田罡豪，崔中良，胡體才，黃保勝，夏榮輝，劉紅偉，王 宏，任周洪

(云南馳宏鋅鍺股份有限公司，云南 曲靖 655000)

0 引言

R/S分析法是現(xiàn)代非線性理論的重要組成部分[1]，目前被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域的時間序列研究。王波雷等[2]、馮新靈等[3]認(rèn)為R/S分析法是進(jìn)行氣候預(yù)報的有效手段，并運用R/S分析法研究了氣候變化趨勢。喬美英等[4]基于R/S分析法對千秋煤礦礦井的涌水量進(jìn)行了分形特性研究，結(jié)果表明R/S分析法可用于涌水量時間序列研究，這為礦井涌水研究與治理提供了新的思路?；赗/S分析法開展礦井涌水量預(yù)測所需水文地質(zhì)信息極少，因此在水文地質(zhì)條件不明或水文地質(zhì)條件研究程度較低的情況下具有較大的應(yīng)用潛力。然而R/S分析法目前僅能實現(xiàn)定性預(yù)測，除少數(shù)學(xué)者嘗試定量研究外[5-8]，基于分形刻畫特征的涌水量定量預(yù)測研究還鮮有報道，因此本文采用R/S分析法實現(xiàn)對礦井涌水量時間序列的分形刻畫，并結(jié)合灰色預(yù)測理論實現(xiàn)礦井涌水量的定量預(yù)測，以期為更深入地開展分形預(yù)測打好基礎(chǔ)。

1 分析法概述

1.1 R/S分析法基本原理

R/S分析又稱變標(biāo)度極差分析(重標(biāo)極差法)，最初由HURST于1965年提出，后經(jīng)MANDELBROT和WALLIS不斷完善而成熟[1-3]。R/S分析法的基本思想是通過改變樣本序列的時間尺度，研究其在不同尺度范圍內(nèi)的統(tǒng)計規(guī)律，從而進(jìn)行大小時間尺度間的相互轉(zhuǎn)換[9]。R/S分析法的基本步驟敘述如下。

(1)假設(shè)不同時間t1，t2，t3，…，tn的礦井涌水量分別為x1，x2，x3，…，xn，那么礦井涌水量時間序列即為{xi，n≥i≥1}。計算在τ(τ≥2)時段內(nèi)礦井涌水量平均值

(2)在時間tj時，礦井涌水量對于平均值的積偏差為

(3)計算x(t，τ)的極差

R(τ)= maxx(t，τ)- minx(t，τ)，

tn≥t≥t1，τ=2,3,4,…。

(4)同一個τ值下，與R(τ)對應(yīng)的礦井涌水量標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(5)極差R(τ)與標(biāo)準(zhǔn)偏差S(τ)的比值為

τ=2,3,4,…。

(6)R(τ)/S(τ)=(τ/2)H+C，τ=2,3,4,…；C為常數(shù)。

兩邊取對數(shù)得

(1)

式中,H為Hurst指數(shù)，等于以雙對數(shù)坐標(biāo)系ln(τ/2)為橫軸、ln(R/S)為縱軸中應(yīng)用最小二乘法擬合得到的直線斜率。Hurst指數(shù)可以表征時間序列的隨機(jī)性[9-12]：①當(dāng)0.5>H>0時，表示反持續(xù)性時間序列，為負(fù)反饋機(jī)制，意味著未來的趨勢與過去相反，H值越接近0，反持久性越強(qiáng)；②當(dāng)H=0.5時，表示隨機(jī)性時間序列，即未來時間序列的變化與過去時間序列沒有關(guān)系；③當(dāng)H>0.5時，表示持續(xù)性時間序列，具有長期記憶性，且其記憶性不隨時間標(biāo)度的變化而變化，意味著未來與過去呈現(xiàn)相同的變化趨勢，H值越大，持久性越強(qiáng)。

非線性動力系統(tǒng)具有非周期循環(huán)特征，平均循環(huán)周期的確定常借助時間序列V(τ)-lnτ關(guān)系圖進(jìn)行分析，統(tǒng)計量V(τ)的計算公式為

1.2 灰色預(yù)測模型

信息完全確定的系統(tǒng)為白色系統(tǒng)，信息完全未確定的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)，而灰色系統(tǒng)介于兩者之間，既含有已知信息又含有未知信息。礦井涌水量預(yù)測與水文地質(zhì)條件、開采體積、開采強(qiáng)度等多種因素有關(guān)，既有已知信息，又有未知信息，是一個典型的灰色系統(tǒng)[7]。灰色預(yù)測模型是針對灰色系統(tǒng)的特點而建立的預(yù)測模型，所需建模信息少，運算方便，是處理小樣本預(yù)測問題的有效工具。其中GM(1，1)是最常用的灰色預(yù)測模型，具體計算步驟如下。

(1)根據(jù)涌水量原始數(shù)據(jù)序列X(0)計算一次累加序列X(1)。

設(shè)X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)}，則

(2)建立矩陣B，Y。

(3)求發(fā)展灰數(shù)a及灰色作用量b。

GM(1,1)模型的影子方程為

(4)確定GM(1,1)模型。

將求得的參數(shù)a、b代入GM(1,1)模型的時間響應(yīng)方程得

則原始涌水量時間序列預(yù)測模型為

k=1,2，…,n。

1.3 R/S灰色預(yù)測模型

R/S灰色預(yù)測模型的建立分為4個步驟：

a.運用R/S分析法刻畫涌水量時間序列分形特征(Hurst指數(shù)、平均循環(huán)周期T)；

b.選取長度為T-1的涌水量時間序列{x1，x2，x3，…，xT-1}建立灰色預(yù)測模型GM(1,1)1；

c.對建立的灰色預(yù)測模型進(jìn)行精度檢驗，若建模精度大于80%，開展下一步；若建模精度小于80%，進(jìn)行修正后開展下一步。

d.有兩種預(yù)測模式：①基于灰色預(yù)測模型GM(1,1)1預(yù)測xT?；谟克繒r間序列{x2，x3，x4，…，xT}建立灰色預(yù)測模型GM(1,1)2預(yù)測xT+1。重復(fù)此步驟可預(yù)測今后若干時間序列的涌水量。②Hurst指數(shù)若顯著大于0.5，則說明時間序列具有長程相關(guān)性，并且持續(xù)性極強(qiáng)，此時循環(huán)周期遠(yuǎn)大于平均循環(huán)周期，因此可用灰色預(yù)測模型GM(1,1)1連續(xù)預(yù)測xT、xT+1、xT+2等。

2 研究區(qū)涌水量時間序列

研究區(qū)含水層類型為巖溶裂隙含水層，整體富水性弱至中等。其中礦床直接充水含水層由石炭系威寧組、擺佐組、大塘組及泥盆系宰格組組成，礦床頂板間接充水含水層由二疊系棲霞-茅口組組成，礦床底板間接充水含水層由震旦系燈影組組成。礦床直接頂板隔水層由二疊系梁山組及石炭系馬平組組成，礦床直接底板隔水層由泥盆系海口組及寒武系筇竹寺組組成，目前隔水性能較好。根據(jù)研究區(qū)2011-2017年季度涌水量時間序列(見圖1)可以看出，2015年一季度至2017年四季度，涌水量整體呈小幅波動式增長。

圖1 礦井2011-2017年季度涌水量時間序列

3 涌水量時間序列的R/S分析

3.1 涌水量時間序列的Hurst指數(shù)

計算2011-2017年季度涌水量時間序列的分析參數(shù)(見表1)，在雙對數(shù)坐標(biāo)系中擬合得到季度涌水量時間序列l(wèi)n(R/S)-ln(τ/2)線性關(guān)系圖(見圖2)。由圖2可知，相關(guān)系數(shù)大于0.98，判定系數(shù)接近1，說明模型擬合度較高，擬合效果較好。擬合直線的斜率為1.027 2，即Hurst指數(shù)估計值為1.027 2，與1極為接近，說明時間序列具有長程相關(guān)性，并且持續(xù)性極強(qiáng)。2011-2017年季度涌水量變化曲線前一部分呈低數(shù)值平坦形(略有波動)，后一部分為劇烈抬升后的波動增長形(見圖1)，根據(jù)Hurst指數(shù)預(yù)測2018年季度涌水量相對于2017年整體應(yīng)呈增大趨勢，但不排除小范圍的波動。

表1 礦井涌水量時間序列R/S分析結(jié)果

圖2 涌水時間序列l(wèi)n(R/S)-ln(τ/2)線性關(guān)系圖

3.2 涌水量時間序列平均循環(huán)周期

礦井涌水量時間序列具有非線性分形特征，而非線性動力系統(tǒng)的特征之一便是具有非周期循環(huán)特征。在礦井涌水量時間序列分析中，常引入統(tǒng)計循環(huán)概念，即平均循環(huán)周期，平均循環(huán)周期的確定可以借助時間序列V(τ)-lnτ關(guān)系圖分析得到。根據(jù)V(τ)、lnτ值繪制時間序列V(τ)-lnτ關(guān)系圖(見圖3)。V(τ)單調(diào)性變化分界點也是時間序列持續(xù)性的消失點，因此找出V(τ)-lnτ關(guān)系曲線的第一個轉(zhuǎn)折點，也就找到了時間序列的平均循環(huán)周期。由圖3可知，轉(zhuǎn)折點τ=5，說明研究區(qū)礦井涌水量時間序列的平均循環(huán)周期為5個季度。

圖3 涌水量時間序列V(τ)-lnτ關(guān)系圖

3.3 涌水量時間序列的隨機(jī)性

Hurst指數(shù)是表征時間序列隨機(jī)程度的重要參數(shù)。上述計算及分析結(jié)果均表明研究區(qū)礦井涌水量時間序列為有偏隨機(jī)游走，即歷史涌水量時間序列與未來涌水量時間序列有相關(guān)性，隨機(jī)打亂原始礦井涌水量時間序列，根據(jù)重新計算的Hurst指數(shù)，可以有效評估Hurst指數(shù)估計量的有效性。若原始涌水量時間序列真正獨立，為完全隨機(jī)序列，則打亂后重新計算得到的Hurst指數(shù)保持不變。若重新計算得到的Hurst指數(shù)發(fā)生變化，則說明原始的礦井涌水量時間序列存在記憶性，亦說明了利用Hurst指數(shù)開展分析預(yù)測的有效性。將2011-2017年季度涌水量時間序列打亂，重新計算得到的Hurst指數(shù)為0.936 9(見圖4)，發(fā)生了較明顯的變化，說明原始的礦井涌水量時間序列存在記憶性，為有偏布朗運動。

圖4 重新構(gòu)建涌水量時間序列的ln(R/S)-ln(τ/2)線性關(guān)系圖

4 涌水量時間序列預(yù)測模型

4.1 灰色預(yù)測模型構(gòu)建

基于2011-2017年季度涌水量數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型GM(1，1)，該模型的時間響應(yīng)方程為x(1)(k+1)=6 749.66e0.042 4k-6 400.68，則原始涌水量時間序列預(yù)測模型為x(0)(k+1)=(1-e-0.042 4)6 749.66e0.042 4k。根據(jù)原始涌水量時間序列預(yù)測模型預(yù)測2011-2017年季度涌水量，并進(jìn)行誤差分析(見表2、圖5)。

表2 灰色預(yù)測模型GM(1,1)建模誤差分析

圖5 GM(1,1)模型預(yù)測2011-2017年涌水量時間序列

從表2、圖5可以看出：GM(1，1)模型預(yù)測的相對誤差為0.01%～71.41%，平均相對誤差為18.65%，模型建模精度為81.35%；GM(1，1)模型在涌水量序列劇烈變化時的相對誤差急劇增大，說明模型精度急劇下降。

4.2 R/S灰色預(yù)測模型構(gòu)建

研究區(qū)礦井涌水量時間序列的平均循環(huán)周期為5個季度，因此連續(xù)選取4個季度涌水量建立灰色預(yù)測模型。選取2017年4個季度涌水量建立灰色預(yù)測模型GM(1，1)，該模型的時間響應(yīng)方程為x(1)(k+1)=6 515.03e0.104 1k-5 847.36，則原始涌水量時間序列預(yù)測模型為x(0)(k+1)=(1-e-0.104 1)6 515.03e0.104 1k。R/S灰色預(yù)測模型GM(1，1)預(yù)測的相對誤差為0%～4.78%，平均相對誤差為2.44%，模型建模精度為97.56%。

表3 R/S灰色預(yù)測模型GM(1,1)建模誤差分析結(jié)果

4.3 預(yù)測模型精度對比

應(yīng)用兩種預(yù)測模型預(yù)測2018年季度涌水量時間序列，結(jié)果見表4。由表4可知：灰色預(yù)測模型GM(1,1)預(yù)測結(jié)果的絕對誤差為130.82～262.20，相對誤差為11.14%～21.48%，平均相對誤差為18.24%，預(yù)測精度為81.76%；R/S灰色預(yù)測模型GM(1,1)預(yù)測結(jié)果的絕對誤差為32.95～189.11，相對誤差為2.67%～16.22%，平均相對誤差為10.94%，預(yù)測精度為89.06%。R/S灰色預(yù)測模型是基于刻畫涌水量時間序列平均循環(huán)周期上的灰色預(yù)測模型，可有效減少預(yù)測樣本數(shù)量，一定程度上確保了涌水量時間序列的平穩(wěn)性，因此預(yù)測精度高于灰色預(yù)測模型。綜上所述，R/S灰色預(yù)測模型兼具灰色預(yù)測及R/S分析的特點，相比R/S分析法能實現(xiàn)定量預(yù)測，相比灰色預(yù)測能提高預(yù)測精度，可滿足礦井防治水要求。

表4 兩種預(yù)測方法的結(jié)果對比

5 結(jié)論

a.2011-2017年季度涌水量時間序列的Hurst指數(shù)估計值與1極為接近，說明時間序列具有長程相關(guān)性，并且持續(xù)性極強(qiáng)。

b.Hurst指數(shù)有效性的驗證結(jié)果表明，研究區(qū)原始的礦井涌水量時間序列存在記憶性，為有偏布朗運動。為量化礦井涌水量時間序列的記憶性，計算得出研究區(qū)礦井涌水量時間序列的平均循環(huán)周期為5個季度。

c.基于2011-2017年季度涌水量數(shù)據(jù)建立的灰色預(yù)測模型、R/S灰色預(yù)測模型建模精度分別為81.35%、97.56%，對2018年季度涌水量時間序列的預(yù)測精度分別為81.76%、89.06%。

d.R/S灰色預(yù)測模型兼具灰色預(yù)測及R/S分析的特點，相比R/S分析法能實現(xiàn)定量預(yù)測，相比灰色預(yù)測法能提高預(yù)測精度,在水文地質(zhì)條件不明或研究程度較低的情況下具有較大的應(yīng)用潛力。