于 瓊，田 憲

(1.西北工業(yè)大學(xué)保密處,陜西 西安 710072；2.西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,陜西 西安 710071)

1 引言

時(shí)間序列預(yù)測(cè)作為一種重要的手段對(duì)揭示事物發(fā)展變化具有重要意義，如在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和生活中有廣泛應(yīng)用的證券市場(chǎng)預(yù)測(cè)、智能交通預(yù)測(cè)和氣候氣象狀態(tài)預(yù)測(cè)等[1-3]?，F(xiàn)實(shí)中復(fù)雜系統(tǒng)隱含的時(shí)間序列多為在特征上能夠既包含確定成分又表現(xiàn)出隨機(jī)性的非平穩(wěn)性和非線性的時(shí)間序列[4]。傳統(tǒng)非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型的研究工作主要集中在依靠回歸技術(shù)進(jìn)行參數(shù)建模[5 - 8]，由于需要基于先驗(yàn)知識(shí)假設(shè)構(gòu)造相對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)模型，訓(xùn)練模型時(shí)對(duì)原始序列信息的挖掘不充分導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度并不理想。近年來(lái)，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)構(gòu)建的模型克服了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法中假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格的缺點(diǎn)，被大量運(yùn)用到非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)領(lǐng)域。如在處理大數(shù)據(jù)量的復(fù)雜系統(tǒng)中求解迅速的最小二乘支持向量機(jī)LS-SVM(Least Squares Support Vector Machine)[9]與傳統(tǒng)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，具有可求全局最優(yōu)解的優(yōu)勢(shì)并具備良好的泛化能力，且衍生出了不同形式的組合模型。文獻(xiàn)[10]構(gòu)建了蜂群算法與支持向量回歸算法相結(jié)合的組合預(yù)測(cè)模型，并驗(yàn)證了該模型在滑坡位移預(yù)測(cè)中有更高的精度。然而，在面對(duì)高復(fù)雜系統(tǒng)的時(shí)間序列特征提取時(shí)，SVM方法由于對(duì)信息挖掘不到位仍然難以充分提取原始序列所蘊(yùn)含的波動(dòng)模式。

為解決上述問(wèn)題，本文首先利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD(Empirical Model Decomposition)算法對(duì)原始序列進(jìn)行降噪分解，該算法在處理和分辨非線性非平穩(wěn)時(shí)序時(shí)比小波分解方法有更強(qiáng)的局部表現(xiàn)能力[11]。在應(yīng)用EMD對(duì)非線性時(shí)間序列進(jìn)行處理方面，文獻(xiàn)[12]選取分解后的T個(gè)本征模態(tài)函數(shù)IMF(Intrinsic Mode Function)作為快速震蕩部分，將剩余的N-T個(gè)IMF和余量(Residue)合并作為趨勢(shì)部分，然后使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別對(duì)T個(gè)震蕩部分和合并后的趨勢(shì)部分建模，建模前雖然對(duì)代表趨勢(shì)的N-T個(gè)IMF進(jìn)行了合并，但對(duì)T的選取是憑借經(jīng)驗(yàn)而未給出具體的方法，其中N表示IMF個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)[13]也對(duì)經(jīng)過(guò)EMD分解后的IMF進(jìn)行分類，將所有IMF歸為一類選用支持向量回歸算法建模，余量rn單獨(dú)歸為一類使用自回歸模型建模，由于對(duì)所有的IMF均使用了支持向量回歸建模，預(yù)測(cè)結(jié)果有待進(jìn)一步優(yōu)化。

由上述分析可知，在使用EMD對(duì)時(shí)間序列分解后，會(huì)生成多個(gè)IMF，若直接對(duì)每個(gè)IMF進(jìn)行建模，最終整個(gè)模型會(huì)很龐大，導(dǎo)致算法復(fù)雜度高且效率明顯下降。因此，本文嘗試引入赫斯特指數(shù)H(Hurst exponent)對(duì)時(shí)間序列的偏移程度進(jìn)行有效度量，提出了基于H重構(gòu)的組合模型的非線性時(shí)間預(yù)測(cè)算法。對(duì)重構(gòu)后的分量構(gòu)建最小二乘支持向量回歸與自回歸積分滑動(dòng)平均組合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。優(yōu)化的組合模型通過(guò)對(duì)IMF的重構(gòu)，減少了預(yù)測(cè)所需要的模型數(shù)目，建模的效率得到了大幅提升。

2 基于赫斯特指數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型

2.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

直接訓(xùn)練預(yù)測(cè)模型，不能充分利用原始序列的隱含信息?？紤]到復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)間序列非線性、非平穩(wěn)且蘊(yùn)含確定性成分，故選用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD自適應(yīng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)分析算法對(duì)原始序列進(jìn)行處理。EMD算法依據(jù)信號(hào)的局部時(shí)變特征將其分解為一組具有不同特征的子序列，即本征模態(tài)函數(shù)IMF。IMF必須滿足2個(gè)條件：在子序列中極值點(diǎn)與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或差值為1；在子序列中局部極小值包絡(luò)線與局部極大值包絡(luò)線需關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱，即均值為0。這2個(gè)條件使IMF能夠代表信號(hào)不同頻率的波動(dòng)或趨勢(shì)，相對(duì)于其他時(shí)頻分析方法，可以防止由于依賴基函數(shù)帶來(lái)的先驗(yàn)假設(shè)誤差，效果有待驗(yàn)證。

原始序列通過(guò)圖1所示流程，在EMD算法的逐步迭代循環(huán)求解過(guò)程中得到了平穩(wěn)化處理，初始IMF的頻率比較高，隨著不斷分解，后續(xù)IMF的頻率逐漸被削弱，最終提取到原始時(shí)間序列特定局部特征且相互之間不存在信息耦合，圖1中ci(t)為分解后的第i個(gè)IMF，rn(t)為分解n次以后的余量。

Figure 1 Empirical mode decomposition process of original sequence圖1 原始序列經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解流程

2.2 重標(biāo)極差分析法

為了減少模型輸入量，在進(jìn)行子序列預(yù)測(cè)之前，需要對(duì)提取到的原始序列特征加以處理。綜合考慮后，本文選用重標(biāo)極差分析法R/S Analysis(Rescale Range Analysis)來(lái)降低模型復(fù)雜度。R/S分析法是一種非參數(shù)分析方法，不要求提前假設(shè)分布形態(tài)，利用其基本原理容易得出自然系統(tǒng)有偏的隨機(jī)游走的波動(dòng)規(guī)律[14]，能夠較好地克服聚類等算法的固有缺陷，在解決區(qū)分時(shí)間序列的游走程度方面優(yōu)勢(shì)明顯。為此，以時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差除極差定義了非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量赫斯特指數(shù)H，算法步驟如下所示：

設(shè)一時(shí)間序列為X={x1,x2,…,xn}，將序列X劃為A個(gè)長(zhǎng)度為k的等長(zhǎng)子區(qū)間Ai(i=1,2,…,A)，n=A·k。

(1)對(duì)每個(gè)長(zhǎng)度為k的子區(qū)間Ai={xi1,xi2,…,xik}求其算術(shù)平均值,如式(1)所示：

xim=(xi1+xi2+…+xik)/k

(1)

進(jìn)一步得到子區(qū)間Ai標(biāo)準(zhǔn)差如式(2)所示：

(2)

(2)對(duì)子區(qū)間Ai，記第j個(gè)元素的累積離差序列Xr,A={x1,A,x2,A,…,xk,A},如式(3)所示：

(3)

其中,j=1,2,…,k，得到區(qū)間內(nèi)極差如式(4)所示：

Rk=max(Xr,A)-min(Xr,A)

(4)

(3)計(jì)算A個(gè)區(qū)間的重標(biāo)極差平均值Rn/Sn,如式(5)所示：

(5)

其中,n為序列總長(zhǎng)度，不同分段方法對(duì)應(yīng)的Rn/Sn不同。

(4)根據(jù)研究，Hurst建立的關(guān)系如式(6)所示：

Rn/Sn=c×nH

(6)

其中,H為定義的赫斯特指數(shù)，c為常數(shù)。通過(guò)對(duì)式(6)取對(duì)數(shù)，用最小二乘法作回歸，得到赫斯特指數(shù)的估計(jì)值，即為擬合直線的斜率。

引入未來(lái)增量與過(guò)去增量的長(zhǎng)程相關(guān)函數(shù)如式(7)所示：

22H-1-1

(7)

其中,E{[X(0)-X(-t)][X(t)-X(0)]}表示0時(shí)刻，在過(guò)去增量分布中含有未來(lái)增量的概率。

根據(jù)式(7)可分析得出，當(dāng)H的值越接近1/2時(shí)，函數(shù)表達(dá)式的值越接近0，表明時(shí)間序列過(guò)去波動(dòng)與未來(lái)越不相關(guān)，若H=1/2，則說(shuō)明序列過(guò)去和未來(lái)不存在相關(guān)性，即該時(shí)序是一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，可將其舍棄；而當(dāng)H越接近于1，函數(shù)表達(dá)式的值也就越接近于1，表明時(shí)間序列過(guò)去波動(dòng)與未來(lái)越相關(guān)。進(jìn)而，取值在0～1的時(shí)間序列赫斯特指數(shù)以1/2為界可分為2個(gè)特征區(qū)間，當(dāng)0

2.3 構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型

由EMD算法可知，所有IMF都必須符合代表傳統(tǒng)的窄帶信號(hào)特征和序列內(nèi)在振動(dòng)方式局部尺度的2個(gè)條件[16]，進(jìn)而提取出原序列的特定波動(dòng)的模式，得到不同的IMF。為了在充分利用這些原始時(shí)間序列特征的基礎(chǔ)上優(yōu)化預(yù)測(cè)效率，模型引入赫斯特指數(shù)對(duì)IMF進(jìn)行重構(gòu)，整合后的IMF按其特征能夠分為非線性和線性部分，為后續(xù)選擇恰當(dāng)?shù)乃惴?gòu)建組合預(yù)測(cè)模型帶來(lái)了極大的便利。

最小二乘支持向量回歸LS-SVR(Least Squares Support Vector Regression)將LS-SVM的思想引入回歸函數(shù)估計(jì)中來(lái)解決回歸問(wèn)題。與LS-SVM類似，LS-SVR用誤差平方和取代了SVM中的不敏感損失函數(shù)且將原始序列在低維空間進(jìn)行的非線性回歸轉(zhuǎn)化為在高維特征空間進(jìn)行的線性回歸，降低了運(yùn)算難度。文獻(xiàn)[17]中的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，當(dāng)樣本數(shù)量較少時(shí)，采用LS-SVR建模仍然能保持很高的精度。本文利用LS-SVR在解決非線性時(shí)間序列復(fù)雜度方面能夠很好地逼近任意高、中頻時(shí)序分量的優(yōu)勢(shì)，對(duì)重構(gòu)得到的高頻和中頻部分構(gòu)建LS-SVR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。在建模過(guò)程中，LS-SVR的參數(shù)可以通過(guò)交叉實(shí)驗(yàn)優(yōu)化搜索得出，相比于其他基于核學(xué)習(xí)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，克服了預(yù)測(cè)結(jié)果趨近于局部極小值或過(guò)擬合的問(wèn)題，能夠?qū)崿F(xiàn)高、中頻分量全局最優(yōu)。

而差分自回歸移動(dòng)平均ARIMA(AutoRegressive Integrated Moving Average)模型[18]通過(guò)“混合”自回歸與滑動(dòng)平均，能夠很好地逼近任意低頻趨勢(shì)分量，針對(duì)低頻非平穩(wěn)部分建模，能夠?qū)崿F(xiàn)較好的擬合。本文構(gòu)建的組合預(yù)測(cè)模型綜合以上算法優(yōu)點(diǎn)，建模過(guò)程如圖2所示，本文算法流程如下：

(1)提取序列特征。使用EMD將原始時(shí)間序列X(t)分解為n個(gè)IMF和1個(gè)rn。

(2)求解赫斯特指數(shù)。按照R/S分析法分別計(jì)算n個(gè)IMF和rn的赫斯特指數(shù)。

(3)重構(gòu)各IMF。根據(jù)赫斯特指數(shù)的含義，忽略H取值為0.5的分量，對(duì)其他分量進(jìn)行重構(gòu)，若H小于0.5,表明序列存在較強(qiáng)的震蕩突變型,則重構(gòu)為高頻分量;若H大于0.5且小于0.9,表明序列存在較強(qiáng)的趨勢(shì)性,則重構(gòu)為中頻分量;剩余H大于0.9的分量由于具有較高的平滑度,則重構(gòu)為低頻分量。

(4)構(gòu)建模型。使用LS-SVR對(duì)高、中頻非線性分量建模，用ARIMA對(duì)低頻非平穩(wěn)分量建模，確定各模型的參數(shù)然后分別進(jìn)行預(yù)測(cè)。

The trajectory parameter equation in the XOY system is in the following

(5)組合預(yù)測(cè)結(jié)果。采用加權(quán)均值形式將各分量的單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行融合，本文采用差分進(jìn)化DE(Differential Evolution)算法從整體解空間中搜索最優(yōu)的組合權(quán)重與各模型的解集成，最終得到預(yù)測(cè)結(jié)果X(t+p)。

Figure 2 Modeling process of combined model based on HURST-EMD圖2 基于HURST-EMD的組合模型建模流程

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 樣本數(shù)據(jù)說(shuō)明

實(shí)驗(yàn)選取1990年12月20日～2016年3月28日的上證指數(shù)每日開盤數(shù)據(jù)，共計(jì)6 180條樣本作為研究對(duì)象。其中，前5 580條數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后600條數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。股票市場(chǎng)具有較強(qiáng)的波動(dòng)性，對(duì)股票價(jià)格預(yù)測(cè)的研究在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中具有代表性。同時(shí)為證明算法的有效性，本文選取阿里云提供的2016年9月19日～2016年10月17日的某路段交通流數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，交通流的采集周期為20 min，共計(jì)2 084條。前3周1 580條數(shù)據(jù)用來(lái)訓(xùn)練，最后1周504條數(shù)據(jù)用來(lái)測(cè)試。

使用Matlab R2015A對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，上證指數(shù)開盤數(shù)據(jù)及交通流數(shù)據(jù)原始序列如圖3所示。

Figure 3 Original time series of Shanghai index opening price and traffic flow圖3 上證指數(shù)開盤價(jià)和交通流原始時(shí)間序列

由圖3明顯可以看出，2個(gè)時(shí)間序列整體上雖具有一定的趨勢(shì)性，但沒有明顯的規(guī)律可循，且在短期時(shí)間段內(nèi)又呈現(xiàn)出較大的振蕩和波動(dòng)，即序列是非線性、非平穩(wěn)的。此外，交通流時(shí)間序列還表現(xiàn)出明顯的周期性。

3.2 輸入模型的訓(xùn)練

采用EMD算法分別對(duì)上述2個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分解，分解后的結(jié)果如圖4所示。

Figure 4 Decomposition results of Shanghai index opening price and traffic flow by EMD圖4 上證指數(shù)開盤價(jià)和交通流的EMD分解結(jié)果

圖4中上證指數(shù)被分解為10個(gè)本征模態(tài)函數(shù)和1個(gè)余量，交通流序列被分解為9個(gè)本征模態(tài)函數(shù)和1個(gè)余量。經(jīng)過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解后，數(shù)據(jù)波動(dòng)具有直觀性，各分量最大程度地反映了原始時(shí)間序列的特征，且相互之間不同信息的耦合減弱了。

使用赫斯特指數(shù)對(duì)分解后的IMF進(jìn)行重構(gòu)是構(gòu)造本文改進(jìn)的HURST-EMD模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，依次計(jì)算各個(gè)IMF和rn的赫斯特指數(shù)，求得的結(jié)果如圖5所示，其中橫軸表示分解出的各個(gè)IMF及1個(gè)余量。

Figure 5 Hurst exponent of IMF and residue圖5 上證指數(shù)及交通流各IMF及余量的赫斯特指數(shù)

Figure 6 Reconstruction of Shanghai index opening price and traffic flow圖6 上證指數(shù)及交通流的重構(gòu)

引入赫斯特指數(shù)重構(gòu)后，上證指數(shù)及交通流時(shí)間序列中具有相似波動(dòng)模式的IMF分別被整合為3組分量，即劇烈震蕩的高頻部分，有一定震蕩但頻率較小的中頻部分以及趨勢(shì)相對(duì)平滑的低頻部分，減少了預(yù)測(cè)需要建立的模型數(shù)量，提高了預(yù)測(cè)效率，降低了整個(gè)預(yù)測(cè)過(guò)程所需要的時(shí)間。

采用LIBSVM工具包里的默認(rèn)LS-SVR模型對(duì)高頻分量和中頻分量進(jìn)行預(yù)測(cè)，使用Matlab自帶工具箱econ中ARIMA模型對(duì)低頻分量進(jìn)行預(yù)測(cè)，最終預(yù)測(cè)結(jié)果為3個(gè)分量的集成。作為對(duì)比，本文分別實(shí)現(xiàn)了未經(jīng)過(guò)EMD分解的LS-SVR模型和文獻(xiàn)[13]中的傳統(tǒng)EMD預(yù)測(cè)模型，在傳統(tǒng)EMD預(yù)測(cè)模型中將所有IMF作為震蕩部分采用LS-SVR進(jìn)行預(yù)測(cè)，而余量作為趨勢(shì)部分采用ARIMA進(jìn)行預(yù)測(cè)。各模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比如圖7～圖9所示。

Figure 7 Prediction results of Shanghai index opening price and traffic flow by HURST-EMD model圖7 HURST-EMD模型對(duì)上證指數(shù)及交通流預(yù)測(cè)結(jié)果

Figure 8 Prediction results of Shanghai index opening price and traffic flow by EMD model圖8 EMD模型對(duì)上證指數(shù)及交通流預(yù)測(cè)結(jié)果

Figure 9 Prediction results of Shanghai index opening price and traffic flow by LS-SVR model圖9 LS-SVR模型對(duì)上證指數(shù)及交通流預(yù)測(cè)結(jié)果

3.3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行量化評(píng)估，本文選用均等系數(shù)EC、平均絕對(duì)誤差MAE和均方根誤差RMSE3種評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中，EC用來(lái)表示預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合度，值越大說(shuō)明擬合度越高；MAE主要衡量預(yù)測(cè)誤差的離散程度，值越小說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果越好；RMSE主要衡量預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的偏差，值越小說(shuō)明偏差越小。其定義分別如式(8)～式(10)所示：

(8)

(9)

(10)

3種預(yù)測(cè)模型在2個(gè)數(shù)據(jù)集上預(yù)測(cè)性能的比較如表1所示。

Table 1 Prediction performance comparison of three models on two datasets

3.4 其他公共數(shù)據(jù)集上的測(cè)試結(jié)果

為了進(jìn)一步說(shuō)明模型的穩(wěn)定性及有效性，本文在2004年意大利某市公路氧化鎢含量的前5 500條數(shù)據(jù)及1848年～2015年的2 000條月平均太陽(yáng)黑子數(shù)2個(gè)公共數(shù)據(jù)集上分別采用上述3種模型預(yù)測(cè)，基于組合模型的HURST-EMD預(yù)測(cè)的結(jié)果如圖10所示，3種模型預(yù)測(cè)性能的比較如表2所示。

3.5 結(jié)果分析

觀察圖7可以看出，HURST-EMD模型除在上證指數(shù)數(shù)據(jù)集上具有較高的預(yù)測(cè)精度外，也能夠應(yīng)用于交通流數(shù)據(jù)等周期性波動(dòng)的非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)，并且預(yù)測(cè)結(jié)果的穩(wěn)定性和擬合度都比較好，說(shuō)明本文提出的HURST-EMD模型在更多非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)方面有一定的有效性和適用性。

對(duì)比圖7a、圖8a和圖9a中各模型的預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出，在對(duì)上證指數(shù)的預(yù)測(cè)中，HURST-EMD模型和傳統(tǒng)EMD模型的大部分預(yù)測(cè)值與實(shí)際值擬合度較好，而在震蕩劇烈的部分，LS-SVR模型預(yù)值測(cè)有較明顯的誤差，表現(xiàn)稍遜于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解處理后的組合預(yù)測(cè)方法。該結(jié)論在周期性變化的交通數(shù)據(jù)流預(yù)測(cè)上表現(xiàn)得更加明顯。比對(duì)圖7b、圖8a和圖9b可以看出，在每個(gè)周期的劇烈波動(dòng)部分，LS-SVR模型預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值有更加顯著的偏差。此外，通過(guò)預(yù)測(cè)結(jié)果圖的對(duì)比還能夠看出，在對(duì)交通流的預(yù)測(cè)上，HURST-EMD模型的預(yù)測(cè)略微優(yōu)于傳統(tǒng)EMD模型的。

對(duì)比表1中各量化指標(biāo)的評(píng)估結(jié)果，在上證指數(shù)數(shù)據(jù)集上，各預(yù)測(cè)模型的EC值均高于98%，說(shuō)明3種模型均具有較高擬合度，但比較平均絕對(duì)誤差和均方根誤差的數(shù)值，HURST-EMD模型相對(duì)其他2種模型均有所降低，說(shuō)明采用HURST-EMD模型預(yù)測(cè)時(shí)離散程度低且偏差小，預(yù)測(cè)效果最好。對(duì)比各模型在真實(shí)交通流數(shù)據(jù)集上的預(yù)測(cè)量化指標(biāo)，LS-SVR和EMD各指標(biāo)相近且略遜于HURST-EMD模型，更加說(shuō)明了HURST-EMD模型在非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)上具有更好的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

由圖10呈現(xiàn)出的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比及表2的各項(xiàng)指標(biāo)比較結(jié)果可以看出，優(yōu)化的HURST-EMD模型在幾個(gè)數(shù)據(jù)集上的預(yù)測(cè)精度都較高，并且具有較好的穩(wěn)定性和擬合度。

進(jìn)一步對(duì)各模型在上證指數(shù)集上的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行殘差分析，結(jié)果如圖11所示。很明顯地可以看出，在400～500 d的數(shù)據(jù)點(diǎn)上，LS-SVR模型的殘差最大，而HURST-EMD模型的殘差較小，更加表明了該模型優(yōu)異的預(yù)測(cè)效果。

Figure 11 Residual analysis of three prediction models on Shanghai index opening price圖11 3種預(yù)測(cè)模型在上證指數(shù)集上預(yù)測(cè)結(jié)果的殘差分析

4 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解理論對(duì)非線性時(shí)間序列進(jìn)行分解，提出了以赫斯特指數(shù)為依據(jù)將各個(gè)本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)的方法。結(jié)合重構(gòu)后各分量表現(xiàn)出的特性和不同算法的優(yōu)勢(shì)，挑選出對(duì)應(yīng)的非線性和線性預(yù)測(cè)模型進(jìn)行建模，最后組合各模型得到最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。主要的創(chuàng)新和成果體現(xiàn)在：(1)采用2組樣本進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過(guò)比較預(yù)測(cè)值與真實(shí)值，驗(yàn)證了優(yōu)化的HURST-EMD組合模型的有效性和適用性。(2)引入赫斯特指數(shù)對(duì)分解得到的各個(gè)IMF進(jìn)行整合和重構(gòu)，縮短了建立模型的時(shí)間，提高了利用EMD進(jìn)行非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)的效率。(3)將優(yōu)化的HURST-EMD組合模型與傳統(tǒng)的EMD模型及LS-SVR模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果表明該模型比其他2個(gè)模型預(yù)測(cè)效果更好，能夠獲得更高的預(yù)測(cè)精度。此外，模型對(duì)非線性時(shí)間序列的高、中頻分量波動(dòng)性和非線性特征充分刻畫的同時(shí)能夠更好地逼近任意非平穩(wěn)低頻趨勢(shì)分量，由于重構(gòu)各分量之間區(qū)分度高，克服了其他模型由于過(guò)擬合導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果失真等問(wèn)題，表現(xiàn)出優(yōu)異的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，為進(jìn)一步研究非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題提供了參考依據(jù)。