黎子皓，郝程鵬，閆晟

（1.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

隨著天線與換能器在聲吶、雷達(dá)和無線通信等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，波束方向圖設(shè)計(jì)已經(jīng)成為陣列信號處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，該技術(shù)首先在空間中部署一組輻射單元構(gòu)成陣列，然后借助波束形成技術(shù)獲得強(qiáng)方向性、窄波束寬度和低旁瓣電平的波束，從而提高發(fā)射或接收信號的信噪比。在實(shí)際工程中，為了提升陣列的角度分辨率，需要擴(kuò)大陣列孔徑和陣元數(shù)量。因此對于陣元間距不大于半波長的均勻直線陣列而言，陣元數(shù)量的增加提升了系統(tǒng)的維護(hù)難度和成本。為了降低設(shè)備復(fù)雜性和成本，稀疏直線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)引起了重視。該技術(shù)是在陣列孔徑幾乎不變的條件下，即在保持陣列的角度分辨率不變的前提下，減少陣元數(shù)量并優(yōu)化各陣元的物理布局，最終產(chǎn)生滿足期望性能的波束方向圖。由于這樣設(shè)計(jì)出的大部分稀疏直線陣列的陣元間距大于半波長，因此其陣元間的互耦效應(yīng)與均勻直線陣列相比更弱，在實(shí)際環(huán)境中具備更好的性能。

不論是在理論設(shè)計(jì)還是工程應(yīng)用中，稀疏直線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)都是一個(gè)較難處理的問題［1,2］。從波束方向圖的數(shù)學(xué)模型考慮，其在空間域上是陣元激勵(lì)和陣元位置的復(fù)指數(shù)求和形式，因此位置和激勵(lì)的聯(lián)合優(yōu)化是一個(gè)非凸優(yōu)化問題，優(yōu)化的結(jié)果不一定是全局最優(yōu)解；從工程應(yīng)用角度考慮，雖然算法可以通過對陣元位置和激勵(lì)添加約束條件達(dá)到控制波束形狀的目的，但在實(shí)際環(huán)境中受到地形條件的影響，陣元位置與理論數(shù)值存在偏差，從而導(dǎo)致旁瓣電平產(chǎn)生誤差，甚至?xí)霈F(xiàn)混疊現(xiàn)象。因此需要對這兩方面因素綜合考慮，設(shè)計(jì)符合需求的稀疏直線陣列。

為了能夠詳細(xì)地對稀疏直線陣列的設(shè)計(jì)算法進(jìn)行綜述，本文首先在第2 章介紹直線陣的波束方向圖理論和性能標(biāo)準(zhǔn)，并分析基于最小峰值旁瓣電平與基于方向圖重構(gòu)的稀疏直線陣列設(shè)計(jì)模型。之后在第3章根據(jù)這兩類設(shè)計(jì)模型把現(xiàn)存的算法分隨機(jī)搜索、傅里葉變換、凸優(yōu)化、矩陣分解和壓縮感知這五類，進(jìn)而綜述了各類設(shè)計(jì)算法的理論、發(fā)展和最新研究進(jìn)展。第4 章則通過仿真實(shí)驗(yàn)深入對比各類算法的優(yōu)缺點(diǎn)。最后于第5 章結(jié)合實(shí)際工程化的應(yīng)用需求，指出稀疏直線陣列設(shè)計(jì)算法的未來發(fā)展趨勢。

在討論接下來的內(nèi)容之前，先對一些符號進(jìn)行定義：λ 表示信號的波長。j 表示虛數(shù)單位，即j 滿足j2=-1。k=2π/λ 表示信號的波數(shù)。‖x‖1,‖x‖2分別表示向量x的1范數(shù)和2范數(shù)。F(x)表示對x作離散傅里葉變換，F(xiàn)-1(x)則表示對x作離散傅里葉逆變換。mainlobe表示波束方向圖的主瓣區(qū)域，而sidelobe 表示波束方向圖的旁瓣區(qū)域。xT表示對矩陣或向量x作轉(zhuǎn)置運(yùn)算，x*則表示對矩陣或向量x作共軛運(yùn)算。

2 稀疏直線陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2.1 直線陣列的波束方向圖模型

波束方向圖是衡量直線陣列性能的重要指標(biāo)，表征了發(fā)射電磁波時(shí)能量的空間分布情況。根據(jù)文獻(xiàn)［3］，直線陣列的波束方向圖可以表示為陣因子和元因子乘積的形式

式中，F(xiàn)(θ)為直線陣的波束方向圖；fe(θ)表示每個(gè)輻射單元的方向圖，被稱作元因子；fa(θ)與陣列流形相關(guān)，被稱作陣因子?？梢姴ㄊ较驁D由元因子和陣因子共同決定。在大部分情況下，各向同性的輻射單元構(gòu)成直線陣列，即元因子fe(θ)=1。因此對于陣元數(shù)量為M的線陣，其方向圖可以僅用陣因子表示

式中，dn是第n個(gè)陣元與參考點(diǎn)之間的距離；wn是第n個(gè)陣元的復(fù)激勵(lì)。不論是均勻直線陣還是稀疏直線陣，波束方向圖模型均符合式（2），因此稀疏直線陣列的優(yōu)化模型均是圍繞式（2）建立的。對于直線陣列，常 見的 波束 方 向圖 有Dolph-Chebychev［4］、Taylor-Kaiser波束或余割平方波束［5］等。

2.2 基于最小峰值旁瓣電平的優(yōu)化模型

峰值旁瓣電平（peak side-lobe level, PSLL）作為波束方向圖的重要指標(biāo)，表征了天線陣列對旁瓣區(qū)域中干擾信號的抑制能力。因此該稀疏直線陣列的優(yōu)化模型將PSLL 作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，在減少陣元數(shù)量并優(yōu)化陣元位置、激勵(lì)的同時(shí)，盡可能降低其波束方向圖的PSLL。假設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)稀疏直線陣列，其孔徑為L，陣元數(shù)量為N的，且N小于同樣孔徑下按半波長排布的均勻線陣陣元數(shù)量M，定義該稀疏陣列所對應(yīng)的波束方向圖的峰值旁瓣電平為

式中，F(xiàn)max表示稀疏直線陣列的波束方向圖；F(θ)在整個(gè)角度區(qū)域中的峰值。從式（3）可見，稀疏直線陣列的PSLL 受到陣元的位置矢量d和激勵(lì)矢量w的影響。因此基于最小化峰值旁瓣電平的優(yōu)化模型可描述為

式（4）所表示的優(yōu)化模型首次建立了稀疏直線陣列設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，掀起了世界眾多學(xué)者對于稀疏直線陣的設(shè)計(jì)算法的研究熱潮，因此在20 世紀(jì)90年代后陸續(xù)出現(xiàn)隨機(jī)搜索、傅里葉變換和凸優(yōu)化這三類設(shè)計(jì)算法。

2.3 基于方向圖重構(gòu)的優(yōu)化模型

與最小化峰值旁瓣電平的優(yōu)化模型不同，方向圖重構(gòu)的優(yōu)化模型是在保證稀疏直線陣列的方向圖與目標(biāo)方向圖之間足夠近似的條件下，減少陣元數(shù)量并同時(shí)優(yōu)化陣元的激勵(lì)、位置。假設(shè)稀疏直線陣列的陣元數(shù)量為N，用η表示合成方向圖與目標(biāo)方向圖的理論誤差，則該優(yōu)化模型可以表示為

式中，F(xiàn)REF(θ)表示已知輻射特性的目標(biāo)方向圖，例如已經(jīng)確定波束形狀的Chebyshev 方向圖；后面一項(xiàng)則表示稀疏陣列的波束方向圖。對于此優(yōu)化模型，眾多學(xué)者發(fā)現(xiàn)矩陣分解和壓縮感知這兩類算法可以有效解得對應(yīng)的陣元位置和激勵(lì)。為了直觀起見，圖1表示了兩類優(yōu)化模型及其衍生出的設(shè)計(jì)算法之間的對應(yīng)關(guān)系。

圖1 稀疏直線陣列優(yōu)化模型與設(shè)計(jì)算法的對應(yīng)關(guān)系

3 稀疏直線陣列設(shè)計(jì)算法

3.1 基于隨機(jī)搜索的設(shè)計(jì)算法

隨機(jī)搜索算法是一類廣泛用于非凸優(yōu)化領(lǐng)域的算法，其中包括模擬退火算法（simulated annealing,SA）［6］、遺傳算法（genetic algorithms,GA）［7］、粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization, PSO）［8］、差分進(jìn)化算法（differential evolution, DE）［9］、蟻群優(yōu)化算法（ant colony optimization,ACO）等。隨機(jī)搜索算法的目的均是最小化適應(yīng)度函數(shù)，而適應(yīng)度函數(shù)可以根據(jù)優(yōu)化需求自由定義，因此可以將隨機(jī)搜索類算法用于最小化峰值旁瓣電平的優(yōu)化模型中，僅需將稀疏陣列的PSLL作為適應(yīng)度函數(shù)即可。例如對于等幅激勵(lì)的稀疏直線陣列，需把陣元位置作為優(yōu)化變量，并把隨機(jī)搜索算法的適應(yīng)度函數(shù)改為PSLL，即

式中，fitness代表隨機(jī)搜索算法的適應(yīng)度函數(shù)；優(yōu)化變量為陣元位置矢量d=［d1,d2,...,dN-1］。式（6）說明隨機(jī)搜索算法在迭代過程中降低稀疏陣列的波束方向圖的PSLL，并同時(shí)獲得各陣元的位置。伴隨著計(jì)算機(jī)的計(jì)算性能提升，許多學(xué)者開始驗(yàn)證各種隨機(jī)搜索 算 法 在 式（6）上 的 有 效 性。1994年，Niell 和Haupt［10,11］兩位學(xué)者理論分析GA 算法用于設(shè)計(jì)等幅激勵(lì)的稀疏直線陣的有效性，并通過仿真實(shí)驗(yàn)說明對于孔徑為99.5λ的稀疏直線陣列，僅用150個(gè)陣元便可合成PSLL 最低為-22.09dB 的波束方向圖。不幸的是，文獻(xiàn)［10,11］中的GA 算法針對的優(yōu)化模型中，陣元位置只能在等間距的網(wǎng)格上，陣元位置的自由度受到了極大的限制，從而進(jìn)一步限制了算法的性能，因此文獻(xiàn)［12］引入了一種距離微擾策略，從而提出一種不等間距的網(wǎng)格優(yōu)化模型，在優(yōu)化算法同為GA 算法的前提下，可獲得PSLL 為-22.34dB 的波束方向圖，性能顯然優(yōu)于文獻(xiàn)［10,11］。然而這種微擾模型在優(yōu)化過程中會造成陣元間距小于半波長的情況，導(dǎo)致在實(shí)際環(huán)境中增加了陣元間的互耦效應(yīng)，因此Chen等人［2］提出了一種改進(jìn)的遺傳算法（Modified GA，MGA），在不等間距優(yōu)化模型上增加陣元間距大于半波長的約束條件，從而在理論上解決互耦問題。除了GA算法，其他的基于隨機(jī)搜索的稀疏直線陣列設(shè)計(jì)算法也相繼被提出，例如基于陣元間距約束的改進(jìn)粒子群算法（improved PSO,IPSO）［13］，基于整數(shù)編碼的遺傳算法［14］，適應(yīng)策略差分進(jìn)化算法（strategy adaptation DE,SaDE）［15］，改進(jìn)的差分進(jìn)化算法（modified DE,MDE）［16］，改進(jìn)的蝙蝠算法（improved bat algorithm,IBA）［17］等。

在隨機(jī)搜索算法中，雖然式（6）的優(yōu)化模型取得了杰出的成果，延伸出各種稀疏直線陣列設(shè)計(jì)算法，但是優(yōu)化的變量僅有陣元位置，合成的波束方向圖性能仍然不是最優(yōu)。因此可以將陣元位置與激勵(lì)合并成矢量進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，從而進(jìn)一步提升性能，即表示為

式（7）的優(yōu)化模型與式（6）相比，自變量自由度得到了提升，因此該模型設(shè)計(jì)的稀疏直線陣列的性能優(yōu)于式（6）。Kurup 等人［18］使用DE 算法驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)論，即通過仿真實(shí)驗(yàn)說明對于位置-激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的模型，設(shè)計(jì)的稀疏直線陣列所對應(yīng)波束方向圖比僅優(yōu)化位置的旁瓣電平低3.5dB，性能獲得顯著提升，具備更強(qiáng)的抗干擾能力。除了DE 算法之外，Murino 等人［19］針對式（7）也提出了基于SA 的稀疏直線陣列設(shè)計(jì)算法，并在孔徑為50λ 陣元數(shù)量為25 的條件下，性能優(yōu)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法［20］。2010年，動(dòng)態(tài)差分進(jìn)化設(shè)計(jì)算法［21］也被提出，與傳統(tǒng)DE算法相比，其在突變過程中動(dòng)態(tài)更新種群而不是逐代更新，從而可以更高效地收斂。Akdagli 等人則針對非對稱賦形波束提出了旅游蟻群優(yōu)化算法［22］，從而可以設(shè)計(jì)發(fā)射余割平方波束或平頂波束的稀疏直線陣列。

為了能在降低旁瓣電平的同時(shí)增加陣列的角度分辨率，Zhang等人［23］在式（6）和式（7）的基礎(chǔ)上，提出了旁瓣電平和主瓣寬度的混合優(yōu)化模型，并用a1和a2分別調(diào)整這兩者的權(quán)重，即

式中，HPBW 代表波束方向圖的主瓣寬度。對于式（8）的優(yōu)化模型，改進(jìn)的遺傳算法（improved GA,IGA）、改進(jìn)遺傳算法與粒子群算法的混合算法（improved GA-PSO, IGA-PSO）及改進(jìn)的遺傳算法-極值干擾簡單粒子群算法（improved GA-extremum disturbed simple PSO,IGA-edPSO）［23］均可設(shè)計(jì)出滿意的稀疏直線陣列，詳細(xì)仿真結(jié)果可見第4 章。為了方便，我們總結(jié)了GA、DE、PSO、ACO 這四個(gè)算法用于設(shè)計(jì)稀疏線陣的流程圖，如圖2所所示。

圖2 陣列孔徑確定下的虛擬網(wǎng)格

圖2 基于隨機(jī)搜索的稀疏直線陣列設(shè)計(jì)流程圖

3.2 基于傅里葉變換的設(shè)計(jì)算法

根據(jù)式（2），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為陣元激勵(lì)與陣元位置所對應(yīng)復(fù)指數(shù)的加權(quán)求和，與傅里葉變換的形式類似，因此在20 世紀(jì)下半葉，許多學(xué)者開始探索傅里葉變換和波束方向圖之間的關(guān)聯(lián)。

1991年，文獻(xiàn)［24］從理論上論證FFT 算法合成均勻直線陣列的波束方向圖的可行性。2003年，Casimiro等人明確了均勻線陣的波束方向圖與陣元激勵(lì)間存在傅里葉變換的關(guān)系［25］，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該關(guān)系的有效性，即對于N個(gè)陣元所構(gòu)成的均勻直線陣列，其波束方向圖模型滿足式（2），假設(shè)陣元的間距為Δd，令u=sinθ，陣列的波束方向圖和陣元激勵(lì)符合如下傅里葉變換關(guān)系

從式（9）可以看出，均勻直線陣列的波束方向圖和陣元激勵(lì)互為傅里葉變換對，即可簡單表示為

然而式（10）僅針對均勻直線陣列，即在陣元等間距排布的條件下才成立，無法直接用于稀疏線陣設(shè)計(jì)。為解決這個(gè)問題，2008年Keizer等人對算法做改進(jìn)，提出了一種迭代傅里葉變換算法（iterative FFT techniques,IFT）［26,27］用于設(shè)計(jì)等幅激勵(lì)的稀疏線陣。該算法首先利用虛擬網(wǎng)格建立傅里葉變換與稀疏線陣設(shè)計(jì)的關(guān)系，即在線陣的排布空間上劃分出虛擬網(wǎng)格，如圖3所示，使用FFT求解網(wǎng)格位置對應(yīng)的激勵(lì)，相當(dāng)于在網(wǎng)格上放置特定激勵(lì)的陣元。為了進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)減少陣元數(shù)量和降低旁瓣電平的效果，IFT算法初始化波束方向圖，每次迭代都降低波束的旁瓣電平并通過傅里葉逆變換求解對應(yīng)的虛擬陣元激勵(lì)，取前N個(gè)大的幅值確定為陣元位置，將激勵(lì)置1，其余網(wǎng)格上的激勵(lì)設(shè)置0，繼續(xù)轉(zhuǎn)換為波束方向圖并降低旁瓣電平，以此循環(huán)求解稀疏陣列的陣元位置，算法流程圖如圖4所示。

圖3 基于迭代傅里葉變換的稀疏直線陣列設(shè)計(jì)流程圖

Keizer 通過仿真實(shí)驗(yàn)證明在陣列孔徑為99.5λ 且陣元數(shù)量為132 的條件下，IFT 算法可以設(shè)計(jì)出PSLL為-22.86dB的等幅激勵(lì)的稀疏直線。

繼IFT 算法之后，學(xué)者們也提出許多改進(jìn)的算法。例如在2012年，一種改進(jìn)的迭代傅里葉變換算法（modified IFT,MIFT）［28］被提出，該算法通過引入自適應(yīng)因子增加運(yùn)算速度，并在稀疏率相同的情況下，設(shè)計(jì)的稀疏線陣的PSLL 低于IFT 算法的結(jié)果。除此之外，GA 與IFT、MIFT 的混合算法［29,30］也被提出用于提高計(jì)算速度和全局搜索的性能。

3.3 基于凸優(yōu)化的設(shè)計(jì)算法

凸優(yōu)化是最優(yōu)化里的一個(gè)重要子領(lǐng)域，是針對凸問題求解最優(yōu)值的算法，與非凸優(yōu)化相比，其在獲得全局最優(yōu)解上有較好性質(zhì)。根據(jù)式（2）的數(shù)學(xué)模型，波束方向圖與陣元激勵(lì)服從線性關(guān)系，因此當(dāng)優(yōu)化變量僅為陣元激勵(lì)的情況下，波束方向圖設(shè)計(jì)可以轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題，即可表示為

Lebret 和Boyd 驗(yàn)證式（11）對于優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性［31］，對于陣元數(shù)量為24 且陣元間距為0.56λ 的均勻線陣，可以設(shè)計(jì)旁瓣電平低于-27.3dB 的余割平方波束。Wang 等人則進(jìn)一步驗(yàn)證式（11）設(shè)計(jì)非均勻直線陣列的波束方向圖的有效性［32］，并改進(jìn)約束項(xiàng)減少陣元位置、激勵(lì)的擾動(dòng)帶來的影響，但該算法考慮的是陣元位置已經(jīng)確定的特定稀疏陣列，無法將陣元位置同樣作為變量求解，從而缺乏通用性。

為了可以聯(lián)合優(yōu)化陣元位置和激勵(lì)，稀疏恢復(fù)［33-35］的理論被引入稀疏線陣的設(shè)計(jì)，且該理論恰好可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。稀疏恢復(fù)指對于一個(gè)線性系統(tǒng)y=Ax，在滿足該線性系統(tǒng)的約束下，求解最稀疏的x，即矢量x僅有少量非零數(shù)值。綜上所述，可以表示為如下形式

式中，y是m 維實(shí)矢量；A是m×n維的實(shí)矩陣；x是n 維實(shí)向量。由于0 范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)是非凸問題，因此這里將目標(biāo)函數(shù)松弛為1 范數(shù)求解，這樣式（12）便是凸優(yōu)化問題。為了在式（12）的基礎(chǔ)上提升x 的稀疏度，Candes 等人［36］進(jìn)一步提出加權(quán)l(xiāng)1最小化算法（rewighted l1minimization,RL1），通過加權(quán)懲罰的思想增加解的稀疏度

式中，W是對角矩陣，即W=diag(w1,w2, …,wn)。每次迭代，矩陣W的第i個(gè)對角元素wi按以下形式更新

其中k+1 表示當(dāng)前的迭代次數(shù)；ε表示極小值；xi表示向量x的第i個(gè)元素。

2012年，Prisco 將稀疏恢復(fù)理論和稀疏直線陣列設(shè)計(jì)相結(jié)合，提出了序列凸優(yōu)化算法［37］，講陣元激勵(lì)的1 范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，約束項(xiàng)改為旁瓣電平低于閾值函數(shù)的形式，即表示為式中，θ0代表主瓣峰值對應(yīng)的角度；UB(θ)表示旁瓣區(qū)域上的閾值函數(shù)，用于約束波束方向圖的旁瓣形狀；Z與式（14）的形式一致，表示權(quán)重矩陣，用于提升向量x的稀疏度。Fuchs 則在式（15）的基礎(chǔ)上，分別針對銳波束和賦形波束兩種情況，通過不同的約束條件實(shí)現(xiàn)這兩種波束模式的稀疏陣列設(shè)計(jì)［38］，即可表示為

式中，F(xiàn).B.表示銳波束的約束條件；S.B.表示賦形波束的約束條件。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明不論是筆形波束還是賦形波束，式（16）可設(shè)計(jì)對應(yīng)的稀疏線陣。為提升序列凸優(yōu)化的計(jì)算效率和準(zhǔn)確性，Pinchera 等人提出了一種局部優(yōu)化策略［39］，改進(jìn)式（14）的加權(quán)因子，使得每次迭代后陣列的陣元成簇排布，再用聚類算法解得對應(yīng)的陣元激勵(lì)。同理，基于充氣放氣［40］及陣元選擇［41］的稀疏陣列設(shè)計(jì)方法也被提出，這兩類算法都是序列凸優(yōu)化的改進(jìn)算法，計(jì)算效率得到提升，并可用于陣元數(shù)量大于100的大規(guī)模稀疏線陣設(shè)計(jì)。

與式（15）和（16）所表現(xiàn)的稀疏恢復(fù)的思路不同［38］，Sartori 等人提出基于幾乎差集和凸編程的混合算法［42,43］，該算法分兩步，第一步是利用幾乎差集算法確定陣元位置，第二步便在陣元位置確定的前提下，通過凸優(yōu)化算法獲得陣元的激勵(lì)。除此之外，基于交替凸優(yōu)化策略的設(shè)計(jì)算法［44］也被提出，該算法源自交替優(yōu)化的思想，即每次迭代分別優(yōu)化陣元激勵(lì)和陣元位置，多次迭代后獲得滿足要求的稀疏直線陣列，該算法在優(yōu)化過程中也增加陣元的最小間距約束，從而避免在實(shí)際環(huán)境中產(chǎn)生陣元間的互耦效應(yīng)。

3.4 基于矩陣分解的設(shè)計(jì)算法

在線性代數(shù)中，矩陣分解的目的是提取出矩陣的重要特征，因此許多稀疏線陣的設(shè)計(jì)算法可通過矩陣分解減少陣元數(shù)量，例如矩陣束算法（matrix pencil method, MPM）、濾波對角算法（filter diagonalization method, FDM）等。MPM 算法最早由Sarkar 提出［45］，并由學(xué)者劉顏回等人引入至稀疏直線陣列設(shè)計(jì)領(lǐng)域［46］，即在目標(biāo)波束形狀確定的條件下，使用少于均勻線陣的陣元數(shù)量便可發(fā)射同樣的波束。下面描述MPM 算法用于設(shè)計(jì)稀疏直線陣列的步驟，先對式（2）生成的目標(biāo)波束采樣2N+1個(gè)觀測數(shù)據(jù){y(0),y(2),…,y(2N)}，并使用觀測數(shù)據(jù)構(gòu)造漢克爾矩陣Y

式中，N和L都是超參數(shù)；N需要大于均勻線陣的陣元數(shù)量M；L則需要滿足L∈［M-1, 2N-M］。由于矩陣Y包含了目標(biāo)波束的信息，因此對其作奇異值分解有

式中，U和V都是酉矩陣；∑是由奇異值構(gòu)成的對角矩陣，且∑中前Q個(gè)大的對角元素可被視為重要的奇異值，而Q也可被視為稀疏陣列的陣元數(shù)量，通過文獻(xiàn)［44］的判定條件確定。因此，在通過條件判定陣元數(shù)量Q的前提下，為了獲得稀疏陣列的陣元激勵(lì)和位置，將前Q個(gè)大的對角元素構(gòu)成的對角矩陣∑Q重新帶入式（18）得到低秩矩陣YQ，進(jìn)而對YQ作廣義特征分解

式中，YQ,f表示YQ去掉第一列的矩陣；YQ,l表示YQ去掉最后一列的矩陣；特征值z與陣元位置d則有如下關(guān)系

式中，ln表示自然對數(shù)；Δ表示采樣數(shù)據(jù)序列所對應(yīng)u的間隔。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明MPM 可以用于設(shè)計(jì)發(fā)射銳波束的稀疏陣列［46］，例如對于20 陣元的切比雪夫陣列，MPM 算法僅使用12個(gè)陣元便可產(chǎn)生同樣的波束形狀。不幸的是，MPM 設(shè)計(jì)的非對稱賦形波束存在較大的匹配誤差，原因是在式（20）中，賦形波束所對應(yīng)的廣義特征值|zi|≠1，這時(shí)求解的陣元位置di往往為復(fù)數(shù)，但由于物理意義僅取其實(shí)部，從而造成波束方向圖的誤差。

為了解決這個(gè)問題，學(xué)者劉顏回等人進(jìn)一步［47］提出了前后向矩陣束算法（forward back MPM,FBMPM），將漢克爾矩陣Y改為漢克爾-托普利茲矩陣-Y，即

式中，yi=［y(i),y(i+1), …,y(2N?1)］T。FBMPM 算法的后續(xù)步驟與MPM 算法的一致。文獻(xiàn)［47］指出矩陣-Y相當(dāng)于對z的極坐標(biāo)增加了約束［47］，使其在極坐標(biāo)上貼近單位圓，從而解決了賦形波束誤差較大的問題。

繼MPM 算法和FBMPM 算法之后，出現(xiàn)一些針對實(shí)時(shí)性的改進(jìn)算法。2016年，Shen等人提出一種酉矩陣束算法（unitary transform MPM,UMPM）［48,49］，通過酉變換將低秩矩陣Y轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)矩陣，顯著提升了算法的計(jì)算效率。除此之外，基于FDM 的稀疏陣列設(shè)計(jì)算法［50］也被提出，該算法最早被用于核磁共振領(lǐng)域［51-53］，是一種計(jì)算效率較高的頻率估計(jì)算法，實(shí)驗(yàn)表明對于同一類稀疏線陣設(shè)計(jì)問題，F(xiàn)DM 與MPM［46］相比所需的時(shí)間更少。

3.5 基于壓縮感知的設(shè)計(jì)算法

壓縮感知（compressed sensing,CS）［54-56］是一種尋找欠定線性系統(tǒng)的稀疏解的技術(shù)，其數(shù)學(xué)模型與式（12）一致，但與3.3節(jié)中稀疏恢復(fù)理論不同的是，此處的約束形式為稀疏陣列的波束方向圖與目標(biāo)方向圖之間的均方誤差。綜上所述，基于壓縮感知的稀疏陣列優(yōu)化模型［57,58］可表示為

式中，F(xiàn)REF是m維矢量，表示目標(biāo)方向圖的采樣數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量，即FREF=［F(u1),F(u2), …,F(um)］；Ф是m×n維觀測矩陣，可被視為圖2 網(wǎng)格構(gòu)造而成的流形矩陣，其第i列流形矢量恰好對應(yīng)于第i個(gè)網(wǎng)格位置di，即其形式為

w為n維權(quán)重矢量，即w=［w1,w2,…,wn］，當(dāng)wi不為0時(shí)說明對應(yīng)的網(wǎng)格位置di上有陣元，當(dāng)wi為0時(shí)說明陣元不在di的位置上。對于式（22）的優(yōu)化模型，傳統(tǒng)的CS 算法及稀疏約束優(yōu)化算法（sparseness constrained optimization, SpaCO）［57,58］均可設(shè)計(jì)出符合要求的稀疏直線陣列，實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明當(dāng)目標(biāo)波束是由20陣元的切比雪夫陣列產(chǎn)生時(shí)，CS 和SpaCO 算法僅用13個(gè)陣元便可產(chǎn)生同樣的波束。

除此之外，與傳統(tǒng)的CS 算法不同，貝葉斯壓縮感知（Bayesian CS,BCS）［59,60］是一種基于最大化后驗(yàn)概率的算法，該算法是貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)［61-63］的延伸。詳細(xì)的說，對于一個(gè)線性系統(tǒng)g=Фw+n，假設(shè)n是服從高斯分布的噪聲矢量，w是確定性的信號，因此觀測數(shù)據(jù)g也服從高斯分布。貝葉斯模型說明可通過觀測數(shù)據(jù)g推斷出權(quán)重矢量w對應(yīng)分布的參數(shù)，即可表示為

式中ɑ是超參數(shù)，代表w對應(yīng)的方差；σ表示噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。對于式（24），BCS 算法可以迭代求解權(quán)重w的分布函數(shù)所對應(yīng)的均值和協(xié)方差矩陣，并借助快速相關(guān)向量機(jī)［64］算法提升計(jì)算效率，實(shí)驗(yàn)表明BCS算法獲得的權(quán)向量往往是極度稀疏的，因此為其用于稀疏直線陣列設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。為了可以進(jìn)一步提升算法性能，文獻(xiàn)［65］則在BCS的基礎(chǔ)上將其與多任務(wù)學(xué)習(xí)相結(jié)合，提出了多任務(wù)貝葉斯壓縮感知（multitask BCS,MTBCS）算法，其把多個(gè)線性系統(tǒng)放在一起同時(shí)學(xué)習(xí)從而獲得稀疏度更高的權(quán)向量。

2012年，Oliver 等人首次［66-69］將BCS 用于設(shè)計(jì)稀疏陣列，但由于BCS 算法解決的是實(shí)數(shù)問題，而稀疏直線陣列的模型是復(fù)數(shù)域模型，因此將其轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)表示形式，如下式所示

式中，? 代表取實(shí)部；?代表取虛部。從仿真結(jié)果可知，BCS 算法可以設(shè)計(jì)發(fā)射銳波束的稀疏陣列，但在賦形波束上，無法減少陣列的陣元數(shù)量，例如對于16陣元的余割平方波束陣列［70］，BCS算法設(shè)計(jì)的稀疏陣列需要22個(gè)陣元才能發(fā)射同樣的波束，然而MTBCS算法［66］可以設(shè)計(jì)非對稱賦形波束的稀疏線陣，對于同樣的16 陣元余割平方波束，MTBCS 算法僅使用12個(gè)陣元即可合成此余割波束。2016年，文獻(xiàn)［71］進(jìn)一步完善了MTBCS 算法的工作，分析算法的超參數(shù)對匹配誤差和稀疏度的影響，并確定合適的參數(shù)數(shù)值設(shè)置范圍。

然而，根據(jù)式（22）和式（25）可以看出不論傳統(tǒng)CS 算法還是BCS 算法，稀疏陣列的優(yōu)化模型均需要構(gòu)造虛擬網(wǎng)格的流形矩陣Ф，因此設(shè)計(jì)效果受到網(wǎng)格間距影響，即如果網(wǎng)格間距不夠大，真實(shí)的陣元位置恰好落在網(wǎng)格中間，而算法獲得的陣元只能在網(wǎng)格上，這樣便造成陣元位置的誤差，如果n足夠大，精度和稀疏度有所提升，然而會造成觀測矩陣Ф的維度增加，從而導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度顯著增加。該問題也被稱作網(wǎng)格失配問題。為了緩解網(wǎng)格失配的影響，文獻(xiàn)［72］提出了一種離網(wǎng)格貝葉斯壓縮感知算法（off-grid BCS, OGBCS），該算法在BCS 算法的基礎(chǔ)上使用均勻分布作為網(wǎng)格誤差的分布函數(shù)，并迭代估計(jì)該分布函數(shù)的參數(shù)，提升重構(gòu)方向圖的匹配精度，但陣元數(shù)量仍無法進(jìn)一步減少。除此之外，后續(xù)也提出了連續(xù)壓縮感知算法［73］以及前向預(yù)測正交匹配追蹤算法［74］，連續(xù)壓縮感知算法將陣元位置作為連續(xù)域的參數(shù)，并將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)半正定規(guī)劃問題，最終通過凸優(yōu)化獲得陣元位置；前向預(yù)測正交匹配追蹤算法則從貪婪算法的角度解決式（22）的優(yōu)化問題，提升計(jì)算效率。

4 典型算法仿真分析

為了能夠詳細(xì)對比上述五類算法的優(yōu)缺點(diǎn)，本章分別針對最小峰值旁瓣電平及方向圖重構(gòu)這兩個(gè)優(yōu)化模型，采用典型算法進(jìn)行仿真分析。由于圖1 表示這五類算法分別針對不同的優(yōu)化模型，因此4.1 節(jié)對比針對最小峰值旁瓣電平優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)算法，并將波束方向圖的PSLL 作為算法的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。4.2 節(jié)則仿真對比針對方向圖重構(gòu)優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)算法，并將波束方向圖與目標(biāo)方向圖之間的均方誤差（mean square error, MSE）作為算法評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，用符號ξ 表示

式中，F(xiàn)(θ)為稀疏線陣產(chǎn)生的波束方向圖；FREF(θ)表示目標(biāo)波束方向圖。仿真平臺如下：Inter(R)Core(TM) i7-6700HQ，16GB 內(nèi) 存，MatlabR2018b版本。

4.1 低旁瓣稀疏線陣設(shè)計(jì)算法分析

本節(jié)針對低旁瓣稀疏線陣優(yōu)化模型，分別對僅優(yōu)化位置及位置-激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的算法進(jìn)行對比分析，且這兩類實(shí)驗(yàn)均在陣列孔徑為9.744λ 且陣元數(shù)量為17 條件下進(jìn)行。對于僅優(yōu)化位置的仿真實(shí)驗(yàn)，我們選擇MGA［2］、IPSO［13］、SaDE［15］、MDE［16］和IBA［17］這五個(gè)算法被用于對比分析。各算法對應(yīng)的波束方向圖如圖5 所示，且性能結(jié)果如表1 所示。

圖5 等幅激勵(lì)的波束方向圖

對于位置-激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的仿真實(shí)驗(yàn)，我們對比文獻(xiàn)［23］中的IGA、IGA-PSO及IGA-edPSO 這三個(gè)算法的仿真結(jié)果，圖6給出了對應(yīng)的波束方向圖，表2給出了詳細(xì)地性能參數(shù)結(jié)果。

圖6 位置?激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的波束方向圖

表2 位置?激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的稀疏直線陣列性能參數(shù)

由上述的仿真結(jié)果可見：

（1）對于僅優(yōu)化陣元位置的仿真實(shí)驗(yàn)，MDEA 算法設(shè)計(jì)的稀疏直線陣列性能最好，其波束方向圖的PSLL 為-19.90dB。在位置-激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的設(shè)計(jì)算法中，IGA-edPSO 算法設(shè)計(jì)的稀疏直線陣列性能最好，其波束方向圖的PSLL為-25.46dB。

（2）根據(jù)表1 和表2 的結(jié)果，位置-激勵(lì)聯(lián)合優(yōu)化的算法性能均比僅優(yōu)化位置的算法性能好，波束方向圖的PSLL至少低4.83dB，具備更強(qiáng)的抗干擾能力。

（3）各稀疏直線陣列的陣元間距大于半波長，因此從理論上避免陣元間的互耦效應(yīng)的影響，因此具備實(shí)用性。

4.2 方向圖重構(gòu)的稀疏線陣設(shè)計(jì)算法分析

在本節(jié)我們針對方向圖重構(gòu)的優(yōu)化模型，將對稱的銳波束和非對稱的賦形波束作為目標(biāo)波束進(jìn)行仿真分析。我們首先考慮目標(biāo)波束為銳波束的情況，即選擇20 陣元的Chebychev 波束作為目標(biāo)波束，且其PSLL 為-30dB。之 后 我 們 采 用FDM［50］、MPM［46］、BCS［66］和SpaCO［57］這四個(gè)算法做仿真對比。這四個(gè)算法設(shè)計(jì)的稀疏直線陣列對應(yīng)的波束方向圖如圖7所示。表3給出這四個(gè)算法的性能結(jié)果。

圖7 原始與重構(gòu)的Chebyshev波束對比圖

表3 Chebyshev稀疏直線陣列性能參數(shù)

由圖7和表3可見：

（1）四個(gè)算法設(shè)計(jì)的稀釋直線陣列所需要的陣元數(shù)量均少于目標(biāo)均勻直線陣列的陣元數(shù)量，即至少減少30%的陣元數(shù)量，并且方向圖的誤差數(shù)量級均在10-2以下，說明均實(shí)現(xiàn)Chebychev稀疏直線陣列設(shè)計(jì)。

（2）MPM 算法所需的陣元數(shù)量最少，并且匹配誤差最低，性能優(yōu)于其他三個(gè)算法。

（3）根據(jù)表3 中的陣元間距參數(shù)，BCS 算法的陣元間距小于半波長，其設(shè)計(jì)的稀疏直線陣列在實(shí)際環(huán)境中會存在互耦效應(yīng)，從而影響波束方向圖的性能。

對于非對稱的賦形波束實(shí)驗(yàn)，我們選擇文獻(xiàn)［75］中30個(gè)陣元的均勻直線陣產(chǎn)生的余割平方方向圖作為目標(biāo)波束，并對比MPM［46］、BCS［66］、UMPM［49］及FBMPM［47］這四個(gè)算法的仿真結(jié)果。圖8 給出了各算法仿真的波束方向圖，表4 則列出了算法的性能結(jié)果。

圖8 原始與重構(gòu)的余割平方波束對比圖

表4 余割平方稀疏直線陣列性能參數(shù)

由圖8和表4可以得出結(jié)論：

（1）四種設(shè)計(jì)算法中，BCS 算法需要的陣元數(shù)量明顯多于均勻線陣的陣元數(shù)量，因此其無法設(shè)計(jì)發(fā)射余割平方波束的稀疏線陣。其他三個(gè)算法使用22個(gè)陣元即可合成誤差低于10-1的余割平方波束。

（2）當(dāng)陣元數(shù)量均為22 的情況下，UMPM 算法設(shè)計(jì)的稀疏陣列的匹配誤差最小，從圖8 中也可看出UMPM 算法重構(gòu)的余割平方波束更接近目標(biāo)波束的形狀，性能更好。

5 展望

經(jīng)過30年的發(fā)展，稀疏直線陣設(shè)計(jì)算法已經(jīng)取得了輝煌的成果，然而實(shí)際應(yīng)用需求使得廣大學(xué)者將研究重心從對算法性能的無限追求轉(zhuǎn)到把算法落實(shí)在工程應(yīng)用中，因此如何在復(fù)雜環(huán)境中準(zhǔn)確排布稀疏直線陣列仍是目前亟待解決的一大難題。

本文首先介紹兩類優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并回顧了五類經(jīng)典算法的發(fā)展歷史及最新進(jìn)展，進(jìn)而綜述了算法的原理和優(yōu)缺點(diǎn)?；谏鲜鰞?nèi)容，在稀疏線陣設(shè)計(jì)領(lǐng)域仍有以下三方面問題值得學(xué)者們進(jìn)行深入研究：

（1）陣元在實(shí)際環(huán)境中的排布位置與理論值往往會存在一定的偏差，陣元位置的偏差會造成波束方向圖產(chǎn)生誤差，從而影響陣列的性能。陣元數(shù)量越多，這種偏差會進(jìn)一步累積。因此，對于實(shí)際陣列結(jié)構(gòu)的誤差分析及減少誤差的影響是稀疏直線陣列設(shè)計(jì)領(lǐng)域亟待攻克的難題。

（2）現(xiàn)有大部分算法都是針對陣元數(shù)量較少的情況，然而面對陣元數(shù)量大于100 的大規(guī)模稀疏直線陣列，算法的計(jì)算復(fù)雜度較高，因此稀疏直線陣列的快速高精度設(shè)計(jì)也是一個(gè)需要解決的問題。

（3）基于壓縮感知的設(shè)計(jì)算法表現(xiàn)出許多優(yōu)良性質(zhì)，例如高匹配精度，但是其自身存在網(wǎng)格失配問題限制了算法在稀疏度上的性能，如何有效地解決這個(gè)問題是一個(gè)需要突破的方向。