劉遠紅, 劉 帆, 李 鑫

(1. 東北石油大學 電氣信息工程學院, 黑龍江 大慶 163318； 2. 大慶鉆探工程公司 鉆井三公司, 黑龍江 大慶 163000)

0 引 言

隨著科學技術的不斷進步, 機械設備逐漸朝著智能化的方向發(fā)展, 對其運行的可靠性要求越來越高。為確保機械設備可靠穩(wěn)定地運行, 必須對關鍵性部件進行狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷。軸承作為機械設備中最為關鍵的部件之一, 其運行可靠性是設備正常、 穩(wěn)定工作的前提, 因此對軸承的故障分析非常必要。

為盡可能地全面反映軸承故障信息, 需要各類傳感器收集大量復雜的高維軸承運行數(shù)據(jù)。高維數(shù)據(jù)不僅增加了計算復雜度, 還造成了維數(shù)災難。因此, 軸承故障診斷方法的核心問題是從高維數(shù)據(jù)中提取出顯著特征[1]。近年來, 許多研究人員投入了大量的精力, 利用流形學習算法提取數(shù)據(jù)的重要特征。流形學習算法[2,3]通過在高維空間中挖掘數(shù)據(jù)集的內在幾何結構, 并在低維空間中對該結構進行保持, 以實現(xiàn)數(shù)據(jù)維度的約簡。一般來說, 流形學習算法大致可分為兩類： 線性算法[4]和非線性算法[5]。經典的線性算法, 如主成分分析(PCA: Principal Components Analysis)[6]、 多維尺度縮放(MDS: Multidimensional Scaling)[7]、 線性判別分析(LDA:Linear Discriminant Analysis)[8]等通過構造高維和低維空間之間的線性函數(shù), 從而可以很容易地將高維樣本的數(shù)據(jù)投影到低維空間。非線性算法如等距特征映射ISOMAP(Isometric Mapping)[9]、 局部切空間排列(LTSA:Local Tangent Space Alignment)[10]和局部線性嵌入(LLE: Locally Linear Embedding)[11]等通過尋找局部結構降低數(shù)據(jù)集的維數(shù)。ISOMAP通過測地線距離測量成對距離, 并在低維空間中保留測地線距離。LTSA通過切空間表示每個鄰域的局部結構。LLE利用局部線性重建權系數(shù)表示局部結構。

然而, 所有這些流形聚類算法都假設特征向量嵌入在歐幾里德空間中, 并使用歐幾里德度量或其變體執(zhí)行聚類。雖然這在某些情況下可能是合適的, 但如果數(shù)據(jù)樣本不在歐幾里德空間上, 由于歐氏距離不能很好地刻畫樣本之間的真實幾何關系, 傳統(tǒng)的降維方法在聚類性能上表現(xiàn)不理想。因此, 在非歐氏空間考慮高維數(shù)據(jù)的特征提取方法顯得更合理。例如, 黎曼流形用于MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)雷達目標檢測[12], 對稱半正定矩陣通常用于擴散張量成像和結構張量分析[13]。

筆者用相空間重構方法構造出對稱正定矩陣(SPD: Symmetric Positive Definite Matrices)形式的樣本點表示, 賦予SPD流形黎曼度量使其成為可微黎曼流形[14]。然而, 由于黎曼流形不是線性向量空間, 所以許多歐氏空間上的特征提取算法不能直接在黎曼流形上實現(xiàn)。為了能在黎曼流形上進行特征提取, 筆者提出了黎曼圖嵌入方法對高維黎曼流形進行初步降維, 再將流形上的所有數(shù)據(jù)點投影到其切線空間, 即歐幾里德空間。在切空間中結合主成分分析(PCA)和線性判別分析(LDA)算法進行識別和分類。

1 相關工作

對稱矩陣空間表示為S1={X∈RN×N,X=XT}, 正定矩陣空間表示為S2={X∈RN×N,vTXv>0, ?v∈RN}, SPD矩陣定義為S=S1∩S2, SPD矩陣位于可微黎曼流形上[14]。因此, 許多黎曼幾何工具可應用于SPD矩陣。兩個SPD矩陣X1、X2之間的黎曼距離是流形上連接其長度最小的曲線。

黎曼距離的計算形式有多種不同的方法, 在本文中, 采用仿射不變黎曼度量(AIRM: Affine Invariant Riemannian Metric)[15]

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對n個N×N階的SPD矩陣所構成的黎曼流形表示為Sn, 對Sn中的任意一點X, 經過X點的所有切向量的集合構成切空間TXM,TXM={logXXi,Xi∈Sn}。切空間中的每個切向量Li均可看成是與其指數(shù)映射之間的測地線在X處的導數(shù)。指數(shù)與對數(shù)映射定義為

logX(Si)=Li=X1/2log(X-1/2SiX-1/2)X1/2

(2)

Exp(Li)=Si=X1/2exp (X-1/2LiX-1/2)X1/2

(3)

其中l(wèi)og(·)、 exp(·)分別為矩陣的對數(shù)、 指數(shù)算子, 這兩個算子是黎曼流形和其切空間之間一一對應的映射算子。

SPD流形的均值在分類中起著重要作用。其被定義為X∈Sn且到流形上的所有數(shù)據(jù)點具有距離平方和最小的點

(4)

1.2 構造軸承樣本的SPD模型

傳統(tǒng)的軸承故障診斷方法主要通過對采集到的一維時域向量信號進行分析, 這種向量模型不能反映數(shù)據(jù)的結構信息從而導致了特征提取算法性能的下降。筆者選用相空間重構方法[16]構造數(shù)據(jù)的SPD模型。

一個系統(tǒng)在某一時間的狀態(tài)稱為相, 決定狀態(tài)的幾何空間稱為相空間。時間序列的相空間重構是將一維的時間序列擴展到三維甚至高維的相空間中, 將時間序列中蘊含的信息充分地顯露出來。筆者選用延時重構法構造SPD模型。延時重構算法通過在一定延遲時間中排列原始信號恢復系統(tǒng)的固有狀態(tài)變量, 這對故障診斷非常有用。延遲相空間重構法有兩個關鍵參數(shù), 即嵌入維d和時間延遲τ。在Takens定理中, 對理想的無限長和無噪聲一維時間序列,d和τ可取任意值, 但現(xiàn)實應用中的時間序列都是有噪聲的有限長序列, 嵌入維數(shù)和時間的選擇有著重要意義, 否則會影響重構相空間質量。關于時間延遲與嵌入維數(shù)的選取方法, 目前主要有兩種觀點: 一是認為兩者是互不相關的, 先求出時間延遲后再求出嵌入維數(shù), 常用的方法有自相關法、 平均位移法和復自相關法等； 另一種觀點認為兩個參數(shù)是相關的, 實際中比較常用的C-C法就屬于此類, 該方法使用關聯(lián)積分同時估計時間延遲τ和嵌入維數(shù)d。筆者采用兩個參數(shù)不相關的觀點, 對嵌入維數(shù)d, 由于Cao[17]方法對噪聲具有較強的魯棒性, 且不需要人工設定閾值, 因此采用Cao方法, 而時間延遲τ由Taken理論確定[18]。

設原始故障數(shù)據(jù)向量樣本Xi∈RD,i=1,2,…,n,n為樣本個數(shù),D為原始信號維度, 當嵌入的相空間個數(shù)為d, 延遲時間為τ時, 嵌入數(shù)據(jù)的維度為d1=D-(d-1)×τ。通過相空間重構得到轉換矩陣ω∈Rd×d1, 原始信號的SPD矩陣可以表示為

Xi=ωωT∈Rd×d1

(5)

2 黎曼框架下的特征提取算法

筆者提出了一種保持測地線距離的降維算法尋找SPD流形的低維嵌入, 并在此基礎上提出了一種有效的分類算法。

2.1 黎曼圖嵌入算法

受局部保持算法(LPP: Locality Preserving Projections)[19]的啟發(fā), 對樣本之間的局部流形結構進行編碼。簡言之, 如果兩個高維樣本相似, 則它們對應的低維表示也應該相似。為學習黎曼流形的低維嵌入, 首先為黎曼流形上的數(shù)據(jù)點構造一個黎曼圖G=(υ,ε;H)。假設對流形上的數(shù)據(jù)集X=[X1,X2,…,Xn],Xi∈S,Xi∈RN×N(i=1,2,…,n),G=(υ,ε;H)表示有n個頂點的圖,υ、ε分別表示頂點集和邊集。每個頂點對應一個樣本。相似度矩陣H∈Rn×n定義了圖G的結構, 通常使用如下熱核函數(shù)計算圖的結構

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其中K(Xi)為頂點Xi的近鄰集合, 近鄰點選擇時使用之前提到的仿射不變黎曼測度,dij=δ(Xi,Xj),σ為核參數(shù), 如果hij≠0, 則第i,j個頂點由權重為hij的邊連接。

為保持SPD矩陣的結構, 采用雙映射Yi=UXiUT,U為映射矩陣,U∈RM×N(M

(7)

根據(jù)數(shù)學方法使用迭代更新求解, 迭代項為

(8)

(9)

其中t為迭代次數(shù), 初始值設為U1=[IM,0],U∈RM×N。

2.2 切空間分類器

為擴展歐氏空間中的聚類算法, 在黎曼圖嵌入得到的低維SPD流形基礎上借助黎曼幾何工具, 找出流形的中心點并將所有樣本點投影到其切空間中。在切空間中向量化切向量SPD矩陣, 采用PCA和LDA的融合算法對樣本進行聚類。

LDA即線性判別分析算法,該算法通過從高維空間中提取出最具鑒別能力的低維特征,利用這些低維特征可以很好地區(qū)分不同類別的樣本,將屬于同一類別的樣本集合在一起,不同類樣本盡可能分開, 即選取使樣本類間離散度與樣本類內離散度之間的比值達到最大的特征。PCA是進行數(shù)據(jù)分析、 提取數(shù)據(jù)特征的一種典型的統(tǒng)計分析方法[6]。LDA、 PCA 的基本方法比較常用, 不再單獨贅述。

采用PCA特征提取, 其主要目的是盡量減少特征維數(shù), 解決維數(shù)災難問題, 希望得到的少數(shù)特征有利于故障分離, 但PCA在降維后丟失了很多故障判別信息。而在單獨使用LDA進行故障分類時, 會遇到樣本的類內散度矩陣為奇異的問題,即小樣本問題。為解決上述問題, 筆者融合兩種算法進行數(shù)據(jù)聚類。具體過程如下： 先使用PCA對數(shù)據(jù)進行投影, 得到特征子空間的投影矩陣, 再利用LDA算法在特征子空間中求得最優(yōu)變換矩陣, 這不僅使樣本的內類散度矩陣是非奇異而且充分利用了PCA、LDA算法的各自優(yōu)點。

3 實驗結果及分析

為簡化表示, 筆者所提出的算法記為RGPLDA算法。為評估降維的性能, 將算法應用于軸承故障數(shù)據(jù)集, 并將算法與兩種競爭算法局部線性嵌入算法LLE[11]和黎曼李群保持算法Lie-LPP[20]進行比較。

3.1 實驗數(shù)據(jù)集

為保證實驗的充分性, 使用兩組實際軸承數(shù)據(jù)集： CWRU(Case Western Reserve University)數(shù)據(jù)集和OL(Own Lab)數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)集的詳細信息如下。

1) CWRU數(shù)據(jù)集。軸承數(shù)據(jù)集取自凱斯西儲大學軸承數(shù)據(jù)網站。實驗平臺由電機、 扭矩傳感器/編碼器、 測功機和控制器組成。該平臺可采集4類數(shù)據(jù), 采樣頻率為12 kHz。這4類樣本包括正常、 滾珠故障、 內圈故障和外圈故障樣本。每類數(shù)據(jù)的樣本數(shù)為100個, 維數(shù)為1 024。筆者選取了荷載為0 HP情況下的一組數(shù)據(jù)。

2) OL數(shù)據(jù)集。此數(shù)據(jù)集從本實驗室實際軸承故障仿真試驗臺上采集。試驗平臺由電機、 軸承和變速箱組成。OL數(shù)據(jù)集包含了相同采樣頻率, 不同電機轉速下的兩個數(shù)據(jù)子集OL1和OL2。OL1數(shù)據(jù)集是在有荷載時, 采樣頻率為10 kHz、 轉速為1 000 r/min時采集。OL2數(shù)據(jù)集是在相同條件下電機轉速為500 r/min時的運行數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)子集分別采集了4類數(shù)據(jù), 包括正常、 滾珠故障、 內圈故障和外圈故障數(shù)據(jù)。每類數(shù)據(jù)的樣本數(shù)為100個, 維數(shù)為1 024。

3.2 實驗結果分析

在第1個實驗中, 通過將可視化結果與其他兩種相關的降維方法(LLE和Lie-LLP)比較, 評估提出的方法的聚類性能。用3種算法將數(shù)據(jù)集直接投影到三維空間, 圖1和圖2分別給出了在兩個數(shù)據(jù)集上的實驗結果?！啊睢秉c表示正常數(shù)據(jù), “O”點表示內圈故障數(shù)據(jù), “+”點表示滾珠故障數(shù)據(jù), “◇”點表示外圈故障數(shù)據(jù)。從圖1和圖2可以直觀地看出, RGPLDA算法較其他兩種算法有明顯的可分性優(yōu)勢； LLE算法在低維的可分性差, 在數(shù)據(jù)集CWRU、 OL1上均不能識別故障類型； Lie-LPP算法在數(shù)據(jù)集OL1上出現(xiàn)了3種類型數(shù)據(jù)的混合、 重疊, 分類效果不理想。由此可見在黎曼流形上RGPLDA算法的有效性。

圖1 不同降維算法在CWRU數(shù)據(jù)集上得到的三維嵌入結果Fig.1 The 3D (Three-Dimensional) embedding results obtained by different dimension reduction algorithms on the bearing data set CWRU

圖2 不同降維算法在OL1數(shù)據(jù)集上得到的三維嵌入結果Fig.2 The 3D (Three-Dimensional) embedding results obtained by different dimension reduction algorithms on the bearing data set OL1

在第2個實驗中, 為進一步驗證所提出方法在降維方面的優(yōu)異性能, 筆者研究了訓練樣本數(shù)量對LLE、 Lie-LPP和RGPLDA識別精度的影響。如圖3和圖4所示, 隨著訓練樣本數(shù)量的增加, 數(shù)據(jù)的識別準確率逐漸提高。RGPLDA算法在數(shù)據(jù)集CWRU、 OL1上的識別準確率明顯優(yōu)于其他兩種算法。隨著訓練樣本的增加, RGPLDA算法的準確率可以達到100%,這充分說明了算法適用于軸承故障診斷的性能。

在第3個實驗中引入Fisher度量, 定量驗證RGPLDA算法分類的優(yōu)勢。Fisher度量是一種常用的估計數(shù)據(jù)集可識別性的統(tǒng)計指標, 計算公式如下

(13)

圖3 在CWRU數(shù)據(jù)集上不同訓練 圖4 在OL1數(shù)據(jù)集上不同訓練 樣本數(shù)目下的精度 樣本數(shù)目下的精度 Fig.3 Accuracy under different number of Fig.4 Accuracy under different number of training training samples samples on on CWRU data set OL1 data set

表1 3種算法在OL2數(shù)據(jù)集上的Fisher度量

4 結 語

筆者利用局部結構信息結合黎曼幾何知識, 提出了一種非歐氏空間中的特征提取方法。軸承故障診斷的實驗為所提方法的優(yōu)勢提供了有力的依據(jù)。未來的研究中, 希望進一步通過實驗參數(shù)的設置優(yōu)化算法, 并研究算法在其他領域的應用。