤差參數(shù)對算法重構(gòu)性能影響

6 結(jié)束語

針對基于稀疏表示的DOA估計(jì)存在網(wǎng)格失配問題，即信源方位角可能不完全位于離散網(wǎng)格進(jìn)而產(chǎn)生估計(jì)誤差，本文提出一種基于重構(gòu)協(xié)方差矩陣的離網(wǎng)格DOA估計(jì)(OGCMR)方法。所提算法首先將DOA與網(wǎng)格點(diǎn)之間偏移量包含進(jìn)接收數(shù)據(jù)稀疏表示模型，而后構(gòu)建采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差凸模型，并將此凸集顯式包含進(jìn)稀疏表示模型，最后采用交替迭代方法求解所得聯(lián)合優(yōu)化問題以獲得稀疏DOA和網(wǎng)格偏移參數(shù)估計(jì)。與多重信號分類(MUSIC)、L1-SVD及基于稀疏和低秩恢復(fù)的穩(wěn)健MVDR (SLRD-RMVDR)等DOA估計(jì)算法相比，仿真結(jié)果表明，所提算法在網(wǎng)格失配條件下具有較高的角度分辨力和DOA估計(jì)精度。